内蒙古自治区通辽市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ）
A. 4B. 4C. 8D.
3 已知向量，，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
4 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，给出下列四个结论
①函数的最小正周期是；
②函数在区间上减函数；
③函数的图象关于直线对称；
④函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
7. 在锐角中，，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 不确定
8. 已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则的取值范围是（ ）
A. [，]B. [，]C. [，]D. [，]
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A.
B. cs2－sin2
C. cs 15°sin 45°－sin 15°cs 45°
D.
10. 在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
11. 设P是所在平面内的一点，则
A. B.
C. D.
12. 已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A. 的面积最大值为2B. 的取值范围为
C. D. 的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 已知角的终边经过点，则 ．
14. 如图，平行四边形ABCD中，，，M是的中点，以为基底表示向量________

15. 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为__________小时，角的正弦值为__________．

16. 已知所在平面内一点满足，则点是的__________心填“内”、“外”、“重”、“垂”，若的内角，边，则的最大值是__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
18. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状.
19. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
20. 如图，支座A受两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力的大小为100N，求以及与的夹角β的余弦值.
21. 在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.
（1）设函数，试求的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为，求当且时，的值；
（3）已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.