山东省烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在四边形中，且，则四边形形状一定是
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
2. 在中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，若点满足，则( )
A. B.
C. D.
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 是锐角或直角三角形
5. 已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
6. 已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为
A. 4B. –4C. D. –
8. 定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题
9. 若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与方向相反
10. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，下列式于与的值相等的是（ ）
A. B. C. D.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，满足，则的最大值为；
B. 若，则函数最小值为
C. 若，满足，则的最小值为
D. 函数的最小值为
三、填空题
13. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.
14. 已知a，b，c分别为的内角A,B,C所对的边，且，则____________.
15. 已知锐角且满足，则______.
16. 已知非零向量，.若与的夹角为，则__________.
四、解答题
17. 如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.

18. （1）已知，，且//，求的坐标.
（2）已知，求与垂直单位向量的坐标.
19. 在中，已知，，解这个三角形.
20. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
（3）当时，求的取值范围.
21. 已知函数为奇函数
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
22. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角C的大小；
（2）如果，，求c值.
2023级高一收心考试数学试题
一、单项选择题
1. 在四边形中，且，则四边形的形状一定是
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量相等可知对边平行且相等，四边形为平行四边形，根据模相等可知邻边相等，所以四边形为菱形.
【详解】因为，
所以,
四边形是平行四边形
又，
所以,
四边形是菱形，故选C.
【点睛】本题主要考查了向量的相等与向量的模相等，属于容易题.
2. 在中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量加法的三角形法则结合相反向量的定义可得结果.
【详解】由已知可得，故.
故选：D.
3. 在中，若点满足，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算可求出结果.
【详解】由，得，
得，得.
故选：D．
4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（ ）
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 是锐角或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状．
【详解】由得－cs C>0，所以cs C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
故选：C．
5. 已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】
展开,可得,再利用夹角公式求解即可.
【详解】由,得,故,
∴．设与的夹角为,则．
又,∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了向量的数量积与夹角的运算,属于基础题型.
6. 已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据条件判断出函数是上的单调减函数，结合偶函数性质，可知，然后只需比较的大小关系即可.
【详解】对任意，均有成立，
故在上是单调减函数，
又函数为上的偶函数，故，
而，故 ，
又，
所以 ，
则，即，
故选：A.
7. 已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为
A 4B. –4C. D. –
【答案】B
【解析】
【详解】由，可设，
又，所以
所以，故选B．
8. 定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据新定义和辅助角公式表示出，然后作出的图像，利用图像解决零点问题.
【详解】由题意，，当时，，
设，故有个零点等价于在有个根，
令，作出，的图像如下：
时，令，如图所示，可解得四个交点的横坐标为：，
由题意，区间中只能恰好含有中这个值，故，
解得.
故选：B
二、多项选择题
9. 若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与方向相反
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】根据相反向量的定义可知，，两个向量模相等，即，且方向相反.
故选：BCD
10. 设向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面向量的模长公式可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项.
【详解】因为向量，，
对于A选项，，，则，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，故、不共线，C错；
对于D选项，，则，所以，，D对.
故选：BD.
11. 在中，下列式于与的值相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理可得结果.
【详解】由正弦定理可得，设，
则，
故满足条件为AC选项.
故选：AC.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，满足，则的最大值为；
B. 若，则函数的最小值为
C. 若，满足，则的最小值为
D. 函数的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】
，没有最大值，故错误；
，函数，故错误；
，的最小值为2，故正确；
，，当且仅当时等号成立，故正确.
【详解】，若，，，则，当且仅当时等号成立，没有最大值，故错误；
，若，即，则函数，当且仅当等号成立，故错误；
，若，，所以，所以，所以，（当且仅当时取等），所以的最小值为2. 故正确；
，，当且仅当时等号成立，故正确；
故选：CD
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、填空题
13. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，
AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算
即可求出向量的数量积.
【详解】解析 以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
∵AB＝，BC＝2，
∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，
∵点E在边CD上，且＝2，
∴E.∴＝，＝，
∴.
14. 已知a，b，c分别为的内角A,B,C所对的边，且，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得，可化为余弦定理，利用同角三角函数间关系求.
【详解】由题意可知， ，则 ， 所以.
【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的角，同角三角函数间的关系，属于中档题.
15. 已知为锐角且满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可.
【详解】解：由，得
，
则，
是锐角，.
故答案为：.
16. 已知非零向量，.若与的夹角为，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】先将等式，变形为的形式，两边平方后得到关于的方程，求解即可.
【详解】由于，得：，
两边平方得：，
由于，且与的夹角为，
其中，
得，得或（舍去，非零向量），
故答案是：2.
四、解答题
17. 如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.

【答案】，，
【解析】
【分析】根据向量加法､减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，.
【详解】解：∵，
∴；
又，；
∴.
18. （1）已知，，且//，求的坐标.
（2）已知，求与垂直的单位向量的坐标.
【答案】（1）或；
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用平面向量平行的坐标表示结合模的定义求解即可.
（2）利用平面向量垂直的坐标表示结合模的定义求解即可.
【详解】（1）设，由得，，由//得，，
解得，，或，，
则或，
即的坐标是或.
（2）设该单位向量为，显然，
由题意得，，则，
解得，或，，
则的坐标是或.
19. 在中，已知，，解这个三角形.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】根据正弦定理求得的值，可求出C，B，分类求解，结合两角和差的正弦公式以及正弦定理，即可求得b，即得答案.
【详解】因为在中，，所以，
则或；
当时，，
,
则；
当时，，
，
则，
所以或.
20. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求函数的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
（3）当时，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)利用三角函数图象与性质求解析式即可；
(2)利用三角函数的单调性整体代换法求单调区间即可；
(3)利用整体代换法结合三角函数的图象与性质求定区间值域即可；
【小问1详解】
由函数的图象知，
，所以，解得；
由函数图象过点，得，则，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
【小问2详解】
由函数的解析式，
令；
解得；
所以的单调递增区间为
【小问3详解】
当时，，则，
所以，
则的取值范围是.
21. 已知函数为奇函数
（1）求实数的值及函数的值域；
（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），值域为
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【小问1详解】
函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
【小问2详解】
由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.
22. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角C的大小；
（2）如果，，求c值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，得出，即可求出；
（2）由数量积定义可得，再由余弦定理即可求出.
【小问1详解】
由得，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以.