2024-2025学年海南省保亭中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年海南省保亭中学高一（下）期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若A(2,−1)，B(−1,3)，则AB的坐标是( )
A. (1,2)B. (−3,4)C. (3,−4)D. 以上都不对
2.复数z=11−i的共轭复数是( )
A. 12+12iB. 12−12iC. 1−iD. 1+i
3.已知平面向量a，b的夹角为π3，且|a|=1，|b|=12，则|a−2b|=( )
A. 1B. 3C. 2D. 32
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2+c2−a2=65bc，则sinA=( )
A. 55B. 2 55C. 45D. −35
5.已知向量a=(6sinα,2)与向量b=(3,4sinα)平行，则锐角α=( )
A. π4B. π6C. π3D. 5π12
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是函数y=sinx图象的最高点，Q是y=sinx的图象与x轴的交点，则OP+PQ的坐标是( )
A. (π2,1)
B. (π,0)
C. (−π,0)
D. (2π,0)
7.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
8.已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0，且PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(2,0),b=(1,1)，其中正确的有( )
A. |a|=|b|B. (a−b)⊥b
C. (a−b)//bD. a与b的夹角为π4
10.下面是关于复数z=21+i的四个命题，其中真命题是( )
A. z的共轭复数为−1+iB. z2=−2i
C. |z|= 2D. z的虚部为−1
11.对任意向量a,b，下列关系式中恒成立的是( )
A. |a⋅b|≤|a|⋅|b|B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a−b|≤||a|−|b||D. (a+b)⋅(a−b)=a2−b2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数2−i1−3i在复平面内对应的点在第______象限．
13.已知向量a=(1,m)，b=(3,−2)且(a+b)⊥b，则m=______．
14.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线，则实数λ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)(07年江苏卷.11)已知cs(α+β)=15，cs(α−β)=35，求tanα⋅tanβ的值
(2)已知csα+csβ=12，sinα+sinβ=13，求cs(α−β)的值．
16.(本小题15分)
已知向量a=(csx,sinx)，b=(3,− 3)，x∈[0,π]．
(1)若a//b，求x的值；
(2)记f(x)=a⋅b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
17.(本小题15分)
已知平面向量a，b，|a|=2，|b|=3，且a与b的夹角为π3．
(1)求|a+b|；
(2)若a−b与a+kb(k∈R)垂直，求k的值．
18.(本小题17分)
记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC= 22csB，a2+b2−c2= 3ab．
(1)求B；
(2)若c=2 2，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
已知复平面内表示复数z=(2m−1)+(m+1)i(m∈R)的点为Z．
(1)若点Z在函数y=2x−6图像上，求实数m的值；
(2)若O为坐标原点，点A(2,−1)，且OZ与OA的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.B
6.B
7.A
8.C
9.BD
10.BCD
11.ABD
12.一
13.8
14.2
15.解：(1)∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=15①；
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=35②.
①+②得csαcsβ=25，②−①得sinαsinβ=15，
∴tanα⋅tanβ=sinα⋅sinβcsα⋅csβ=12．
(2)csα+csβ=12⇒cs2α+2csαcsβ+cs2β=14(1)sinα+sinβ=13⇒sin2α+2sinαsinβ+sin2β=19(2)
(1)+(2)得2+2cs(α−β)=1336
∴cs(α−β)=−5972
16.解：(1)∵a=(csx,sinx)，b=(3,− 3)，a/​/b，
∴− 3csx=3sinx，
当csx=0时，sinx=1，不合题意，
当csx≠0时，tanx=− 33，
∵x∈[0,π]，∴x=5π6；
(2)f(x)=a·b=3csx− 3sinx=2 3( 32csx−12sinx)
=2 3cs(x+π6)，
∵x∈[0,π]，∴x+π6∈[π6,7π6]，
∴−1≤cs(x+π6)≤ 32，
当x=0时，f(x)有最大值，最大值为3，
当x=5π6时，f(x)有最小值，最小值为−2 3．
17.解：(1)根据题意，|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为π3，
则|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=4+9+6=19，
则有|a+b|= 19；
(2)若a−b与a+kb(k∈R)垂直，
则(a−b)⋅(a+kb)=a2−kb2+(k−1)a⋅b=0，
即4−9k+6(k−1)=0，
−3−2k=0，解可得：k=−23；
故k=−23．
18.解：(1)在△ABC中，a2+b2−c2= 3ab，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab= 32，结合0