2023-2024学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省五校联考高二（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x2+ x，则limΔx→0f(1+Δx)−f(1)2⋅Δx=( )
A. 32B. 34C. 52D. 54
2.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )
A. 0.75B. 0.6C. 0.52D. 0.48
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a2+2a8+a18=20，则S17=( )
A. 852B. 85C. 170D. 340
4.已知命题p：∀x∈(0,π2),2πxA. 真，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx≥x
B. 真，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx或sinx≥x
C. 假，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx≥x
D. 假，￢p：∃x∈(0,π2)，2πx≥sinx或sinx≥x
5.已知随机变量ξ,η,ξ∼B(9,13),η∼N(μ,σ2)，且E(η)=D(ξ)，若P(η≤2a+1)+P(η≤2−a)=1，则实数a=( )
A. 0B. −1C. 1D. 2
6.集合{x∈Z|ex+1≤x+e}的子集个数为( )(其中e为自然对数的底数)
A. 2B. 4C. 8D. 16
7.设数列{an}满足a1=1,an=ln(an+1−1)+m,n∈N∗，若对一切n∈N∗，an≤2，则实数m的取值范围是( )
A. m≥2B. 1≤m≤2C. m≥3D. 2≤m≤3
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知定义在R上的单调递增的函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1−x)+f(1+x)=2，f(2+x)+f(2−x)=4，则( )
A. 当x∈Z时，f(x)=x
B. 任意x∈R，f(−x)=−f(x)
C. 存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x+T)=f(x)
D. 存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)−cx|≤1
9.等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是( )
A. {ln|an|}为等差数列B. 若a2>a1且a5>a4，则{an}递增
C. {an+2an+1}为等比数列D. {an+an+2an2}为等比数列
10.甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得−1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜.在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的.若规定两人起始分都为2分，记Pi(i=0,1,2,3,4)为“甲累计总分为i时，甲最终获胜”的概率，则( )
A. 一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5B. P(0)=0，P(4)=1
C. Pi=0.2Pi+1+0.3Pi−1+0.5PiD. {Pi+1−Pi}(i=0,1,2,3)为等差数列
11.已知函数f(x)=x(ex−a)2，a∈R.则下列说法正确的是( )
A. 若a=0，则f(x)≥x
B. ∃a∈R，使得f(x)在(−∞,+∞)上单调递增
C. 若x=1为f(x)的极值点，则a=e
D. ∀a∈R，坐标平面上存在点P，使得有三条过点P的直线与f(x)的图象相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从含有6件正品和4件次品的正品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E(X)= ______．
13.设正实数x，y满足x2+xy−1=0，则x2+y2的最小值是______．
14.设高斯函数[x]表示不超过x的最大整数(如[2.1]=2，[3]=3，[−1.7]=−2)，已知an=[37×10n],b1=a1,bn=an−10an−1(n∈N∗,n≥2)，则a4= ______；b2024= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为p(0(1)若赛制为3局2胜，p=23，求最终甲获胜的概率；
(2)若赛制为5局3胜，记f(p)为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求f(p)的最大值及此时p的值．
16.(本小题15分)
已知数列{an}满兄an+1=anan+1，a1=12，数列{bn}的前n项和为Sn，且2Sn=3n+1−3．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式，
(2)求数列{1anbn}的前n项和为Tn．
17.(本小题15分)
目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车.为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．
(1)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关．
(2)设消费者的年龄为x，对无人驾驶出租车的体验评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y =1.5x+15，且年龄x的方差为sx2=9，评分y的方差为sy2=25.求y与x的相关系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱(当|γ|≥0.75时，认为相关性强，否则认为相关性弱)．
附：b​=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，γ=i=1n(xi−x−)(yi−y−) i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2．
独立性检验中的K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，其中n=a+b+c+d．
临界值表：
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(lnx)2+a(lnx+1)x,a>0．
(1)求证：x>0时，ex>x2；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)求证：∀a>0，f(x)恰有一个零点．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)，定义：对给定的常数a，数列{an}满足a1>a，f′(an+1)=f(an)−f(a)an−a，则称数列{an}为函数f(x)的“L(a)−数列”.(f′(x)为f(x)的导函数)
(1)若函数f(x)=x2，数列{an}为函数f(x)的“L(−1)−数列”，且a1=1，求{an}的通项公式；
(2)若函数g(x)=lnx，数列{an}为函数g(x)的“L(1)−数列”，求证：1(3)若函数ℎ(x)=x3+6sinx，正项数列{bn}为函数ℎ(x)的“L(b)−数列”，已知bn+1∈(b,bn),n∈N∗.记数列{bn}的前n项和为Sn.求证：当b≥0时，Sn+bn≥(n−1)b+2b1．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.B
5.C
6.C
7.A
8.ABD
9.ABD
10.BC
11.ABD
12.65
13.2 2−2
14.4285 2
15.解：(1)设前两局比赛甲赢为事件A，
可得P(A)=(23)2=49；
设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，
可得P(B)=C21×23×13×23=827，
则甲胜的概率为P(A)+P(B)=2027；
(2)若恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利，
此时前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢，
所以f(p)=C32p2(1−p)p=3p3−3p4,0可得f′(p)=9p2−12p3=3p2(3−4p)，
当p∈(0,34)时，f′(p)>0，f(p)单调递增；
当p∈(34,1)时，f′(p)<0，f(p)单调递增，
所以当p=34时，f(p)取得最大值，最大值f(34)=81256．
16.解：(1)∵an+1=anan+1，∵1an+1=1an+1，
∴数列{1an}是以1a1=2为首项，1为公差的等差数列，
∴1an=1a1+(n−1)=2+n−1=n+1，
∴an=1n+1；
∵2Sn=3n+1−3，
当n=1时，2S1=31+1−3=6，即b1=S1=3，
当n≥2时，2Sn−1=3n−3，所以2bn=2Sn−2Sn−1=3n+1−3−(3n−3)=2⋅3n，即bn=3n，
当n=1时，b1=3=31，∴bn=3n；
(2)由(1)得1anbn=n+13n
∴Tn=1+13+2+132+3+133+⋅⋅⋅+(n−1)+13n−1+n+13n，
13Tn=1+132+2+133+⋅⋅⋅+(n−1)+13n+n+13n+1，
作差可得23Tn=23+(132+133+⋅⋅⋅+13n)−n+13n+1=23+19(1−13n−1)1−13−n+13n+1，
∴Tn=54−13n−1(14+n+16)．
17.解：(1)根据题意可得2×2列联表如下：
∴K2=100(20×10−30×40)250×50×60×40≈16.667>10.828，
∴有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关；
(2)∵sx2=1100i=1100(xi−x−)2=9，∴i=1100(xi−x−)2=900，
∵y12=1100i=1100(yi−y−)2=25，∴i=1100(yi−y−)2=2500，
∵b =i=1100(xi−x−)(yi−y−)i=1100(xi−x)2=1.5，∴i=1100(xi−x−)(yi−y−)=1.5×i=1100(xi−x−)2=1.5×900=1350，
∴相关系数r=i=1100(xi−x−)(yi−y−) i=1100(xi−x−)2i=1100(yi−y−)2=1350 900×2500=135030×50=0.9，
∵0.9>0.75，∴判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强．
18.(1)证明：设g(x)=x2e−x，x>0，则g′(x)=x(2−x)e−x，x>0，
当g′(x)>0时，0当g′(x)<0时，x>2，则g(x)在[2,+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(2)=4e2<1，
即x2e−x<1⇒ex>x2．
(2)解：由题意f(x)定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=2xlnx+−alnxx2=(2x−a)lnxx2，x>0，a>0，
①当a=2时，函数f′(x)=2(x−1)lnxx2，
当01时，(x−1)lnx≥0，
故当x>0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；
②0当x∈(0,a2)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,a2)和(1,+∞)上单调递增；
当x∈(a2,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(a2,1)上单调递减；
③a>2时，
当x∈(0,1)∪(a2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,1)和(a2,+∞)上单调递增；
当x∈(1,a2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(1,a2)上单调递减；
(3)证明：由(2)知：
①当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为f(1)=2>0，f(e−2)=4−2e2<0，
所以此时f(x)恰有一个零点；
②当00，
又由(1)知f(e−1−1a)=(1+1a)2−e1+1a<0，结合f(x)的单调性，
可知此时f(x)也恰有一个零点；
③当a>2时，f(x)的极小值为f(a2)=(lna2)2+2(lna2+1)=(lna2+1)2+1>0，
又f(e−2)=4−2e2<0，结合f(x)的单调性，同样f(x)也恰有一个零点．
综上，∀a>0，f(x)恰有一个零点．
19.解：(1)f(x)=x2⇒f′(x)=2x，由题意，有2an+1=an2−1an+1=an−1，
则an+1+1=12(an+1)，又a1+1=2，所以{an+1}是以2为首项、以12为公比的等比数列，
所以an+1=12n−2，从而an=12n−2−1．
(2)证明：由题可得1an+1=lnanan−1，
①设φ(x)=lnx−x+1，φ′(x)=1x−1，
可知当x>1时，φ′(x)<0，φ(x)递减，φ(x)<φ(1)=0；
当00，φ(x)递增，φ(x)<φ(1)=0
即0因为a1>1，所以01，以此类推，可得an>1；
②由01−1x
从而1an+1=lnanan−1>1−1anan−1=1an，即1an+1>1an⇒an+1综上：1(3)证明：先证bn+1的唯一性．令H(x)=ℎ(x)−ℎ(bn)−ℎ(b)bn−bx(x≥0)，则H(b)=H(bn)
∵ℎ′(bn+1)=ℎ(bn)−ℎ(b)bn−b，∴H′(bn+1)=0．
∵H‴(x)=ℎ‴(x)=6(1−csx)≥0，∴x∈[0,+∞)时，H″(x)=ℎ″(x)=6(x−sinx)递增，H″(x)≥0⇒H′(x)递增，所以这样的bn+1是唯一的，
且当x∈[0,bn+1)时，H′(x)<0，H(x)递减；x∈(bn+1,+∞)时，H′(x)>0，H(x)递增．
下证：b+bn<2bn+1．
令φ(x)=H(x)−H(2bn+1−x)，x∈[0,bn+1)，
则φ′(x)=H′(x)+H′(2bn+1−x)，φ″(x)=H″(x)−H″(2bn+1−x)，
∵x∈[0,bn+1)，∴2bn+1−x>x，∴φ″(x)<0，φ′(x)递减，φ′(x)>φ′(bn+1)=0⇒φ(x)递增
∴φ(x)<φ(bn+1)=0即H(x)取x=b∈[0,bn+1)，得H(b)累加可得Sn+bn≥(n−1)b+2b1． 好评
差评
合计
青年
20
中老年
10
合计
40
100
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
好评
差评
合计
青年
20
30
50
中老年
40
10
50
合计
60
40
100