辽宁省锦州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省锦州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知等差数列的前项和为，则， 已知则， 若，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选除其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题可得服从超几何分布，且，
所以.
故选：D
2. 已知数列中，，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，...，
所以数列是周期为3的数列，所以.
故选：A
3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的导数称为边际成本.设生产个单位产品的生产成本函数是，则生产4个单位产品时，边际成本是（ ）
A. 2B. 8C. 10D. 16
【答案】A
【详解】，，
所以生产4个单位产品时，
故选：A
4. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 7B. 9C. 11D. 13
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为d，则由题，
所以.
故选：C
5. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题知，，，
，
又，
则.
故选：C
6. 数列前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意知①，
当时，，
当时，②，
①-②，得，
若，，符合题意，
所以，则，
所以，
则
.
故选：D.
7. 若，则.今有一批数量庞大的零件，假设这批零件的某项质量指标为（单位：毫米），且，现从中随机抽取10000个，其中恰有个零件的该项质量指标位于区间.则的估计值为（ ）
A. 6895B. 8400C. 9545D. 9973
【答案】B
【详解】由题可得，
则，所以.
所以则的估计值为.
故选：B
8. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】，则，由，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∵，∴，
，
而，则，可得，
则，即，
综上，.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（ ）
A.
B. 当与正相关时，
C. 越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值
D. 越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强
【答案】ABC
【详解】对于A，相关系数为，故A正确；
对于B，当与正相关时，，故B正确；
对于C，越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，
因为回归直线方程是基于变量之间的线性关系建立的，
当线性相关性弱时，用回归直线来描述变量之间的关系就不准确，即意味着回归直线方程越没有价值，故C正确；
对于D，越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强，故D错误.
故选：ABC
10. 已知函数与其导函数的图象如图所示，设，则（ ）
A. 曲线为函数的图象B. 曲线为函数的图象
C. 函数在区间上是增函数D. 函数在区间上是减函数
【答案】BD
【详解】对于AB，因为时单调递增，时单调递减，
所以由图可知曲线M为函数的图象，曲线N为函数的图象，
故A错误，B正确；
对于CD，由图可知当时，时，
因为，所以当时，时，
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
故C错误，D正确.
故选：BD
11. 已知一组样本数据：-1，a，b，9，其中，将该组数据排列，下列关于该组数据结论正确的是（ ）
A. 排列后得到的新数列可能既是等比数列又是等差数列
B. 若排列后得到的新数列成等比数列，和有4组可能取值
C. 若排列后得到的新数列成等差数列，和有2组可能取值
D. 这组数据方差的最小值为
【答案】BC
【详解】对于A，若数列既是等比数列又是等差数列，则该数列为非零常数列，而，且数列中的项有，，不可能构成常数列，故A错误；
对于B，若排列后的新数列为等比数列，则不可能有0，则，
故设新数列的公比为，则有，且数列相邻两项异号；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则，；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则；
数列可能为，此时，则；
综上所述，和有4组可能取值，故B正确；
对于C，若排列后得到的新数列成等差数列，设公差为
若在首项，不论在第几项，都有，不符合题意，
若两项相邻，且不在首项，则或者，
此时有，，
符合题意的数列为或者；
若中间仅有一项，且不在首项，则，或者，
此时有，
符合题意的数列为或者，
故和有2组可能取值，故C正确；
对于D，该组数据的平均数为，
当尽可能接近平均数，方差越小，
方差为，
当时，，
方差，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________.
【答案】0.6##
【详解】随机变量服从两点分布，且，则，
若，可知，则.
故答案为：0.6.
13. 写出数列的一个递推公式：，___________；一个通项公式：___________.
【答案】 ①. （答案不唯一）； ②. .
【详解】记数列的第n项为，
则
依此类推可得，
所以可得数列的一个递推公式为；
所以.
故答案为：；
14. 若，则实数的取值范围是___________.（参考数据：）
【答案】
【详解】即，
所以时恒有或，
因为时不恒有，所以时，
又，所以且，
因为，所以当时，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以且，所以.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在-2处取得极值-14.
（1）求a，b的值；
（2）求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
,根据题意得到，解得：，
【小问2详解】
，，
，，
点处的切线点斜式方程为：，
即
16. 某工厂A，B两条生产线生产同款产品，若产品按照一、二、三等级分类，则每件可分别获利20元、18元、16元，现从A，B生产线的产品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图：

（1）根据已知数据，完成列联表并判断有的把握认为是否为一等级产品与生产线有关吗？
（2）以频率代替概率，分别计算两条生产线单件产品获利的方差，以此作为判断依据，说明哪条生产线的获利更稳定？
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析；没有把握认为一等级产品与生产线有关；
（2）A生产线的获利更稳定.
【小问1详解】
由题可得A生产线生产的100件产品中一等级产品数有，B生产线生产的100件产品中一等级产品数有，
所以列联表如下：
零假设一等级产品与生产线无关，
由列联表得，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据可以推断不成立，
则可以推断成立，即没有的把握认为一等级产品与生产线有关.
【小问2详解】
设A，B两条生产线单件产品获利分别为元，
则由频数分布直方图可得的分布列为
所以，
所以，
由频数分布直方图可得的分布列为
所以，
所以，
因为，所以A生产线的获利更稳定.
17. 已知甲、乙两个箱子中各装有9个大小相同的球，其中甲箱中有4个红球、5个白球，乙箱中有2个红球、7个白球.定义一次“交换”：先从其中一个箱子中随机摸出一个球放入另一个箱子，再从接收球的箱子中随机摸出一个球放回原来的箱子.每次“交换”之前先拋掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1，6，则从甲箱开始进行一次“交换”；若点数为2，3，4，5，则从乙箱开始进行一次“交换”.
（1）求第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率；
（2）已知第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球.第二次“交换”后，设乙箱中白球的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
依题意，每次“交换”从甲箱开始的概率为，从乙箱开始的概率为，且每次“交换”后箱子总球数仍然为9个，
要使第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，则无论从哪个箱子开始“交换”，甲箱中摸出的都是白球，乙箱中摸出的都是红球，
若第一次“交换”从甲箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；
若第一次“交换”从乙箱开始，则第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球的概率为；
设第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球为事件，
所以.
【小问2详解】
因为第一次“交换”后，甲箱中红球多于白球，
所以此时甲箱中有5个红球、4个白球，乙箱中有1个红球，8个白球，
所以的可能取值为
，
，
，
18. 已知函数为实常数，，其中.
（1）时，讨论的单调性；
（2）求的最值；
（3）时，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）最小值是，无最大值
（3）证明见解析
【小问1详解】
时，，，
当时，，在上单调递减；
当时，由得，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减；在上单调递增．
【小问2详解】
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故的最小值是，无最大值．
【小问3详解】
时，，
要证明，需要证明，等价于①，
设，可得，
由得，
时，，单调递增；
时，，单调递减，
则的最大值是，即，
由（2）知，
又因为，即，
所以①式成立，所以．
19. 已知数列的首项的前项和为，且.
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数；
（3）设，是否存在实数，使对任意正整数都成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）不存在，理由见解析.
【小问1详解】
证明：因为，所以，
所以，
又，即，
所以数列是公比和首项均为2的等比数列.
【小问2详解】
由（1），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
【小问3详解】
不存在，理由如下：由题，
则，设对任意正整数都成立，
则当为偶数时，，
因为为偶数，所以，所以；
当为奇数时，，
因为为奇数，所以，所以，
综上所述，不存在实数，使对任意正整数都成立.
一等级
非一等级
合计
A生产线
B生产线
合计
0.050
0.010
0.005
3.841
6635
7.879
一等级
非一等级
合计
A生产线
20
80
100
B生产线
30
70
100
合计
50
150
200
P
20
18
16
X
0.2
0.6
0.2
P
20
18
16
Y
0.3
0.4
0.3
X
7
8
9
p