莱州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份莱州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设向量,,对应的复数分别为z1,z2,z3,那么( )
A.B.
C.D.
2．已知i为虚数单位,x,,若复数,,的共轭复数为,且,则( )
A. 3B.-1C.1D.-3
3．设P为对角线交点，O为任意一点，则( )
A.B.C.D.
4．已知,,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．在中,,,,D,E分别是边上的三等分点,则的值是( )
A.6B.C.8D.
6．一条东西方向的河流两岸平行,河宽,河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发,航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货,若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为,则当小货船的航程最短时,小货船航行速度的大小为( )
A.B.C.D.
7．已知复数z满足,则的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8．中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,若且,则的形状是( )
A.有一个角是的等腰三角形B.等边三角形
C.三边均不相等的直角三角形D.等腰直角三角形
二、多项选择题
9．若复数,则下列正确的是( )
A.当或时,z为实数
B.若z为纯虚数,则或
C.若复数z对应的点位于第二象限,则
D.若复数z对应的点位于直线上,则或
10．如图,设,是平面内相交成角的两条数轴,,分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标,记．在上述坐标系中,若,,则( )
A.B.
C.D.与夹角的余弦值为
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内的一点,,,的面积分别为,,则有.设O是锐角内的一点,,,分别是的三个内角,以下命题正确的有( )
A.若,则O为的重心
B.若,则
C.若,,,则
D.若O为的垂心,则
三、填空题
12．若,,且,则与的夹角大小为_____________．
13．一艘船以每小时10海里的速度向东航行,船在A处发现灯塔在北偏西方向,灯塔N在北偏东方向,行驶4小时后,船到达B处,测得灯塔N在B处的正北方向,灯塔M在B处的北偏西方向,则M、N两处灯塔间的距离为__________海里.
四、双空题
14．如图所示,在等腰直角中,,O为中点,E,F分别是线段,上的动点,且．当时,则的值为____________;的最大值为___________．
五、解答题
15．已知向量,,,且．
（1）求的值;
（2）若与反向,,求与的夹角．
16．如图所示,在中,,,与相交于点M,设,.
（1）试用向量,表示;
（2）过点M作直线分别交线段,于点E,F,记,,求证：不论点E,F在线段,上如何移动,为定值.
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求角A;
（2）若角A的平分线长为1,且,求外接圆的半径.
18．如图,在平面四边形中,,,.
（1）若的面积为,求的长;
（2）若,.求的大小.
19．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足．
（1）若为锐角三角形,且,求a的取值范围;
（2）若点D在边上,且,,求面积的最大值．
参考答案
1．答案：D
解析： ,,即;
故选：D.
2．答案：C
解析：,则,则,,.
故选：C.
3．答案：D
解析：在中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，
所以，即．
在中，因为P是平行四边形ABCD的对角线的交点，
所以，即．
所以．
故选：D．
4．答案：A
解析：依题意在上的投影向量为.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为D,E分别是边上的三等分点,不妨设,,
所以由可得,,即,同理可得,
,所以．
故选：B．
6．答案：C
解析：由题意,当小货船的航程最短时,航线路线为线段,设小货船航行速度为v,水流的速度为,水流的速度与小货船航行的速度的合速度为,作出示意图如下：
,,在中,有,
所以,,,
所以,
所以,
所以小货船航行速度的大小为,
故选：C.
7．答案：C
解析：由可得复数z对应的点在以为圆心,1为半径的圆上,
表示复数z对应的点到的距离,
点到点的距离为,
则的最大值.
故选：C.
8．答案：D
解析：如图所示,在边、上分别取点D、E,使、,
以、为邻边作平行四边形,则,显然,
因此平行四边形为菱形,平分,而,则有,即,
于是得是等腰三角形,即,令直线AF交BC于点O,则O是BC边的中点,,
而,因此有,从而得,
所以是等腰直角三角形.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对A：当,;当,,故或时,z均为实数,A正确;
对B：z为纯虚数,则,解得,故B错误;
对C：复数z对应的点位于第二象限,则,解得,故C正确;
对D：复数z对应的点位于直线上,则,
即,解得或,对应复数分别为或,故D正确;
故选：ACD.
10．答案：AD
解析：由题意,,且,A正确;
所以,则,,则,B错误;
,故C错误;
由上知：,D正确.
故选：AD
11．答案：ABD
解析：对于A：如下图所示,
假设D为的中点,连接,则,故C,O,D共线,即O在中线上,
同理可得O在另外两边,的中线上,故O为的重心,即A正确;
对于B：由奔驰定理O是内的一点,,,的面积分别为,,
则有可知,
若,可得,即B正确;
对于C：由,可知,
又,所以,
由可得,;
所以,即C错误;
对于D：由四边形内角和可知,,
则,
同理,
因为O为的垂心,则,
所以,
同理得,,
则,
令,
由,
则,
同理：,
,
综上,,
根据奔驰定理得,即D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,所以,即,解得,
所以,而,所以．
故答案为：．
13．答案：
解析：如图所示,在点的正北方向任取一点P,
由于该船向正东方向航行了海里,故的长度是40海里.
而P,N分别在A,B的正北方向,故.
根据题目条件我们又有,,,
故,这说明A,B,M,N四点共圆.
于是.
由,,
我们有,.
两式相除,即有,所以海里.
故答案为：.
14．答案：①.;②.
解析：（1）因为是等腰直角三角形,,,
又,所以,
所以.
因为,所以,
在中,由正弦定理得,,
中,由余弦定理得.
（2）设,
所以,,
在中,由正弦定理得,.
同理.
所以
,
因为,
所以当即时,取最小值.
所以,
所以的最大值为.
故答案为：;.
15．答案：（1）或-5
（2）．
解析：（1）根据题意得,
,
因,所以,
解得或-5;
（2）由（1）时,,,所以,则与同向,舍去;
当时,,,所以,则与反向,
,
因为,
因为,
所以与的夹角为．
16．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为D,M,A三点共线,
所以存在实数m使得,
又因为B,M,C三点共线,
所以存在实数n使得,
根据向量相等可得,解得,
所以.
（2）设,
由（1）可得①,②,
又F,M,E三点共线,所以③,
由①②可得,,代入③式可得,
即不论点E,F在线段,上如何移动,为定值7.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,
根据正弦定理,得,
又,,又,,
又,,则;
（2）,,
,
又由余弦定理得,
,外接圆的直径为,
.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,因为,,
的面积为,
所以,解得,
在中,由余弦定理的,
所以.
（2）设,则,
在中,因,
所以,
在中,,
由正弦定理,可得,即,
所以,
因为为锐角,
所以,
解得,即的值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,
由正弦定理可得,,即,
,,
为锐角三角形, ,,
即,所以,故,
（2）在中,,,
,
在中,,,
,
,所以,
所以,即,
又因为,所以,
即（当且仅当时取等号）,
,所以面积的最大值．