2024-2025学年山东省滨州市高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省滨州市高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7，集合A=2,3,4,B=1,3,5,7，则A∪∁UB=( )
A. 2,4B. 2,4,6C. 2,3,4,6D. 1,2,3,4,5,7
2.已知向量a=(m−1,1),b=(m,−2)，则“m=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.缙云山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为( )
A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6
4.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，记BA=a，BC=b，则CF=( )
A. 23a+13bB. 23a−23bC. 34a+13bD. 34a−58b
5.已知tanα−π4=14，tan(α+β)=25，则tanβ+π4=( )
A. 322B. 1318C. 16D. 1322
6.已知非零向量AB与AC满足AB∣AB∣+AC∣AC∣⋅BC=0，且AB∣AB∣⋅AC∣AC∣= 22，则▵ABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7.设一组样本数据x1,x2,x3,x4的平均数为3，方差为4，则数据x1,x2,x3,x4，2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别为( )
A. 4，14B. 4，16C. 5，14D. 5，16
8.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，O为▵ABC的外心，PO⊥平面ABC，若AB=BC=PO=4，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 523πC. 24πD. 36π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=5i−2，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为1B. z的共轭复数为−2+i
C. |z|= 5D. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知事件A，B发生的概率分别为PA=12，PB=13，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则PA+B=PA+PB=56
B. 若A与B相互独立，则PA+B=23
C. 若A与B相互独立，则PAB=13
D. 若B发生时A一定发生，则PAB=16
11.已知向量a=(−1,x),b=(1,2)，则下列说法正确的是( )
A. 若(2a−b)⊥b，则x=3
B. |2a−b|的最小值为3
C. 若(2a−b)//b，则x=−2
D. 若x=1，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(15,25)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，A1B1=1，则该棱台的体积为 ．
13.一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是 海里．
14.在锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，a=2 3，则▵ABC周长的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M为PD的中点．请用几何法求解下列问题：
(1)证明∶PB//平面AMC；
(2)设AP=AB=2，求直线BM与平面ABCD所成角的正切值．
16.(本小题15分)
某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：[40,50),[50,60)，[60,70),[70,80)，[80,90),[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计这次测试成绩的第70百分位数；
(3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于[80,90)和[90,100]内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]内”，求事件A的概率P(A)．
17.(本小题15分)
在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过．已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
(1)求李明第二次答题通过面试的概率；
(2)求张志通过面试的概率；
(3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率．
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC=b．
(1)求A；
(2)已知D为AB边上的一点，且BC⊥CD．
①若AC= 3，AD=1，求AB；
②求ADDB的取值范围．
19.(本小题17分)
在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=2 2，AD=AB= 2(如图1)，把▵ABD沿BD翻折，使得A∉平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点(如图2)，请用几何法求解下列问题：
(1)证明：BD⊥AMN；
(2)当平面ABD⊥平面BCD时，求二面角A−BC−D的正弦值；
(3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且APPB=NQQD=λ(λ>0)(如图3)，令PQ与BD所成的角为θ1，PQ与AN所成的角为θ1，求sinθ1−sinθ2的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】、利用补集、并集的定义求解即得．
【详解】全集U=1,2,3,4,5,6,7，集合B=1,3,5,7，则∁UB={2,4,6}，
因为A=2,3,4，
所以A∪(∁UB)=2,3,4,6．
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】根据“m=2”与“a⊥b”的互相推出情况判断出属于何种条件即可．
【详解】当m=2时，a=(1,1),b=(2,−2)，
所以a⋅b=2−2=0，所以a⊥b，充分性成立；
当a⊥b时，a⋅b=m(m−1)−2=0，
解得m=−1或m=2，必要性不成立．
所以“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】根据给定数据，求出三天中至少有两天下雨的随机数组数即可计算作答．
【详解】依题意，20组随机数中，表示三天中至少有两天下雨的随机数有：
446，072，021，392，325，405，631，700，305，311，共10组，
所以三天中至少有两天下雨的概率约为1020=12．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】取a=BA，b=BC作为基底，把BE、BF用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出CF．
【详解】取a=BA，b=BC作为基底，因为E是AD中点，则BE=BA+AE=BA+12AD=BA+12BC=a+12b．
因为BF=3FE，所以BF=34BE=34a+12b=34a+38b，
所以CF=BF−BC=34a+38b−b=34a−58b．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】由β+π4=α+β−α−π4结合两角差的正切公式求得．
【详解】由β+π4=α+β−α−π4
得tanβ+π4=tanα+β−α−π4=tanα+β−tanα−π41+tanα+βtanα−π4=25−141+25×14=322，
故选：A．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据已知条件可知A的角平分线与BC垂直，可得AB=AC，再由向量夹角公式得csA= 22，得A=π4，求出B,C即可得▵ABC的形状．
【详解】AB→AB→，AC→AC→分别为向量AB→与AC→方向上的单位向量，
因为ABAB+ACAC⋅BC=0，所以A的角平分线与BC垂直，
所以▵ABC是等腰三角形，且AB=AC，
由csA=AB→AB→·AC→AC→= 22，0