2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2,3,4}，B={1,3,5,7}，则A∪(∁UB)=( )
A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,3,4,6}D. {1,2,3,4,5,7}
2.已知向量a=(m−1,1)，b=(m,−2)，则“m=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为( )
A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6
4.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，记a=BA，b=BC，则CF=( )
A. 23a+13bB. 23a−13bC. −14a+38bD. 34a−58b
5.已知tan(α−π4)=14，tan(α+β)=25，则tan(β+π4)=( )
A. 322B. 1318C. 16D. 1322
6.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|= 22，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7.设一组样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为4，则数据x1，x2，x3，x4，2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别为( )
A. 4，14B. 4，16C. 5，14D. 5，16
8.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，若AB=BC=PO=4，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 523πC. 24πD. 36π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=5i−2，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为1B. z的共轭复数为−2+i
C. |z|= 5D. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=13，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则P(A∪B)=56
B. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=23
C. 若A与B相互独立，则P(AB−)=16
D. 若B发生时A一定发生，则P(AB)=13
11.已知向量a=(−1,x)，b=(1,2)，则下列说法正确的是( )
A. 若(2a−b)⊥b，则x=3
B. |2a−b|的最小值为3
C. 若(2a−b)//b，则x=−2
D. 若x=1，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(15,25)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，A1B1=1，则该棱台的体积为______．
13.一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是 海里．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，a=2 3，则△ABC周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M为PD的中点.请用几何法求解下列问题：
(1)证明：PB//平面AMC；
(2)设AP=AB=2，求直线BM与平面ABCD所成角的正切值．
16.(本小题15分)
某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计这次测试成绩的第70百分位数；
(3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于[80,90)和[90,100]内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]内”，求事件A的概率P(A)．
17.(本小题15分)
在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过.已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
(1)求李明第二次答题通过面试的概率；
(2)求张志通过面试的概率；
(3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率．
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC=b．
(1)求A；
(2)已知D为AB边上的一点，且BC⊥CD．
①若AC= 3，AD=1，求AB；
②求ADDB的取值范围．
19.(本小题17分)
在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=2 2，AD=AB= 2(如图1)，把△ABD沿BD翻折，使得A∉平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点(如图2).请用几何法求解下列问题：
(1)证明：BD⊥平面AMN；
(2)当平面ABD⊥平面BCD时，求二面角A−BC−D的正弦值；
(3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且APPB=NQQD=λ(λ>0)(如图3)，令PQ与BD所成的角为θ1，PQ与AN所成的角为θ2，求sinθ1−sinθ2的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6,7}，B={1,3,5,7}，
则∁UB={2,4,6}，
集合A={2,3,4}，
则A∪(∁UB)={2,3,4,6}．
故选：C．
根据集合的补集和并集的定义求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
由向量垂直的坐标表示求得m值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
【解答】
解：∵a=(m−1,1)，b=(m,−2)，
∴a⊥b⇔m(m−1)−2=0．
由m(m−1)−2=0，解得m=−1或m=2．
∴“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，在20组随机数中，
能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组，
则其3次射击至少2次击中目标的概率P≈1020=0.5；
故选：B．
根据题意，分析20组随机数中，能表示至少2次击中目标的组数，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查模拟方法估计概率，涉及古典概率的计算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题．
根据条件可知CF=CD+DE+EF，结合平行四边形性质可解决此题．
【解答】
解：∵平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，
∴DE=EA=12DA=12CB=−12b，CD=BA=a，
∴CF=CD+DE+EF=BA+12DA+14EB
=a−12b+14(EA+AB)=a−12b+14(−12b−a)
=34a−58b，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：∵tan(α−π4)=14，tan(α+β)=25，
∴tan(π4+β)=tan[(α+β)−(α−π4)]=tan(α+β)−tan(α−π4)1+tan(α+β)tan(α−π4)=25−141+25×14=322．
故选：A．
利用π4+β=(α+β)−(α−π4)，结合两角差的正切公式可求tan(β+π4)的值．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：AB|AB|,AC|AC|分别为向量AB与AC方向上的单位向量，
因为(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，所以A的角平分线与BC垂直，
所以△ABC是等腰三角形，且AB=AC，
由csA=AB|AB|⋅AC|AC|= 22，0