2024-2025学年海南省保亭中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年海南省保亭中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若A(2,−1)，B(−1,3)，则AB的坐标是( )
A. (1,2)B. (−3,4)C. (3,−4)D. 以上都不对
2.复数z=11−i的共轭复数是( )
A. 12+12iB. 12−12iC. 1−iD. 1+i
3.已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|=1，|b|=12，则|a−2b|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 32
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2+c2−a2=65bc，则sinA=( )
A. 55B. 2 55C. 45D. −35
5.已知向量a=(6sinα,2)与向量b=(3,4sinα)平行，则锐角α=( )
A. π4B. π6C. π3D. 5π12
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y=sinx图象的最高点，Q是y=sinx的图象与x轴的交点，则OP+PQ的坐标是( )
A. (π2,1)
B. (π,0)
C. (−π,0)
D. (2π,0)
7.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
8.已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0，且PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(2,0),b=(1,1)，其中正确的有( )
A. |a|=|b|B. (a−b)⊥b
C. (a−b)/​/bD. a与b的夹角为π4
10.下面是关于复数z=21+i的四个命题，其中真命题是( )
A. z的共轭复数为−1+iB. z2=−2i
C. |z|= 2D. z的虚部为−1
11.对任意向量a,b，下列关系式中恒成立的是( )
A. |a⋅b|≤|a|⋅|b|B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a−b|≤||a|−|b||D. (a+b)⋅(a−b)=a2−b2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数2−i1−3i在复平面内对应的点在第______象限．
13.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)且(a+b)⊥b，则m=______．
14.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)(07年江苏卷.11)已知cs(α+β)=15，cs(α−β)=35，求tanα⋅tanβ的值
(2)已知csα+csβ=12，sinα+sinβ=13，求cs(α−β)的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(csx,sinx)，b=(3,− 3)，x∈[0,π]．
(1)若a/​/b，求x的值；
(2)记f(x)=a⋅b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
17.(本小题15分)
已知平面向量a，b，|a|=2，|b|=3，且a与b的夹角为π3．
(1)求|a+b|；
(2)若a−b与a+kb(k∈R)垂直，求k的值．
18.(本小题17分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 22csB，a2+b2−c2= 3ab．
(1)求B；
(2)若c=2 2，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知复平面内表示复数z=(2m−1)+(m+1)i(m∈R)的点为Z．
(1)若点Z在函数y=2x−6图像上，求实数m的值；
(2)若O为坐标原点，点A(2,−1)，且OZ与OA的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：A(2,−1)，B(−1,3)，
则AB=(−3,4)．
故选：B．
根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵Z=11−i=1+i(1−i)(1+i)=1+i1−i2=1+i2
∴复数Z的共扼复数Z=12−12i
故选B
先对已知复数进行化简，然后根据共扼复数的定义可知Z=a+bi的共扼复数Z=a−bi 可求其共扼复数．
本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，考查了复数的共扼复数的概念，属于基础试题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量求模问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．
结合题意设出a，b的坐标，求出a−2b的坐标，从而求出a−2b的模即可．
【解答】
解：平面向量a，b的夹角为π3，且|a|=1，|b|=12，不妨设a=(1,0)，b=(14, 34)，
则a−2b=(12,− 32)，故|a−2b|= 14+34=1，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：b2+c2−a2=65bc，
则csA=b2+c2−a22bc=35，
所以sinA= 1−cs2A=45．
故选：C．
根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查余弦定理，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由向量平行的性质可知，6sinα×4sinα=2×3，即sin2α=14，
由于α为锐角，则sinα=12，所以α=π6．
故选：B．
根据向量共线的坐标公式及角α为锐角可得结果．
本题主要考查向量共线的坐标公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意以及题图可知Q(π,0)，O(0,0)，所以OP+PQ=OQ=(π,0)．
故选：B．
由向量加法以及正弦函数对称中心(零点)即可得解．
本题考查向量的加法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，
∴BE=23BA+16BC，
故选：A．
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形四心等基础知识，属于基础题．
由题意根据三角形四心的定义，判断即可．
【解答】
解：∵|OA|=|OB|=|OC|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，∴O是三角形的外心；
由NA+NB+NC=0，则NA+NB=−NC，取AB的中点E，则NA+NB=−2NE=CN，
所以2|NE|=|CN|，所以N是△ABC的重心;
∵PA·PB=PB·PC=PC·PA，∴PB⋅(PA−PC)=0，PB⋅CA=0，∴PB⊥CA，
同理得到另外两个向量都与边垂直，得到P是三角形的垂心．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】解：∵向量a=(2,0),b=(1,1)，
∴|a|=2，|b|= 2，∴|a|≠|b|，故A错误，
∵a−b=(1,−1)，∴(a−b)⋅b=1×1−1×1=0，
∴(a−b)⊥b，故B正确，C错误，
∵cs=a⋅b|a||b|=22× 2= 22，且a与b的夹角范围为[0,π]，
∴a与b的夹角为π4，故D正确，
故选：BD．
利用向量的模长公式判断A，利用向量的数量积运算判断BCD．
本题主要考查向量的模长公式和向量的数量积运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：复数z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，
z的共轭复数为1+i，A不正确；
z2=(1−i)2=−2i，B正确；
|z|= 12+(−1)2= 2，C正确；
z的虚部为−1，D正确．
故选：BCD．
先根据复数的除法运算计算出z，再依次判断各选项．
本题考查复数的运算，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A选项，设θ为a,b的夹角，则|csθ|≤1，故|a⋅b|=||a|⋅|b|csθ|=|a|⋅|b||csθ|≤|a|⋅|b|恒成立，故A正确；
B选项，由向量的加法法则可得：|a+b|≤|a|+|b|恒成立，当且仅当a,b中有零向量或a,b同向时等号成立，故B正确；
C选项，根据向量减法可得：|a−b|≥||a|−|b||，当且仅当a,b中有零向量或a,b同向时等号成立，
故|a−b|≤||a|−|b||不恒成立，故C错误；
D选项，根据数量积的运算律可得：(a+b)⋅(a−b)=a2−b2恒成立，故D正确．
故选：ABD．
根据平面向量的线性运算和数量积的定义和运算律逐项分析即可．
本题主要考查向量的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
12.【答案】一
【解析】解：由题意得2−i1−3i=(2−i)(1+3i)10=5+5i10=12+12i，
∴复数2−i1−3i在复平面内对应的点为(12,12)，即复数2−i1−3i在复平面内对应的点在第一象限．
故答案为：一．
由题意得2−i1−3i=(2−i)(1+3i)10=5+5i10=12+12i，即可得出答案．
本题考查复数的运算和复数的几何意义，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
13.【答案】8
【解析】解：∵(a+b)⊥b，
∴(a+b)⋅b=0，
即(4,m−2)⋅(3,−2)=0．
即12−2(m−2)=0，
得m=8，
故答案为：8．
根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0进行求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为0，建立方程是解决本题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，取小正方形的边长为1，
则a=(1,1)，b=(0,−1)，c=(2,1)，
∴λa+b=(λ,λ−1)，
∵向量λa+b与c共线，
∴λ−2(λ−1)=0，∴λ=2．
故答案为：2．
建立直角坐标系，取小正方形的边长为1，可得a，b，c的坐标，根据向量λa+b与c共线，即可得出．
本题考查了平面向量坐标运算性质、向量共线定理，考查了转化思想与运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】解：(1)∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=15①；
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=35②.
①+②得csαcsβ=25，②−①得sinαsinβ=15，
∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcsα⋅csβ=12．
(2)csα+csβ=12⇒cs2α+2csαcsβ+cs2β=14(1)sinα+sinβ=13⇒sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19(2)
(1)+(2)得2+2cs(α−β)=1336
∴cs(α−β)=−5972
【解析】(1)利用二倍角公式把题设的余弦函数展开，两式分别相加，相减后相除即可求得答案．
(2)把题设等式分别平方后相加，整理求得cs(α−β)的值．
本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，两角和与差的余弦函数．考查了学生对三角函数基础公式的记忆和应用．
16.【答案】解：(1)∵a=(csx,sinx)，b=(3,− 3)，a/​/b，
∴− 3csx=3sinx，
当csx=0时，sinx=1，不合题意，
当csx≠0时，tanx=− 33，
∵x∈[0,π]，∴x=5π6；
(2)f(x)=a·b=3csx− 3sinx=2 3( 32csx−12sinx)
=2 3cs(x+π6)，
∵x∈[0,π]，∴x+π6∈[π6,7π6]，
∴−1≤cs(x+π6)≤ 32，
当x=0时，f(x)有最大值，最大值为3，
当x=5π6时，f(x)有最小值，最小值为−2 3．
【解析】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．
(1)根据向量的平行分csx=0和csx≠0两种情况讨论即可得到tanx=− 33，问题得以解决．
(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出．
17.【答案】解：(1)根据题意，|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为π3，
则|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=4+9+6=19，
则有|a+b|= 19；
(2)若a−b与a+kb(k∈R)垂直，
则(a−b)⋅(a+kb)=a2−kb2+(k−1)a⋅b=0，
即4−9k+6(k−1)=0，
−3−2k=0，解可得：k=−23；
故k=−23．
【解析】(1)根据题意，由数量积的运算性质可得|a+b|2=a2+2a⋅b+b2，由此变形计算可得答案；
(2)根据题意，由向量垂直的判断方法可得(a−b)⋅(a+kb)=0，代入数据计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，a2+b2−c2= 3ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 32，结合0