2025年四川省资阳市中考数学试题原卷及答案解析

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一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．4D．4
2．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（ ）

A． B． C． D．
3．2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1300万辆．将数“1300万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某年级7名教师某周使用人工智能（）办公的次数分别为：5，2，6，9，5，5，3．这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．6，5B．5，9C．5，6D．5，5
6．已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或B．或C．D．
7．三角形的周长为，则它的三条中位线组成的三角形的周长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”大意是：今有人持金出五关，第1关收税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的，第3关收税金为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的，第5关收税金为此时所持金的五关税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？（ ）
A．斤B．斤C．斤D．斤
10．如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．使代数式有意义的x的取值范围是 ．
12．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 ．
13．方程的解为 ．
14．如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．

15．如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ．
三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项．为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
(3)已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率．
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点C，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积．
20．某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
21．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
22．如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
23．在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；
(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
《2025年四川省资阳市中考数学试题》参考答案
1．A
【分析】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数。一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0。不要把相反数的意义与倒数的意义混淆。
【详解】解：−14的相反数是14。
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了三视图。解题的关键是理解左视图是从物体的左面观察所得到的图形，需准确判断每一列的正方形数量及位置关系。根据给定的立体图形，想象从左面看过去各个正方体的位置和排列情况，从而确定左视图的形状。
【详解】
解：从物体的左侧进行观察，可发现左视图有两列。
其中，第一列（靠近左侧的列）有2个正方形（上下排列），第二列有1个正方形（位于下方），
∴物体的左视图是 。
故选：D．
3．B
【分析】本题考查科学记数法的知识。解题关键在于掌握科学记数法的形式a×10n（1⩽|a|0），则移动后该点表示的数为a - m，这里a=2，m = 2，
∴位于点 A 左侧2个单位长度的点表示的数为2−2，
综上，符合条件的数为2+2或2−2。
故选A。
7．B
【分析】这道题考查三角形中位线定理的应用。解题关键在于对三角形中位线定理的理解与运用，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。设原三角形三边为a、b、c，可得a+b+c=48cm。依据三角形中位线定理，可知新三角形三边是原三边的一半，即12a、12b、12c。将三边相加12a+12b+12c，即可求解。
【详解】解：设三角形的三条边分别为a、b、c，已知三角形的周长为48cm，
∴a + b + c = 48cm，
根据三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，
∴三条中位线的长度分别为12a、12b、12c，
∴由三条中位线组成的三角形的周长为12a+12b+12c=12(a+b+c)，
∴12(a+b+c)=12×48=24cm。
故选B．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图原理以及平行线的性质。解题关键是根据给定的尺规作图步骤判断出BD是∠ABC的角平分线，熟练运用平行线的性质来求角的度数。依据尺规作图中 BM = BN，且以M、N为圆心，大于MN一半长作弧交于D点，得出BD是∠ABC角平分线，根据题意，以及平行线的性质，即两直线平行、内错角相等，求出∠DBC的度数。依据角平分线性质，以及两直线平行、同位角相等，求解即可。
【详解】解：由作图可知，BM = BN，分别以点M和点N为圆心、大于线段MN一半的长为半径作圆弧，两弧交于点 D，
∴根据角平分线的尺规作图原理，BD是∠ABC 的角平分线。
∵DE∥BC，∠BDE=30°，
∴∠DBC=∠BDE=30°（两直线平行，内错角相等），
∵BD是∠ABC 的角平分线，
∴∠ABC=2∠DBC=2×30°=60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
故选C。
9．A
【分析】本题考查对分数概念的理解以及运用方程解决实际问题的能力，解题关键在于依据题目中每关收税规则，准确表示出各关所收税金，并结合五关税金总和为1斤这一条件列出方程。设原本持金量为x斤，根据每关收税占此时所持金的比例计算各关税金，已知五关税金之和为1斤，所以将各关税金相加列出方程，最后通过对方程的化简求解得出原本持金量x的值即可。
【详解】解：设原本持金x斤，
第1关收税金为所持金的12，即第1关收税金12x斤，此时剩余金为x−12x=12x斤，
第2关收税金为此时所持金的13，那么第2关收税金13×12x=12×3x斤，此时剩余金为12x−12×3x=12x−16x=13x斤，
第3关收税金为此时所持金的14，所以第3关收税金14×13x=13×4x斤，此时剩余金为13x−13×4x=13x−112x=14x斤，
第4关收税金为此时所持金的15，则第4关收税金15×14x=14×5x斤，此时剩余金为14x−14×5x=14x−120x=15x斤，
第5关收税金为此时所持金的16，故第5关收税金16×15x=15×6x斤，
∵五关税金之和恰好重1斤，
∴12x+12×3x+13×4x+14×5x+15×6x=1，
∴(1−16)x=1
解得：x=65，
∴原本持金为65斤。
故选A.
10．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点A'在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键．过点C作CG⊥AB于点G，根据矩形的判定定理，证明四边形ADCG是矩形，从而得到CG = AD、AG = CD ，再利用勾股定理求出BC的长，从而得到当点A'到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，过点A'作A'H⊥BC 交BC的延长线于点H，即当A'H最小时，△A'BC面积最小，结合可得点 A'在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E、A'、H三点共线时，A'H最小，此时△A'BC面积最小，延长AD、BC交于点M，过点D作DN⊥CM 于点N，则 DN∥EH，依据平行线的性质以及相似三角形的判定定理，即两直线平行，同位角相等，以及两角分别相等的两个三角形相似，证明△MND∼△MHE，根据角与角之间的和差关系，可得△CDM为等腰三角形，进而可得DM=CD、DN=MN=NC=12CM，在Rt△CDM中，根据勾股定理求出CM的长，依据相似三角形的性质，即对应边成比例，可得DMEM=DNEH，求出EH，根据三角形的面积公式，即可求解。
【详解】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2，
∴∠ADC=∠DAG=∠AGC=90∘，
∴四边形ADCG是矩形，
∴CG=AD=2，AG=CD=2，
∵BG=4，
∴AB−AG=4−2=2，
∴BC=CG2+BG2=22+22=22，
∴当点A到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，
过点A作A'H⊥BC交BC的延长线于点H， 即当A'H最小时， △A'BC面积最小，
∵E是线段AD的中点，AD = 2，
∴DE=AE=12AD=12×4=1，
由折叠的性质得：A'E = AE = 1，
∴点A'在以点E为圆心，1为半径的半圆上运动，
∴当点E、A'、H三点共线时， A'H最小，此时△A'BC面积最小，
延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，
∴DN//EH，
∴∠MDN=∠MEH，∠DMN=∠EMH，
∴△MND∼△MHE，
∵CG=BG=2，∠BGC=90∘，
∴∠ABC=∠BCG=45∘，
∵AB//CD，
∴∠DCM=∠ABC=45∘，
∵∠DCM=180∘−∠ADC=180∘−90∘=90∘，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴DM=CD=2，DN=MN=NC=12CM，
∴CM=DM2+CD2=22+22=22，EM=DE+DM=1+2=3，
∴DN=12CM=12×22=2，
∵△MND∼△MHE，
∴DMEM=DNEH（相似三角形对应边成比例）
∴23=2EH，解得EH=322，
∴A'H=EH−A'E=322−1，
∴S△A'BC=12A'H×，BC=12(322−1)×22=3−2，
∴△A'BC面积的最小值为3−2.
故选B.
11．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件相关知识，解题关键在于明确二次根式中被开方数必须是非负数这一条件，理解对于任何形如a的二次根式，其有意义的前提是a。要确定使代数式x−1有意义的x的取值范围，需依据二次根式有意义的条件进行求解，即被开方数必须是非负数。
【详解】解：对于二次根式a（a为被开方数），有意义的条件是a≥0，
在代数式x−1中，被开方数是x−1，
∴要使x−1有意义，就必须满足x−1≥0，，
在不等式两边同时加1，得到x−1+1≥0+1，即x≥1。
故答案为：x≥1
12．
【分析】本题考查了概率的定义，解题的关键是理解概率是指某个事件发生的可能性大小，其计算公式为P(A)=mn，其中P(A)表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的总数，n表示所有可能发生的总数。直接利用概率求法进而得出答案．
【详解】解：已知小正方体六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，随机掷一次小正方体，那么朝上一面的数字可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个，
∴所有可能发生的总数n = 6。
∵奇数是不能被2整除的整数，
∴在1、2、3、4、5、6中，奇数有1、3、5，共3个，
∴朝上一面的数字是奇数的情况数m = 3，
∴根据概率公式P(A)=mn，将m = 3，n = 6代入可得：P=36=12。
故答案为：12.
13．2
【分析】这道题考查了分式方程的求解。解题关键在于将分式方程转化为整式方程求解，同时要注意对求出的根进行检验，看是否为增根 。依据求解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后要对所得的根进行检验，看是否为增根，即可求解。
【详解】解：给方程3x+1=5x+3两边同时乘以(x+1)(x+3)（这是两个分母的最简公分母），得到：3(x+3)=5(x+1)，
对3(x+3)=5(x+1)进行展开：3x+9=5x+5，
将含有x的项移到等式一边，常数项移到等式另一边：3x−5x=5−9，
合并同类项可得：−2x=−4，
两边同时除以−2，解得：x=2，
把x=2代入原方程的分母x+1=2+1=3≠0，x+3=2+3=5≠0，
分母不为0，说明x=2是原分式方程的根。
故答案为：2．
14．，（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形判定以及等边三角形判定。解题关键在于利用平行线性质得出角的关系，进而判定出等腰三角形，再依据等边三角形判定条件，从角或边的角度去添加合适条件。利用平行线的性质和已知条件推出∠BEC=∠B，从而证明CE=CB；然后根据等边三角形的判定条件，从角或边的角度去思考增加什么条件能使△BCE成为等边三角形，即可求解。
【详解】解：增加，理由为：
∵CE∥DA，
∴∠A=∠BEC（两直线平行，同位角相等），
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B。
∵在△BCE中，等角对等边，
∴CE=CB，
∴△BCE是等腰三角形。
当∠B=60∘时，
∵∠B=∠A，
∴∠A=60∘，
∵根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，
∴△BCE是等边三角形。
故答案为：∠B=60∘(答案不唯一)．
15．
【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角的性质，以及扇形面积计算公式，即S=nπr2360（n为圆心角度数，r为半径）。连接AD，根据多边形的内角和公式，即(n−2)×180∘（n为边数），正多边形的角度，根据正多边形的性质，即边长相等，根据等边对等角，可得∠BCA的度数，由题图可知，AD平分∠CDE，根据三角形三角形内角和为180°，可得∠CAD的度数，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD的长，在Rt△ADC中，根据勾股定理，求出AC的长，再根据S阴影=2S∆ACD−S扇形DCE，解答即可．
【详解】解：连接AD，
，
∵ ABCDEF是正六边形，
∴(6−2)×180∘=720∘，
∴720°6=120°，
∴∠BCD=∠CDE=∠B=120∘，
∵AB=2，
∴AB=BC=CD=2，
∴∠BCA=180°−∠ABC2=180°−120°2=30∘，
由题图可知，AD平分∠CDE，
∴∠CDA=∠EDA=120°2=60∘，
∴∠ACD=90∘，
∴∠CAD=30∘（三角形内角和为180°），
∴AD=2CD=4，
在Rt△ADC中，AD2=AC2+CD2，
∴AC=AD2−CD2=23，
∴S阴影=2S∆ACD−S扇形DCE=2×12×2×23−120×π×22360=43−4π3。
故答案为：43−4π3．
16．②③④
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，熟练运用抛物线与坐标轴交点、对称轴公式，通过这些条件确定a、b、c的关系。理解函数最值与对称轴的联系，以及利用对称点来求线段和最小值，还要依据抛物线的增减性来判断函数值大小关系。根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，O'A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出O'A的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可．
【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A(0，2)，
∴把(0，2)代入抛物线y=ax2+bx+c中，可得c=2>0，
∵抛物线的对称轴为x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∵图象可知抛物线开口向上，
∴a>0，
∴b=2a>0，
∵a>0，b>0，c>0，
∴abc>0，故①错误；
∵对称轴为x=−1，
∴当x=−1时，y=a−b+c是函数的最小值，
∵b=2a，c=2，
∴y=a−2a+2=2−a。
对于任意实数m，am2+bm+c=am2+2am+2=a(m+1)2+2−a，其最小值为2−a，则am2+bm+c+a=a(m+1)2+2−a+a=a(m+1)2+2，
∵a>0，(m+1)2⩾0，
∴a(m+1)2+2⩾2，
∴对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确。
作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A，
∴O'(−2,0)，
∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长，
∵A(0,2)，
∴O'A=22+22=22，
∴OP+AP的最小值为22，故③正确；
由x1+x2+2>0可得x2+1>−(x1+1)。
∵对称轴为x=−1，
∴点(x1，y1)到对称轴的距离为|x1+1|，点(x2，y2)到对称轴的距离为|x2+1|。
∵x2+1>−(x1+1)且x1