初中数学•中考压轴题复习资料 专题6《轴对称之最短路径》 练习

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用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问
题．常见的题型有：
A
B
l
1．已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小．
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
B
A
P
l
A'
2．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小
作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P
A
B
l
P
3．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大
A
B
l
A
B
l
作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P
l
A
B
P
4．已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于
A
B
l
所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小，

a
作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A"，
连结A"B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则
A"
A
l
B
A'
C
D
此时AC'＋CD＋DB最小．
5．已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小．
O
N
M
P

作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P"，连结P'P"，与射线ON，
P'
P
P"
O
N
M
R
Q
OM的交点就是点Q，R．

O
N
M
P
6．已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小

作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'QON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
P'
P
Q
O
N
M
R
7．已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
P
O
N
M
Q

作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连
纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S．
P
P'
Q'
O
N
M
Q
S
R
例题讲解
例1 （1）如图1，等边△ABC中，AB＝2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BP＋EP的值最小，并求BP＋PE的最小值．
（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．
（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．
图1 图2 图3
解
（1）（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）；
（2）（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）；
（3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．
如图，连结BE，BF，
∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m．
过点B作BH⊥EF于点H，
所以∠EBH＝∠EBF＝α，EH＝FH．
在Rt△BEH中，sinα＝，
所以EH＝BE·sinα＝m·sinα，
所以EF＝2m·sinα，
即PM＋PN＋MN＝EF＝2m·sinα．
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM＋PN的最小值．

解 如图，作⊙A关于x轴的对称图形⊙A´，连结A´B，与x轴交于点P，与⊙A´交点为M´，与⊙B交点为N，连结PA，PA与⊙A交点为M，则此时PA＋PB值最小，从而PM＋PN值也最小，最小值为线段M´N的长．
如图，易得A´（2，－3），由两电间距离公式得A´B＝5．
故M´N＝5－4，即PM＋PN＝5－4．
例3 如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点．
P，N 分别是BE，BC上的动点．
图1 图2
（1）当PN＋PD的长度取得最小值时，求BP的长度；
（2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ＝1，求QN＋NP＋PD的最小值．
图3 图4
解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D´在AB上，且为AB的中点．
如图3，过点D´作BC的垂线，垂足为N´，D´N交BE于点P，连结PD´，则PD´＝ PD．
此时D´N的长度即为PN＋PD长度的最小值．
显然D´N∥AD，即点N为BD的中点．
所以BN＝BC＝，
从而BP＝＝．
（2）如图4，作点Q关于BC的对称点Q´，则BQ´＝1，∠CBQ´＝30°．
点D´是点D关于BE的对称点，连接D´Q´，交BE于点P，交BC于点N．
此时D´Q´即为QN＋NP＋PD的最小值．
显然∠D´BQ´＝90°，
所以D´Q´＝＝，
即QN＋NP＋PD的最小值为．
进阶训练
1．两平面镜OM，ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由．

答案：
作点A关于OM的对称点A´，作点B关于ON 的对称点B´，连接A´B´，与OM，ON分别交于点D，C．光线行进路线如图．
2． （1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ， 桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
解：（1）如图，过点B作BB’垂直于河岸，且使BB’长度等于这条河宽，连接AB’交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置．
（2）如图，过点A作AA’垂直于距点A较近的河岸，且使AA’长等于该河宽，同样，过点B作BB’垂直于距点B较近的河岸，且使BB’长等于河宽，连接A’B’分别交两条河相邻的河岸于点N， P， 过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M， 过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q， 则MN， PQ即为架桥最合适的位置．

图1 图2

3． 如图，直线分别与x轴， y轴交于点A， B，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C． 若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
提示：作点C关于对称轴x＝1的对称点C’， 则C’（2，1）． 过点C’作C’F⊥AB于点F， 且于对称轴交于点E， 此时FC’的长为CE＋EF的最小值． 连接C’B， C’A， 作C’K⊥x轴于点K， 则S△ABC＝S△ABD＋S△梯形C’KOB－S△C’KA＝ABFC’，解得FC’＝， 则CE＋EF的最小值是．