2024-2025学年广东省深圳市明德外语实验学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市明德外语实验学校高二（下）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数f(x)满足f′(2)=2，则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)2Δx=( )
A. −1B. 4C. 1D. 2
2.A，B，C，D，E，F六人站成一排，如果B，C必须相邻，那么排法种数为( )
A. 240B. 120C. 96D. 60
3.设函数f(x)=ln(2−3x)，则f′(13)=( )
A. 12B. 13C. −3D. −2
4.(1−x)10的展开式中x3的系数为( )
A. −120B. 120C. −45D. 45
5.已知集合M={1,−2,3}，N={−4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为( )
A. 18B. 14C. 16D. 10
6.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则P(B|A)=( )
A. 35B. 25C. 13D. 130
7.某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为( )
A. 18B. 29120C. 316D. 31120
8.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx+1(a∈R)，若∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2>−2恒成立，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−1)B. (−∞,−1]C. (0,8]D. [0,8]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的部分图象如图所示，则( )
A. f(x)在(x1,x2)上单调递增
B. f(x)在(x2,x3)上单调递减
C. x1是f(x)的极小值点
D. x2是f(x)的极小值点
10.下列求导数运算正确的有( )
A. (sinx)′=csxB. (csπ2)′=−sinπ2
C. (lnx)′=1xD. ( 3−2x)′=−1 3−2x
11.现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件A表示“取得红球”，事件B表示“取得白球”，事件Ci表示“球取自i号盒子”，则( )
A. P(A)=12B. P(B)=512C. P(C1|A)=17D. P(C2|B)=25
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=(x−1)ex的单调递减区间是______．
13.(2+x)4展开式中各项的系数的和是______.(用数字作答)
14.若10张彩票中有2张有奖，两位顾客按照先后顺序各抽一张，则第二位顾客中奖的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(x−2x)n的二项式系数之和是64．
(Ⅰ)求展开式中含x2的项的系数；
(Ⅱ)写出展开式二项式系数最大的项．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=xlnx+a．
(1)若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是y=mx+2，求a和m；
(2)求函数f(x)的单调区间．
17.(本小题15分)
设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人，假设这个人来自三个地区的可能性相同．
(1)求此人感染此病的概率；
(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．
18.(本小题17分)
寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动．
(1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？
(2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？
(3)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？(写出必要的数学式，结果用数字作答)
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx−(k2+1)x2−kx+1(x>0)．
(1)当k=0时，证明：f(x)≤0；
(2)若f(x)存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：f′(2)=2，
则Δx→0limf(2+Δx)−f(2)2Δx=12f′(2)=1．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的定义，即可求解．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，由于B，C必须相邻，则将BC捆绑在一起，与其他4人全排列即可，
共有A55×A22=240种排法．
故选：A．
根据题意，将BC捆绑在一起，与其他4人全排列即可，由排列数公式计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了对数函数求导以及复合函数求导，属于基础题．
先求导，再代值计算即可．
【解答】
解：f′(x)=12−3x⋅(2−3x)′=−32−3x，
则f′(13)=−32−3×13=−3，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：(1−x)10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅(−x)r，令r=3，可得展开式中x3的系数为−C103=−120．
故选：A．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，
M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，
在第二象限的点共有1×2个．
N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，
在第二象限的点共有2×2个．
∴所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14(个)．
故选B．
本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．
本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
6.【答案】B
【解析】解：由题意可知，P(A)=C64×2×236，P(AB)=C42×2×236，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=C42C64=25．
故选：B．
利用条件概率公式求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：将16盒牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶．
从一箱中随机抽出2盒，基本事件总数n=C162=120，
其中能中奖包含的基本事件个数m=C22+C21C141=29，
∴能中奖的概率为P=mn=29120．
故选：B．
从一箱中随机抽出2盒，基本事件总数n=C162=120，其中能中奖包含的基本事件个数m=C22+C21C141=29，由此能求出能中奖的概率．
本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：不妨设0