2024-2025学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合{1,2}∩(1，2]=( )
A. 2B. {2}C. {1,2}D. (1,2]
2.随机变量ξ～B(5,12)，则D(2ξ+1)的值为( )
A. 52B. 72C. 5D. 6
3.运用复合函数求导方法求函数y=xx(x>0)的导函数为( )
A. x⋅xx−1B. xxlnxC. xx(lnx+1)D. lnx+1xx
4.设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，且P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3)，又ξ的数学期望E(ξ)=3，则ab的值为( )
A. 12B. −23C. 13D. −13
5.已知数列{an}为等比数列，则“数列{an}为单调递增数列”的_____条件是“对任意n∈N∗有an+2>an恒成立”.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 非充分非必要
6.曲线y=ex+1和曲线y=ex+3的公共切线的斜率为( )
A. 1B. 3C. ln3D. e
7.高二学习小组自主探究三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性质得出以下命题：
①无论系数如何变化，函数f(x)的图象始终都是中心对称图形；
②过平面内的任意一个定点至多能作出三条直线与函数f(x)图象相切；
③任意三次函数f(x)都存在零点，至少有一个，至多有三个；
④当函数f(x)存在极值点x1，x2时，中心点(x0,f(x0))处的导数与两极值点处的函数值有固定关系；f(x2)−f(x1)x2−x1=23f′(x0)．
其中正确结论的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
8.已知数列{an}，若数列{an+1−an}与数列{anan+1−an}都是公差不为零的等差数列，则数列{anan+1−an}的公差为( )
A. 12B. 14C. 15D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b均为正实数，且a+b=1，则下列命题正确的有( )
A. a2+b+14的最小值为1B. a+ b的最大值为 22
C. 4ab的最大值为 2D. 1a(b+1b)的最小值为2( 2+1)
10.已知无穷数列{an}满足an>0(n∈N∗)，设其前n项和为Sn，记bn=Sn2n，则( )
A. 存在等差数列{an}，使得{bn}是递增数列
B. 存在等比数列{an}，使得{bn}是递增数列
C. 若{bn}是递减数列，则Sn00,x=0−1,x1)，设x0是F(x)的极值点，且F(x1)=F(x2)，求证：x1+x2>2x0.注：min{a,b,c}表示a，b，c中最小的．
17.(本小题15分)
甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为35．
(1)采取五局三胜制(在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束)
(ⅰ)求一场比赛中，甲以3：2的比分赢得比赛的概率；
(ⅱ)求一场比赛中(不一定打满5局)，甲最终赢得比赛的概率；
(2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由．
18.(本小题17分)
设数列{an}的前n项和为Sn，且满足：n2an+(2n+1)Sn=4n(n∈N∗)．
(1)求Sn；
(2)设数列{bn}满足：b1=1,bn=bn+1⋅Sn(n∈N∗)．
(ⅰ)求{bn}的通项公式及其前n项和Tn；
(ⅱ)若对任意k，m∈N∗，有akbk>λTm，求实数λ的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−lnx．
(1)讨论函数f(x)的零点情况，只要求写出结论即可；
(2)若对任意x>1，有f(x)>f(1x)，求a的取值范围；
(3)求证：对在意n≥2且n∈N∗，有k=2nk2+1lnk>4n−4n−1．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：{1,2}∩(1，2]={2}．
故选：B．
根据交集的定义即可求解．
本题考查了交集的运算，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为随机变量ξ～B(5,12)，
所以D(ξ)=5×12×(1−12)=54，
则D(2ξ+1)=22D(ξ)=4×54=5．
故选：C．
根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求解．
本题主要考查了二项分布的方差公式，以及方差的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由y=xx，得lny=xlnx，两边同时求导，得1y⋅y′=lnx+1，
所以y′=(lnx+1)y=(lnx+1)xx．
故选：C．
同时取对数，根据复合函数的求导法则求解即可．
本题考查了复合函数的求导法则应用问题，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：根据离散型随机变量的期望公式可得：
1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)=3，可得14a+6b=3，
根据随机变量的频率性质可得：
(a+b)+(2a+b)+(3a+b)=1，可得6a+3b=1，
所以a=12,b=−23，则ab=−13．
故选：D．
由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得．
本题主要考查离散型随机变量的期望，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，且an≠0，
若{an}为递增数列，则an+2>an+1>an恒成立；
若对任意n∈N∗有an+2>an恒成立，则an+2=anq2>an，所以an(q2−1)>0，
an00,x=0x2+x,x