河北省廊坊市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份河北省廊坊市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知集合，集合，则（ ）
2. 设复数满足，则（ ）
3. 已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
4. 已知等比数列，则（ ）
5. 已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ）
6. 已知 ，则 （ ）
7. 已知，随机变量，若 ，则的值为（ ）
8. 已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
11. 如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， _____.
13. 设双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为、，若，且 ，则双曲线的渐近线方程为_____.
14. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.8，乙每次投篮的命中率均为0.6 . 由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、 乙的概率各为0.5 . 则第次投篮的人是甲的概率是_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
15. 已知，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.
(1)求函数的解析式；
(2)设锐角的内角所对的边分别为，若，且，求面积的最大值.
16. 如图，在四棱锥中，平面平面，
.
(1)求证:平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为? 若存在，求出的值; 若不存在，请说明理由.
17. 已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围.
18. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有两个不同的实根 .
(i)求 的取值范围；
(ii) 证明: .
19. 因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发，德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法. 用二进制记数只需数字 0 和 1，对于整数可理解为逢二进一，例如: 自然数 1 在二进制中就表示为 表示为 表示为 表示为 . 发现若 可表示为二进制表达式 ，则 ，其中 或 .
(1)记 ，求证:
(2)记 为整数 的二进制表达式中的 0 的个数，如 ，
(i)求 的值；
(ii) 求 的值.
河北省廊坊市2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、数列、平面解析几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．
D．
A．
B．
C．
D．3
A．3
B．±3
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．若，则
C．函数的图象关于直线对称
D．
A．数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第 75 百分位数是 7
B．由两个分类变量 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验 ，可判断 独立
C．经验回归方程 相对于点的残差为
D．若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关系数为
A．当 时， 在点 处的切线方程为
B．当 时， 有三个零点
C．若 有两个极值点，则
D．若 在 上有解，则正实数 的取值范围为
A．点到平面的距离是到平面的距离的倍
B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．若线段 ，则的最小值是
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
6
适中
8
较难
5
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；求指数函数在区间内的值域；求对数型复合函数的定义域
2
0.85
求复数的模；复数的除法运算
3
0.85
已知数量积求模；求投影向量；数量积的运算律
4
0.85
等比数列通项公式的基本量计算；等比数列下标和性质及应用
5
0.65
直线与圆的位置关系求距离的最值；圆的弦长与中点弦
6
0.65
用和、差角的余弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；诱导公式五、六
7
0.65
由项的系数确定参数；二项展开式各项的系数和；简单复合函数的导数；概率分布曲线的认识
8
0.4
函数奇偶性的定义与判断；判断证明抽象函数的周期性；用和、差角的正弦公式化简、求值；由函数的周期性求函数值
二、多选题
9
0.85
相关系数的意义及辨析；残差的计算；独立性检验的概念及辨析；总体百分位数的估计
10
0.65
利用导数研究能成立问题；根据极值点求参数；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点
11
0.4
多面体与球体内切外接问题；求空间中两点间的距离；点到平面距离的向量求法；求双曲线的轨迹方程
三、填空题
12
0.85
函数奇偶性的应用；对数的运算性质的应用；对数的运算
13
0.65
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题；已知方程求双曲线的渐近线
14
0.4
互斥事件的概率加法公式；独立事件的乘法公式；构造法求数列通项；利用全概率公式求概率
四、解答题
15
0.65
求图象变化前（后）的解析式；三角形面积公式及其应用；辅助角公式；余弦定理解三角形
16
0.65
证明面面垂直；已知面面角求其他量；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直
17
0.65
利用椭圆定义求方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；轨迹问题——椭圆
18
0.4
利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数证明不等式；利用导数研究方程的根
19
0.4
组合数的性质及应用；函数新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,7,8,10,12,18,19
3
复数
2
4
平面向量
3
5
数列
4,14
6
平面解析几何
5,11,13,17
7
三角函数与解三角形
6,8,15
8
计数原理与概率统计
7,9,14,19
9
空间向量与立体几何
11,16