2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算2C75+A52的值是( )
A. 62B. 102C. 152D. 540
2.函数f(x)=ex+x2的图象在x=0处的切线方程为( )
A. y=2x+1B. y=x+2C. y=x+1D. y=2x+2
3.把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为( )
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
4.已知函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则( )
A. f(x)有2个极值点
B. f(x)在x=1处取得极小值
C. f(x)有极大值，没有极小值
D. f(x)在(−∞,1)上单调递减
5.广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行.某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道.若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为( )
A. 12B. 23C. 35D. 14
6.(x−y2)(x+2y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A. 12B. 40C. 60D. 100
7.已知(1+x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a2020+2a2019+3a2018+4a2017+⋯+2020a1+2021a0=( )
A. 2021×22021B. 2021×22020C. 2020×22021D. 2020×22020
8.如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1−8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有( )
A. 68种B. 136种C. 272种D. 544种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则下列选项正确的是( )
A. a=0.1B. EX=6
C. E(2X+1)=12D. D(2X+1)=33.6
10.3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是( )
A. 共有60种不同的坐法B. 空位不相邻的坐法有72种
C. 空位相邻的坐法有24种D. 两端不是空位的坐法有27种
11.已知直线y=a与函数f(x)=ex−x的图象相交于A，B两点，与函数g(x)=x−lnx的图象相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，则( )
A. ex2−lnx2=2aB. x1=ex2C. x2=lnx3D. x1+x3=2x2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有10道四选一的单选题，甲对其中8道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.甲从这10道题中随机选择1题，则甲做对该题的概率是______．
13.22024+1除以15的余数是______．
14.已知函数f(x)=lnxx2，关于x的方程f(x)−2f(x)=a有三个不等实根，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．
(1)求a；
(2)求f(x)的单调区间和极值．
16.(本小题15分)
已知(x+12x2)n(n⩾4,n∈N∗)的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大项．
17.(本小题15分)
某物理实验技能竞赛分基本操作与技能操作两步，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为23，且各题操作互不影响．
(1)求李明被终止比赛的概率；
(2)求李明获一等奖的概率；
(3)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望．
18.(本小题17分)
某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断.研究员抽取了5名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者.现有两个检测方案：
方案一：先从5人中随机抽取2人，将其血液混合，进行1次检测，若呈阳性，则选择这2人中的1人检测即可；若呈阴性，则对另外3人进行检测，每次检测1人，找到甲流感染者则停止检测．
方案二：对5人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测．
(1)分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
(2)已知检测前需一次性花费固定成本500元，检测费用为400元/次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=m(lnx−1)−(2−m)x(m≠0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数F(x)=f(x)+2sinx+1(x∈(0,2π])，求证：当m=1时，F(x)恰有两个零点．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.B
9.ABD
10.AC
11.ACD

13.2
14.(−∞,12e−4e)
15.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，
由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；
(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，
则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，
故当0