山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三下学期第一次质量检测数学试题（含答案解析）

这是一份山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三下学期第一次质量检测数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，，则为（ ）
2. 若复数，其中i为虚数单位，则 =
3. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ）
4. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
5. 已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则（ ）
6. 的展开式中系数为（ ）
7. 椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
9. 今年是祖国的七十五华诞，为了激发学生的爱国热情，加强爱国主义教育.我校积极举行了一场“喜迎国庆 强国有我”知识竞答比赛，全校共名学参赛，比赛结束后，将这名学生的比赛成绩（单位：分）进行整理，按，，，，分成组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
10. 如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（ ）

11. 已知正方体的棱长为，为棱的中点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分)
12. 函数在区间上的最大值为______
13. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答）
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，是上位于第一象限的一点，，直线与圆交于，两点，若，则的离心率为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点.
(1)证明：B，EF四点共面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
16. 为激发学生注重学科核心素养的培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：
(1)若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
(2)为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
，.
17. 已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
(3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．
18. 在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.
（i）证明：；
（ii）若点在直线上，求面积的最大值.
19. 已知函数.（注：…是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数m的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值.
山东省烟台市莱州市第一中学2024-2025学年高三下学期第一次质量检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面解析几何、平面向量、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、等式与不等式、空间向量与立体几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．1+i
B．1−i
C．−1+i
D．−1−i
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．0
D．1
A．180
B．90
C．20
D．10
A．
B．
C．
D．
A．4
B．6
C．
D．
A．
B．估计样本的第分位数为分
C．若每组数据均以中间值作代表，则估计样本的平均数为分
D．按分层随机抽样与内的学生中抽人，则内被抽取到的学生人数为
A．
B．
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
A．直线与所成的角为
B．平面
C．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为
D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线的长度为
分数区间
性别
男生/名
15
45
60
女生/名
25
25
30
α
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
7
适中
10
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.85
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.85
判断命题的充分不必要条件；由对数函数的单调性解不等式
4
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；已知直线垂直求参数；简单复合函数的导数
5
0.85
数量积的坐标表示
6
0.85
求指定项的系数
7
0.65
切线长；求椭圆中的最值问题；求平面两点间的距离
8
0.65
余弦函数图象的应用；基本不等式求和的最小值；二次函数的图象分析与判断
二、多选题
9
0.85
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；由频率分布直方图估计平均数；总体百分位数的估计
10
0.65
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；辅助角公式；三角形面积公式及其应用
11
0.65
求异面直线所成的角；证明线面垂直；球的截面的性质及计算；由平面的基本性质作截面图形
三、填空题
12
0.85
求含sinx(型)函数的值域和最值；cs2x的降幂公式及应用；辅助角公式
13
0.65
数字排列问题；元素（位置）有限制的排列问题；分类加法计数原理；排列组合综合
14
0.65
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
四、解答题
15
0.65
空间中的点（线）共面问题；面面角的向量求法
16
0.65
独立性检验的基本思想；超几何分布的均值；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
错位相减法求和；根据数列的单调性求参数；判断等差数列；裂项相消法求和
18
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；抛物线中的三角形或四边形面积问题；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求平面轨迹方程
19
0.4
利用导数研究不等式恒成立问题；根据极值点求参数；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
函数与导数
1,3,4,8,18,19
3
复数
2
4
平面解析几何
4,7,14,18
5
平面向量
5
6
计数原理与概率统计
6,9,13,16
7
三角函数与解三角形
8,10,12
8
等式与不等式
8
9
空间向量与立体几何
11,15
10
数列
17