2024-2025学年甘肃省甘南州夏河县藏族中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省甘南州夏河县藏族中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )
A. ∃x0∈R，f(x0)=0
B. 函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(−∞,x0)单调递减
D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
2.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A. 1010B. 15C. 3 1010D. 35
3.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)0成立的x的取值范围是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,0)∪(1,+∞) C. (−∞,−1)∪(−1,0) D. (0,1)∪(1,+∞)
4.已知AB=a，AC=b，BN=13BC，GA+GN+GC=0，则AG=( )
A. 23a+13bB. 23a+43bC. 29a+49bD. 49a+89b
5.记动点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记D1PD1B=λ.当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为( )
A. (0,1)B. (13,1)C. (0,13)D. (1,3)
6.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)>f(x)，f(2022)=e2022，则不等式f(13lnx)0的解集为______．
13.若向量a=(x,−4,−5)，b=(1,−2,2)，且a与b的夹角的余弦值为− 26，则实数x的值为______．
14.已知侧棱长为 3的正四棱锥S−ABCD的所有顶点都在球O的球面上，当该棱锥体积最大时，底面ABCD的边长为 ，此时球O的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax−1．
(1)若a=1，求函数f(x)的最小值；
(2)若函数f(x)的单调递增区间为[2,+∞)，求实数a的值．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(Ⅰ)求证：BC1//平面AD1E；
(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=2处有极值−2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−2,3]上的最值．
18.(本小题15分)
如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE//BP．
(Ⅰ)设点M为棱PD中点，求证：EM//平面ABCD；
(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，AE⊥CD，垂足为E，AB=AE=12CE=1，DE= 2.将△ADE沿AE翻折到△PAE，如图2所示．M为线段PB的中点，且ME⊥PC．
(1)求证：PE⊥EC；
(2)设N为线段AE上任意一点，当平面BMN与平面PCE所成锐二面角最小时，求EN的长．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数的运算法则、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．属于中档题．
由函数f(x)的值域为R判断A项正确;假设函数是中心对称图形，利用待定系数法求出对称中心，，判断B项正确;求导判断函数的单调性从而判断C项错误；根据导数的意义判断D项正确．
【解答】
解：由函数f(x)的值域为R知f(x)=0有解，所以A项正确;
由f(x)−c=x3+ax2+bx．
假设函数g(x)=x3+ax2+bx是中心对称图形，其对称中心为(m,n)，
则g(m+x)+g(m−x)=2n，
∴(m+x)3+a(m+x)2+b(m+x)+(m−x)3+a(m−x)2+b(m−x)=2n
整理得(6m+2a)x2+2m3+2am2+2bm=2n
，对任意的x∈R恒成立，
∴6m+2a=02m3+2am2+2bm=2n，解得
m=−13an=227a3−13ab
∴函数g(x)=x3+ax2+bx的对称中心为(−13a,227a3−13ab)，
∴f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(−13a,227a3−13ab+c)，即B正确;
若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x10时总有xf′(x)−f(x)0等价于x⋅g(x)>0，数形结合解不等式组即可．
【解答】
解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：
g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵当x>0时总有xf′(x)0时，g′(x)恒小于0，
∴当x>0时，函数g(x)=f(x)x为减函数，
又∵g(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=g(x)，
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(−1)=f(−1)−1=0，
∴函数g(x)的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0
⇔x>0g(x)>0或x