初中数学•中考压轴题复习资料 专题11《轴对称》 练习

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成轴对称的两个图形全等；如果两个图形关于某条直线对称，那么对成轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．通常所说的翻折实质上就是轴对称变换．图形沿着某条直线翻折，这条直线即为对称轴，利用轴对称的性质，再借助方程的知识就能很快解决问题．
例题讲解
例1 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为点E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．
如图1，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示AE、FE、FD之间的数量关系，并证明；

解 （1）如图3，连接AE，则∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB．
四边形ABCD为正方形 ∠BAD＝90°，AB＝AD ∠EDA＝130° ∠ADF＝25°
（2）如图4，连接AE，BF，BD，由轴对称知EF＝BF，AE＝AB＝AD
∠ABF＝∠AEF＝∠ADF， ∠BFD＝∠BAD＝90° BF2＋FD2＝BD2 EF2＋FD2＝2AB22

例 2 菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠ABC＝60°，
①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为_________；
②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长_________（填“改变”或“不变”）．
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．
（1）如图3，若∠ABC＝120°，则六边形AEFCHG的周长为_________；
（2）如图4，若∠ABC的大小为，则六边形AEFCHG的周长可表示为________．
答案：（1）①6；②不变；（2）；4＋4sin．
如图1，因为EF＝AB＝FC＝CH＝AG＝GH＝1，所以周长为6．
如图2，因为△EBF、△GHD为等边三角形，所以EF＝BE，GH＝GD
因为四边形FCDG、AEHD为平行四边形，所以FC＝GD＝DH＝AE，同理可得CH＝BE＝AG
所以周长不变
当∠ABC＝120°时，EP＝，GH＝．
因为AE＝DH＝DG＝FC，AG＝BF＝BE＝CH
所以六边形AEFCHG的周长为AB＋AD＋＋＝4＋2．
当∠ABC＝2时，EF＝2BEsin，，GH＝2DGEsin
所以六边形AEFCHG的周长为4＋4sin
例3 有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：
如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？
（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y＝kx，当∠M′BC＝60°时，求k的值，此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？
解：（1）△BMP是等边三角形
连接AN
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN
由折叠知AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°
∴∠PBN＝30°
又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°，
∴∠BPN＝60°，∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°
∴∠BMP＝60°，
∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°
∴△BMP为等边三角形．
要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP
在Rt△BNP中，BN＝BA＝a，∠PBN＝30°
∴
∴
∴
所以当时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP．
∵∠M′BC＝60°，
∴∠ABM′＝90°－60°＝30°
在Rt△ABM′中，
∴
∴
∴M’（，2），代入y＝kx中，得
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A′，过A′作A′H⊥BC交BC于H
∵△A′BM′≌△ABM′，
∴∠A'BM'＝∠ABM'＝30°，A′B＝AB＝2
∴∠A'BH＝∠M'BH－∠A'BM'＝30°
在Rt△A′BH中，A′H＝AB＝1，BH＝
∴
∴A′落在EF上．
进阶训练
1．已知：在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，E是对角线AC上一点，连结DE，∠DEC ＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的廷长线于点G．求证：EG＝BC．
2．如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC上的A '处，折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点），设BA '＝x，则x的取值范围是______．
3．如图，将正方形ABCD翻折，使点B落在CD边上点E处（不与C，D重合），压平
后得到折痕MN．设，则（用含n的式子表示）．