【数学】吉林省名校调研系列卷2024-2025学年九年级上学期期末考试试题 （解析版）

这是一份【数学】吉林省名校调研系列卷2024-2025学年九年级上学期期末考试试题 （解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，四象限D. 第三，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列四个图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.该选项图案，既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
B. 该选项图案，是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；
C. 该选项图案，既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；
D. 该选项图案，既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2. 反比例函数的图象在（ ）
A. 第一、三象限B. 第一、二象限
C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】根据反比例函数图象的特征，，
∴图象位于第二、四象限，
故选：C．
3. 一元二次方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
，
故选：C．
4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】两条直线被三条平行线所截，
，
，，
，
，
故选：B．
5. 如图，点A、B、C、D均在上，是的直径，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接BC，
∵，，
∴
∵是的直径，
，
，
故选：A．
6. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】①由图像开口向上可知，；抛物线与轴交于负半轴得，；
∴，该选项正确，符合题意；
②由顶点坐标可知对称轴为直线，
∴的对称点为，
∴当时，，该选项正确，符合题意；
③由顶点横坐标得，，
，
即，该选项错误，不符合题意；
④由对称轴可知，的对称点为，
∴由图象可知，当时，，该选项正确，符合题意；
∴正确选项为：①②④三个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是________．
【答案】
【解析】∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应的角平分线之比是，
故答案为：．
8. 将抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【解析】抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到；
故答案为：．
9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度．

【答案】60
【解析】图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为
故答案为：60．
10. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为_________．
【答案】18
【解析】，，
解得，
三角形的两边长分别为4和6，
第三边的长，
即第三边的长，
第三边的长是一元二次方程的一个根，
第三边为8，
则三角形的周长为，故答案为：18．
11. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，点在轴上，，则实数的值为_____．
【答案】
【解析】如图，过点A作轴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
故答案为：．
12. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为______°．
【答案】36
【解析】如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝180°×(5-2)÷5＝108°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案为：36．
13. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米．
【答案】12
【解析】由题意得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴楼高为12米，
故答案为：12．
14. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为______．
【答案】22
【解析】在中，当时，或（舍去），
∴，
由对称性可知，，
∴，
故答案为：22．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解方程：．
解：，，
代入求根公式得，
，
，．
16. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，直接写出的取值范围．
解：（1）由题意，得：，∴；
（2）∵，
∴反比例函数图象过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为；当时，有最小值为，
∴．
17. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，证明：．
证明：根据勾股定理，得，，，，，，
∴，，，
∴，∴．
18. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”．
（1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________；
（2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率．
解：（1）小军抽取字谜是猜“数学名词”的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种，
∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），建立平面直角坐标系后，点的坐标是．
（1）以原点为旋转中心，将绕点顺时针旋转90°后得到，画出，并写出点的对应点的坐标；
（2）以原点为位似中心，在第一象限内把放大2倍后得到，画出，并写出点的对应点的坐标．
解：（1）如图所示，即为所求，由图可知：．
（2）如图所示，即为所求，．
20. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？
（1）解：设与的函数关系式为，
点在函数图象上，
，
，
所求函数关系式为．
（2）解：当时，，
，
，
答：需要5台这样的挖掘机．
21. 如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．

（1）如果，求线段的长；
（2）设的面积为2，求的面积．
（1）解：，，
，
且，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
22. 某网店以每个32元的价格购进了一批玩具，由于销售火爆，销售单价经过两次的调整，从每个50元上涨到每个72元，此时每天可售出200个玩具．
（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；
（2）经过市场调查发现：销售单价每降价1元，每天多卖出10个，网店每个应降价多少元？才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？
（1）解：由题意，设每次上涨的百分率为依题意，得：
，
解得：，（不合题意，舍去）
∴每次上涨的百分率为20%．
（2）解：由题意，设每个降价为元，利润为：
，
∴当时，每天的最大利润为，
∴网店每个应降价10元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过A、的分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
（1）证明：如图，连接，则，
，
是的平分线，
，
，
，
∴，
是的半径，
是的切线；
（2）解：∵，
，
是的平分线，
，
∴，
，，
∴，
∴，
．
24. 问题情境
四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点、旋转后的对应点分别为点、．旋转角为．
观察思考
（1）如图①，连接，当点第一次落在对角线上时，_______________；
探究证明
（2）如图②，当，且时，与交于点，试判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸
（3）如图③，连接，在旋转过程中，当时，请直接写出线段的长．
解：（1）如图①，连接，
∵四边形菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
故答案为：．
（2）四边形是菱形，理由如下：
四边形是菱形，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（3）如图③，当时，则，
，
，
，
，
，
，
，
、、三点共线，
．
的长为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图①，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿方向以相同速度向终点运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）．
（1）直接写出的长；
（2）当以、、为顶点的三角形与相似时，求的值；
（3）求与之间的函数关系式；
（4）如图②，当点在线段上运动时，作线段的垂直平分线，直接写出的垂直平分线经过的直角顶点时的值．
（1）解：在中，，，，
；
（2）解：由题意可知：，，
，
如图所示，
当时，
，
∴，
，
，
解得：；
如图所示，
当时，，
，
，
解得：；
（3）解：根据题意知先运动到终点，时间为，
当时，
作于点，则有，
，
，
即有：，
，
；
当，点在上时（时，不存在），
如图所示，过点作，垂足为，则，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴的面积为，
∴与的函数关系式为；
（4）解：如图，∵线段的垂直平分线经过的直角顶点，
∴，
过点作，垂足N．
∵，，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得：．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
（3）当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
（4）当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线经过原点，
抛物线的表达式为，
将点代入上式得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，
当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，
即，
点B、M不重合，故，
即且；
（3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，
当点M的纵坐标为时，，解得；
当点M的纵坐标为时，，
解得：或，
综上，m的值为1或或；
（4）存在，或，理由如下：
当点在点B的上方时，如图，设点，
过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
是以为斜边的等腰直角三角形，
则，
，
，
，
，
，
则点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或，
则；
当点在点B的下方时，
同理可得，点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
综上，或．