广东省深圳市第二实验学校明远高中2024_2025学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

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考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知为纯虚数，则实数（ ）
A.3B.C.D.
3.若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ）
A.B.C.D.
4.若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.B.
C D.
5.已知前n项和为的等比数列的首项为，，则的所有可能取值之和为（ ）
A.21B.20
C.18D.16
6.已知为第一象限角，，则的值是（ ）
A.B.
C.D.
7.如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ）
A.3B.C.D.
8.若、都有，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.我国新能源汽车电驱技术世界领先，新能源汽车主要分为两大类，一种是纯电，一种是混动.某新能源汽车厂科研部对纯电类汽车和混动类汽车都使用的关键部件的某一指标进行测试，经统计纯电类部件的指标X和混动类部件的指标Y都服从正态分布，且，，.科研部规定：部件指标高于110的为优质品，部件指标低于90的为不合格品，则（ ）
A.
B.X对应正态曲线比Y对应的正态曲线“瘦高”
C.混动类部件优质品率高于其不合格品率
D.纯电类部件优质品率高于其不合格品率
10.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（ ）
A.为奇函数B.的图象关于直线对称
C.在区间上单调递增D.的图象关于点对称
11.已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ）
A.均关于轴对称
B.面积的最大值为
C.当时，点的纵坐标的最大值大于1
D.当，有公共点时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为__________.
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
14.已知正数a，b，c，d互不相等，若数据a，b，c的方差和数据b，c，d的方差相等，则的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
16.已知点，为双曲线C：（，）上两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，直线l：（）与C交于M，N两点，且，求实数m的取值范围.
17.如图，正三棱柱所有棱长都为，点为线段上靠近点的三等分点，点、、分别为、、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.一个不透明的袋子中有n（且）个材质、大小完全相同的小球，袋中小球分别编号为1，2，3，…，n.从袋中任意取两个小球，记这两个小球编号的差的绝对值为X，记这两个小球编号中的最大编号为Y.
（1）当时，
（ⅰ）求的概率；
（ⅱ）求；
（2）证明：.
参考公式：.
19 已知，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若数列通项公式为（为自然对数底数），记，（i，），（j，），证明：当时，；
（3）若数列满足，，，证明：对任意的，.