2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省滨州市高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2,3,4}，B={1,3,5,7}，则A∪(∁UB)=( )
A. {2,4}B. {2,4,6}C. {2,3,4,6}D. {1,2,3,4,5,7}
2.已知向量a=(m−1,1)，b=(m,−2)，则“m=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
926 446 072 021 392 077 663 817 325 615
405 858 776 631 700 259 305 311 589 258
据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为( )
A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.6
4.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE，记a=BA，b=BC，则CF=( )
A. 23a+13bB. 23a−13bC. −14a+38bD. 34a−58b
5.已知tan(α−π4)=14，tan(α+β)=25，则tan(β+π4)=( )
A. 322B. 1318C. 16D. 1322
6.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|= 22，则△ABC为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7.设一组样本数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为4，则数据x1，x2，x3，x4，2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别为( )
A. 4，14B. 4，16C. 5，14D. 5，16
8.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，O为△ABC的外心，PO⊥平面ABC，若AB=BC=PO=4，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为( )
A. 12πB. 523πC. 24πD. 36π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=5i−2，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部为1B. z的共轭复数为−2+i
C. |z|= 5D. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=13，则下列说法正确的是( )
A. 若A与B互斥，则P(A∪B)=56
B. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=23
C. 若A与B相互独立，则P(AB−)=16
D. 若B发生时A一定发生，则P(AB)=13
11.已知向量a=(−1,x)，b=(1,2)，则下列说法正确的是( )
A. 若(2a−b)⊥b，则x=3
B. |2a−b|的最小值为3
C. 若(2a−b)//b，则x=−2
D. 若x=1，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是(15,25)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，A1B1=1，则该棱台的体积为______．
13.一艘货船从A处出发，沿北偏西50°的方向以30海里每小时的速度直线航行，20分钟后到达B处，在A处观察C处灯塔，其方向是北偏东10°，在B处观察C处灯塔，其方向是北偏东55°，那么B，C两点间的距离是 海里．
14.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，a=2 3，则△ABC周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M为PD的中点.请用几何法求解下列问题：
(1)证明：PB//平面AMC；
(2)设AP=AB=2，求直线BM与平面ABCD所成角的正切值．
16.(本小题15分)
某学校随机抽取100名学生参加数学测试，记录他们的测试成绩，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如图频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值；
(2)估计这次测试成绩的第70百分位数；
(3)用按比例分配的分层随机抽样的方法从成绩位于[80,90)和[90,100]内的学生中抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]内”，求事件A的概率P(A)．
17.(本小题15分)
在某985高校的强基面试中，有两道难度相当的题目，每位面试者有两次答题机会，如果第一次答对抽到的题目，则面试通过，不再回答第二道题，否则就回答第二道题，第二道题答对则面试通过，若两道题都答错则面试不通过.已知李明答对每道题的概率都是0.6，张志答对每道题的概率都是0.5，假设两位面试者答题互不影响，且每人对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
(1)求李明第二次答题通过面试的概率；
(2)求张志通过面试的概率；
(3)求李明和张志至少有一人通过面试的概率．
18.(本小题17分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC=b．
(1)求A；
(2)已知D为AB边上的一点，且BC⊥CD．
①若AC= 3，AD=1，求AB；
②求ADDB的取值范围．
19.(本小题17分)
在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=2 2，AD=AB= 2(如图1)，把△ABD沿BD翻折，使得A∉平面BCD，连接AC，M，N分别是BD和BC的中点(如图2).请用几何法求解下列问题：
(1)证明：BD⊥平面AMN；
(2)当平面ABD⊥平面BCD时，求二面角A−BC−D的正弦值；
(3)若P，Q分别在线段AB，DN上，且APPB=NQQD=λ(λ>0)(如图3)，令PQ与BD所成的角为θ1，PQ与AN所成的角为θ2，求sinθ1−sinθ2的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.A
6.A
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.7 146
13.5 6
14.(4 3,6 3]
15.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，连接BD∩AC=O，连接OM，
由ABCD为正方形，得O是BD的中点，而M为PD的中点，
则PB//MO，而MO⊂平面AMC，PB⊄平面AMC，
所以PB//平面AMC；
(2)取AD中点H，连接MH，BH，由M为PD的中点，得MH//PA，
而PA⊥平面ABCD，则MH⊥平面ABCD，
所以∠MBH是直线BM与平面ABCD所成的角，
MH=12PA=1，BH= AB2+AH2= 5，
在Rt△MBH中，tan∠MBH=MHBH= 55，
所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值是 55．
16.(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.006+0.008+0.020+0.030+0.024+m)×10=1，解得m=0.012；
(2)因为大于第70百分位数的频率为0.3，测试成绩位于[90,100]的频率0.012×10=0.120.3，故第70百分位数位于[80,90)，设为x，
则(90−x)×0.024+0.12=0.3，解得x=82.5，即第70百分位数为82.5；
(3)测试成绩位于[80,90)的频率P1=0.024×10=0.24，
位于[90,100]的频率P2=0.012×10=0.12，因为P1：P2=2：1，所以确定的6人中成绩在[80,90)内的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4，
成绩在[90,100]内的有2人，分别记为B1，B2，
从6人中随机抽取2人的样本空间：Ω={(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，
(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,B1)，(A2,B2)，
(A3,A4)，(A3,B1).(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)，(B1,B2)}，
共有15个样本点，其中A={(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，
(A3,B2)，(A4,B1)，(A4,B2)}，即n(A)=8，所以概率为P(A)=815．
17.(1)根据题意，若李明第二次答题通过面试，即李明第一次答错抽到的题目，而第二次答对抽到的题目，
则要求概率P=(1−0.6)×0.6=0.24；
(2)根据题意，设A=“张志通过面试”，则A−=“张志没有通过面试”，即张志两次都没有答对抽到的题目，
则P(A−)=(1−0.5)×(1−0.5)=0.25，
故P(A)=1−P(A−)=0.75；
(3)根据题意，设B=“李明通过面试”，易得P(B−)=(1−0.6)2=0.16，
则P(A−B−)=0.25×0.16=0.04，
则李明和张志至少有一人通过面试的概率P=1−P(A−B−)=0.96．
18.(1)在△ABC中，因为acsC+ 3asinC=b，
所以由正弦定理得：sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以 3sinAsinC=csAsinC，因为snC>0，所以tanA= 33，
又因为0