2024-2025学年内蒙古包头九十三中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古包头九十三中高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(−3,4),b=(x,2)，且a⊥b，则x=( )
A. 32B. −32C. 83D. −83
2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ab=53,sinA=23，则sinB=( )
A. 310B. 910C. 15D. 25
3.若sinα+csαsinα−csα=−53，则tanα=( )
A. −14B. 14C. −4D. 4
4.已知复数z1=−2+3i，z2=1+4i，则( )
A. |z2|>|z1|>|z1−z2|B. |z1|>|z2|>|z1−z2|
C. |z1−z2|>|z1|>|z2|D. |z1−z2|>|z2|>|z1|
5.已知点A(3,1)，B(−6,5)，且C为AB上靠近B的三等分点，则C的坐标为( )
A. (0,73)B. (−3,113)C. (−3,43)D. (−6,83)
6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=2π3,D为BC边上的点，且∠CAD=π2,AB=8,AC=4，则AD=( )
A. 4B. 4 3C. 3D. 2 3
7.已知D为△ABC所在平面内的一点，4AB=3AD，E为CD的中点，则AE=( )
A. 43AB+12ACB. 12AB+43ACC. 23AB+12ACD. 12AB+23AC
8.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个正六边形内部(包括边界)的动点，则AC⋅AB的最大值为( )
A. 12B. 16C. 18D. 20
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x−y+2i=3+2xi(x,y∈R)，则( )
A. x=−1B. y=−2
C. x+(y+6)i的虚部为4D. x+(y+6)i的共轭复数为−1−4i
10.如图，在△ABC中，点O是BC的上一点(不包括端点)，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，且AB=mAM,AC=nAN，则下列结论正确的是( )
A. BC=mAM−nAN
B. 若O是BC的中点，则AO=12AB+12AC
C. 若O是BC的中点，则m+n=2
D. 若m=13,n=3，则|BO||BC|=14
11.已知关于x的方程sin2ωx+cs(ωx−π4)=0(ω>0)在(0,π4)上恰有5个实数根，则ω的值可能为( )
A. 473B. 443C. 14D. 13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量a、b满足|a|=2，|b|=3，且a与b夹角的余弦值为16，则|a+b|= ______．
13.把函数f(x)=tan12x的图象向右平移a个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于点(6a,0)对称，则a的最小正值为______．
14.如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20nmile的A处，并以15nmile/ℎ的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以5 7nmile/ℎ的航行速度匀速行驶，经过tℎ与轮船相遇，则t的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=12m2−6+(m−2 3)i,m∈R．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0|z1−z2|.
故选：A．
由题分别求出|z1|，|z2|，|z1−z2|，比较大小即可．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由点A(3,1)，B(−6,5)，且C为AB上靠近B的三等分点，
可得AB=(−9,4)，则AC=23AB=(−6,83)，
OC=OA+AC=(−6+3,83+1)=(−3,113)，
所以C的坐标为(−3,113)．
故选：B．
转化为AC=23AB，利用向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABC中，已知∠BAC=2π3，∠CAD=π2，则∠BAD=2π3−π2=π6，
△ABC的面积SΔABC=12⋅AB⋅AC=12×8×4× 32=8 3，
又因为SΔABC=SΔABD+SΔACD，SΔABD=12⋅AB⋅AD⋅sin∠BAD=12×8×AD×12=2AD，
SΔACD=12⋅AC⋅AD=12×4×AD=2AD，
所以SΔABC=2AD+2AD=4AD，结合SΔABC=8 3，得4AD=8 3，解得AD=2 3．
故选：D．
根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了三角形面积公式，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：D为△ABC所在平面内的一点，4AB=3AD，E为CD的中点，
由题意得AE=AC+CE=AC+12CD=AC+12(AD−AC)=12AC+12AD
=12AC+12×43AB=23AB+12AC．
故选：C．
利用平面的线性运算法则求解即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：过C作CE⊥AB交AB延长线于E点，则AC⋅AB=AE⋅AB=|AE|⋅|AB|，
因为6个正六边形边长均为2，如图，当C位于D点时，AC⋅AB取得最大值，
此时∠DAE=π6,AD=3AF=6 3,AE=9，AD⋅AB=AE⋅AB=9×2=18．
故选：C．
过C作CE⊥AB交AB延长线于E点，则AC⋅AB=AE⋅AB=|AE|⋅|AB|，当C位于D点时，AC⋅AB取得最大值，求此时的数量积即可．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意得x−y=32x=2，得x=1y=−2，
x=1，故A错误；
y=2，故B正确；
x+(y+6)i=1+4i的虚部为4，故C正确；
共轭复数为1−4i，故D错误．
故选：BC．
根据复数相等求参数，由复数的虚部、共轭复数的定义判断各项的正误．
本题考查复数相等的条件，考查复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为AB=mAM,AC=nAN，所以BC=AC−AB=nAN−mAM，故A错误；
对于B，C，因为O是BC的中点，所以AO=12AB+12AC=12mAM+12nAN，
因为M，O，N三点共线，所以可设MO=μMN(μ∈R)，则AO−AM=μ(AN−AM)，
所以AO=(1−μ)AM+μAN，
所以12m+12n=1，得m+n=2，故B，C正确；
对于D，设BO=λBC，则AO=(1−λ)AB+λAC=13(1−λ)AM+3λAN，
因为M，O，N三点共线，所以13(1−λ)+3λ=1，得λ=14，故D正确．
故选：BCD．
根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可．
本题考查平面向量的线性运算与平面向量基本定理的应用，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由题意得sin2ωx+cs(ωx−π4)=cs(2ωx−π2)+cs(ωx−π4)
=2cs2(ωx−π4)−1+cs(ωx−π4)=[2cs(ωx−π4)−1][cs(ωx−π4)+1]，
所以原方程可化为[2cs(ωx−π4)−1][cs(ωx−π4)+1]=0，
解得cs(ωx−π4)=12或−1，所以ωx−π4=−π3+2kπ或π3+2kπ或π+2kπ(k∈Z)．
根据x∈(0,π4)且ω>0，可得ωx−π4∈(−π4,π4ω−π4)，
若方程sin2ωx+cs(ωx−π4)=0在(0,π4)上恰有5个实数根，
则根据余弦函数的图象，可得π+2π