初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十六章 整式的乘法16.3 乘法公式16.3.1 平方差公式精练

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知识点01 完全平方公式
完全平方公式：
①完全平方和公式：
两个数的和的平方，等于这两个数的 平方 的和 加上 这两个数乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
②完全平方差公式：
两个数的差的平方，等于这两个数的 平方 的和 减去 这两个数的乘积的两倍。
即： 。可以是两个数，也可以是两个式子。
完全平方公式的式子特点：
：一个二项式的平方，等于这个二项式的两项的 平方的和 加上这两项的 两倍 。注意每一项都包含前面的符号。
巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。
完全平方公式的几何背景：
图1中面积的整体表示为：
用各部分面积之和表示为：
所以
用同样的方法表示图2的面积即可得到：
。
完全平方和公式与完全平方差公式的转化：
，
∵
∴
【即学即练1】
1．运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2； （2）；
（3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2．
【分析】直接利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（4m+n）2
＝16m2+8mn+n2；
（2）
＝y2﹣y+；
（3）（﹣a﹣b）2；
＝a2+2ab+b2；
（4）（﹣a+b）2
＝a2﹣2ab+b2．
【即学即练2】
2．运用完全平方公式计算：
（1）632； （2）982； （3）700.12； （4）499.92．
【分析】（1）根据已知得出（60+3）2，根据完全平方公式展开得出602+2×60×3+32，求出即可；
（2）根据已知得出（100﹣2）2，根据完全平方公式展开得出1002﹣2×100×2+22，求出即可；
（3）根据已知得出（700+0.1）2，根据完全平方公式展开得出7002+2×700×0.1+0.12，求出即可；
（4）根据已知得出（500﹣0.1）2，根据完全平方公式展开得出5002﹣2×500×0.1+0.12，求出即可．
【解答】解：（1）632＝（60+3）2
＝602+2×60×3+32
＝3600+360+9
＝3939；
（2）982
＝（100﹣2）2
＝1002﹣2×100×2+22
＝10000﹣400+4
＝9604；
（3）700.12
＝（700+0.1）2
＝7002+2×700×0.1+0.12
＝490000+140+0.01
＝490140.01；
（4）499.92
＝（500﹣0.1）2
＝5002﹣2×500×0.1+0.12
＝250000﹣100+0.01
＝249900.01．
【即学即练3】
3．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值．
【分析】根据x2+y2＝26和xy＝3，构造完全平方式，利用整体思想进行解答．
【解答】解：∵x2+y2＝26，xy＝3，
∴①x2+y2+2xy＝26+6，
（x+y）2＝32；
②∵x2+y2﹣2xy＝26﹣6，
∴（x﹣y）2＝20．
故答案为：（x+y）2＝32，（x﹣y）2＝20．
【即学即练4】
4．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（ ）
A．﹣8B．±8C．﹣16D．±16
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+16成为完全平方式，
∴m＝±16，
故选：D．
【即学即练5】
5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．3B．9C．±3D．±9
【分析】这里首末两项是x和m这两个数的平方，那么中间一项为加上x和m积的2倍，故6x＝±2mx，m＝±3．
【解答】解：∵x2+2mx+m2＝（x+m）2，
∴在x2+6x+m2中，6x＝±2mx，m＝±3．
故选：C．
【即学即练6】
6．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．（y+x）2＝y2+xy+x2B．（y+x）2＝y2+2xy+x2
C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy
【分析】此图形中，一个大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积．
【解答】解：如图，大正方形的面积＝（y+x）2，
小正方形的面积＝（y﹣x）2，
四个长方形的面积＝4xy，
则由图形知，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝四个矩形的面积，即（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy．
故选：D．
知识点02 添括号法则
添括号法则：
在条加括号时，若括号前面时正号，括到括号里面的每一项都 不变号 ，若括号前面是负号，则括到括号里面的每一项都要 变号 。
即：＝（ ）；＝（ ）
【即学即练1】
,7．计算题：
（1）（a﹣2b﹣3c）2；
（2）（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）﹣（x+y﹣z）2．
【分析】（1）将a﹣2b看作一个整体＝[（a﹣2b）﹣3c]2，运用完全平方差公式，逐步展开去括号计算．
（2）首先将（x+2y﹣z）（x﹣2y﹣z）看作[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]运用平方差公式，再运用完全平方式，对（x+y﹣z）2看作[（x﹣z）+y]2运用完全平方式，两式相减利用有理式的混合运算．
【解答】解：（1）原式＝（a﹣2b）2﹣2×（a﹣2b）×3c+9c2
＝a2+4b2﹣4ab﹣6ac+12bc+9c2
＝a2+4b2+9c2﹣4ab﹣6ac+12bc；
（2）原式＝[（x﹣z）+2y][（x﹣z）﹣2y]﹣[（x﹣z）+y]2
＝（x﹣z）2﹣4y2﹣（x﹣z）2﹣2（x﹣z）y﹣y2
＝﹣5y2﹣2xy+2yz．
题型01 利用完全平方公式计算
【典例1】计算：
（1）（﹣5a+4b）2； （2）（2a﹣b）2；
（3）（a﹣b）2； （4）（﹣mn+）2．
【分析】利用完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）（﹣5a+4b）2
＝（﹣5a）2+2×（﹣5a）×4b+（4b）2
＝25a2﹣40b+16b2，
（2）（2a﹣b）2
＝（2a）2﹣2×2a×（b）+（）2
＝4a2﹣+，
（3）（a﹣b）2
＝﹣2×+
＝，
（4）（﹣mn+）2
＝
＝．
【变式1】计算：
（1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2．
（3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2．
【分析】（1）根据公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求出即可；
（2）根据公式（a+b）2＝a2+2ab+b2求出即可；
（3）根据公式（a+b）2＝a2+2ab+b2求出即可；
（4）先根据平方差公式计算，再根据公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2求出即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62
＝x2﹣12x+36；
（2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2
＝4x2+4xy+y2；
（3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2
＝p2﹣6pq+9q2；
（4）原式＝[4m2﹣n2]2
＝16m4﹣8m2n2+n4．
【变式2】计算：
（1）（1+4a）2； （2）（﹣5+3y）2； （3）（x2﹣6y）2；
（4）； （5）（2a+1）2﹣4a（a﹣1）；
（6）．
【分析】（1）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（2）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（3）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（4）利用完全平方公式展开即可得到结果；
（5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果；
（6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝1+8a+16a2；
（2）原式＝25﹣30y+9y2；
（3）原式＝x4﹣12x2y+36y2；
（4）原式＝4x2+x+；
（5）原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1；
（6）原式＝x2+2xy+4y2+x2﹣2xy+4y2＝x2+8y2．
题型02 利用完全平方公式简便运算
【典例1】利用完全平方公式进行简便运算：
（1）1012＝（ 100 + 1 ）2＝ 10201 ；
（2）9.82＝（ 10 ﹣ 0.2 ）2＝ 96.04 ．
【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）1012＝（100+1）2＝10201，
故答案为：100；1；10201；
（2）9.82＝（10﹣0.2）2＝96.04，
故答案为：10；0.2；96.04．
【变式1】用简便方法计算：20032﹣2003×8+16＝ 3996001 ．
【分析】把8写成2×4的形式，再根据完全平方公式把20032﹣2003×8+16整理成两数差的平方的形式，然后再把1999写成2000﹣1，根据完全平方公式展开进行计算．
【解答】解：20032﹣2003×8+16，
＝20032﹣2×2003×4+42，
＝（2003﹣4）2，
＝19992，
＝（2000﹣1）2，
＝20002﹣2×2000×1+12，
＝3996001．
【变式2】用简便方法计算：2022+202×196+982．
【分析】把196写成98×2的形式，套用完全平方公式计算．
【解答】解：2022+202×196+982
＝2022+2×202×98+982
＝（202+98）2
＝3002
＝90000．
题型03 利用完全平方公式变形求值
【典例1】已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝（ ）
A．8B．10C．12D．16
【分析】先根据完全平方公式得出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12，
故选：C．
【变式1】已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（ ）
A．8B．20C．4D．16
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴12﹣4×2＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝4，
故选：C．
【变式2】已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值．
（1）a2+b2；
（2）（a+b）2．
【分析】根据完全平方公式，解答（1）（2）即可．
【解答】解：a﹣b＝3，ab＝1，
（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×1＝13．
【变式3】已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值．
（1）a2+b2；
（2）a4+b4．
【分析】（1）将“（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6”代入a2+b2＝（a﹣b）2+2ab中，即可求出结论；
（2）原式利用完全平方公式变形，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，
∴a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝25+2×（﹣6）＝25﹣12＝13；
（2）∵a2+b2＝13，ab＝﹣6，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×（﹣6）2＝169﹣72＝97．
题型04 利用完全平方式的特点求值
【典例1】若x2+kx+64为一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．16B．±16C．8D．±8
【分析】根据完全平方式得出kx＝±2•x•8，再求出k即可．
【解答】解：∵x2+kx+64是一个完全平方式，
∴kx＝±2•x•8，
解得：k＝±16．
故选：B．
【变式1】若关于x的二次三项式x2+（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．﹣6B．6C．±6D．10或﹣6
【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
【解答】解：∵x2+（k﹣2）x+16是一个完全平方式，
∴x2+（k﹣2）x+16＝（x±4）2，
∴x2+（k﹣2）x+16＝x2±8x+16，
∴k﹣2＝±8，
解得：k＝10或﹣6，
故选：D．
【变式2】若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（ ）
A．21B．19C．21或﹣19D．﹣21或19
【分析】先得出4x2﹣（k﹣1）xy+25y2完全平方式为（2x±5y）2，再将其展开，则有﹣（k﹣1）＝±20，计算出k的值即可．
【解答】解：∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2且多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，
∴4x2﹣（k﹣1）xy+25y2＝（2x±5y）2，
∴﹣（k﹣1）＝±20，
∴k﹣1＝±20，
∴k＝21或k＝﹣19．
故选：C．
【变式4】将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（ ）
A．6xB．﹣6xC．D．3x
【分析】根据完全平方式的特征进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、9x2+6x+1＝（3x+1）2，故A不符合题意；
B、9x2﹣6x+1＝（3x﹣1）2，故B不符合题意；
C、x4+9x2+1＝（x+1）2，故C不符合题意；
D、9x2+3x+1不是完全平方式，故D符合题意；
故选：D．
【变式5】若关于x的二次三项式x2+nx+m是完全平方式，则m与n的关系式为（ ）
A．m＝4n2B．m＝﹣4n2C．D．
【分析】先把x2+nx+m变形为，即可得出nx＝±，从而得到m与n的关系式．
【解答】解：，
∴nx＝±，
∴n＝±2，
∴n2＝4m，
即，
故选：D．
题型02 完全平方公式的几何意义
【典例1】如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（ ）
A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b）
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】用两种不同的方法分别求出图中最大的正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵图中最大的正方形的边长为a+b，
∴图中最大正方形的面积为：（a+b）2，
又∵图中最大的正方形是由两个面积分别为a2，b2的正方形和两个面积都是ab的长方形组成，
∴图中最大正方形的面积为：a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：D
【变式1】两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
【分析】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和．
【解答】解：如图，
∵a﹣b＝2，ab＝26，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，
阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM
＝2×（a﹣b）×a+2×b×b
＝a（a﹣b）+b2
＝a2+b2﹣ab
＝56﹣26
＝30．
故选：A．
【变式2】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
【分析】观察图形，阴影部分除了在正方形中，还以正方形边长为直角边构造三角形，因此阴影部分可看作由不同三角形组成，每个阴影部分都与其所在三角形有关系，由此可逐个分析：首先令直线BF与直线CD的交点为O（如图），则可看出△BDO与△EFO、△BGF有关，用△BCD与▱ECGF的面积和减去△BGF的面积可得阴影部分△BDO与△EFO的面积，阴影部分△DEF和△CGF的面积可依据正方形的边长a与b各自求出．至此，阴影部分面积可计和求出，然后利用已知条件进行完全平方公式再代入计算数值．
【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①
S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2•20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
故选：C．
【变式3】如图1，小长方形的长和宽分别为a和b，将四块这样的长方形按如图2所示位置摆放．
（1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为 a﹣b ．
（2）能用图2中的图形面积关系来验证的等式是： （a+b）2 ＝ （a﹣b）2+4ab ．
（3）若x﹣y＝3，xy＝4，求x+y的值．
【分析】（1）根据“拼图”中各个部分之间的关系即可得出答案；
（2）由图形中面积之间的和差关系进行计算即可；
（3）由（2）的结论，代入求出（x+y）2＝25，再根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）图2中的四边形EFGH为正方形，其边长为a﹣b，
故答案为：a﹣b；
（2）图2从“整体”看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2中“中间小正方形”的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，图2中阴影部分的面积和未ab，由图形中面积之间的关系可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）由（2）可得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
∵x﹣y＝3，xy＝4，
∴（x+y）2＝32+4×4＝25，
∴x+y＝5或x+y＝﹣5．
题型02 平方差公式与完全平方公式的综合
【典例1】计算：
（1）（3x﹣2y﹣1）2；
（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）2．
【分析】（1）先把运算变形为原式＝[（3x﹣2y）﹣1]2＝（3x﹣2y）2﹣2（3x﹣2y）+1，然后利用完全平方公式展开即可；
（2）先把原式变形为原式＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]﹣[（a﹣c）﹣b]2＝（a﹣c）2﹣4b2﹣[（a﹣c）2﹣2b（a﹣c）+b2]，然后利用平方差公式和完全平方公式展开．
【解答】解：（1）原式＝[（3x﹣2y）﹣1]2
＝（3x﹣2y）2﹣2（3x﹣2y）+1
＝9x2﹣12xy+4y2﹣6x+4y+1；
（2）原式＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]﹣[（a﹣c）﹣b]2
＝（a﹣c）2﹣4b2﹣[（a﹣c）2﹣2b（a﹣c）+b2]
＝（a﹣c）2﹣4b2﹣（a﹣c）2+2b（a﹣c）﹣b2
＝﹣5b2+2ab﹣2bc．
【变式1】计算下列各式：
（1）；
（2）（2a﹣3b+1）2．
【分析】（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先分组，再按照完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝（+3y+﹣3y）（﹣+3y）
＝•6y
＝3xy；
（2）（2a﹣3b+1）2
＝[（2a﹣3b）+1]2
＝（2a﹣3b）2+2•（2a﹣3b）•1+12
＝4a2﹣12ab+9b2+4a﹣6b+1．
【变式2】已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，求m+n．
【分析】把原式化成（m﹣3）2+（n+5）2＝0，得出m﹣3＝0，n+5＝0，求出m、n的值，代入求出即可．
【解答】解：∵m2+n2﹣6m+10n+34＝0，
∴m2﹣6m+9+n2+10n+25＝0，
∴（m﹣3）2+（n+5）2＝0，
m﹣3＝0，n+5＝0，
m＝3，n＝﹣5，
∴m+n＝3+（﹣5）＝﹣2．
【变式3】阅读理解．
已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值．
解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6．
整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6．
2（a﹣13）2+2＝6
得（a﹣13）2＝2．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，求（a﹣97）2的值．
（2）已知（a﹣2024）2＝8，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值．
【分析】（1）将（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10变形为[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣97）2+2＝10，即可求出（a﹣97）2的值；
（2）将（a﹣2025）2+（2023﹣a）2变形为[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2，然后利用完全平方公式展开并整理成2（a﹣2024）2+2，然后将已知条件代入求值即可．
【解答】解：（1）由（a﹣98）2+（96﹣a）2＝10，可得[（a﹣97）﹣1]2+[（a﹣97）+1]2＝10，
整理得（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1+（a﹣97）2+2（a﹣97）+1＝10，
2（a﹣97）2+2＝10，
得（a﹣97）2＝4；
（2）（a﹣2025）2+（2023﹣a）2
＝[（a﹣2024）﹣1]2+[（a﹣2024）+1]2
＝（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1
＝2（a﹣2024）2+2，
当（a﹣2024）2＝8时，
原式＝2×8+2＝18．
1．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（ ）
A．+10xyB．+10xy或﹣10xy
C．+20xyD．+20xy或﹣20xy
【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可．
【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2，
∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴墨迹覆盖的这一项是±20xy，
故选：D．
2．已知x2+x﹣3＝0，那么代数式x（x﹣2）+（x+2）2+5值是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【分析】先根据单项式乘多项式、完全平方公式计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣3＝0，
∴x2+x＝3，
∴x（x﹣2）+（x+2）2+5
＝x2﹣2x+x2+4x+4+5
＝2x2+2x+9
＝2（x2+x）+9
＝2×3+9
＝6+9
＝15，
故选：B．
3．已知a＝5+5b，则代数式a2﹣10ab+25b2的值是（ ）
A．16B．20C．25D．30
【分析】先将原式根据完全平方公式变形，再整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵a＝5+5b，
∴a﹣5b＝5，
∴a2﹣10ab+25b2＝（a﹣5b）2＝52＝25．
故选：C．
4．若a、b是某长方形的长和宽，且有（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，则该长方形面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】将所给两个式子作差可得（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，即可求长方形面积．
【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
5．若（2x+3y）2＝（2x﹣3y）2+（ ）成立，则括号内的式子等于（ ）
A．24xyB．12xyC．6xyD．4xy
【分析】利用完全平方公式展开 （2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2即可得到答案．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x﹣3y）2
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣12xy+9y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+12xy﹣9y2
＝24xy．
故选：A．
6．如果x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7B．﹣7C．﹣5或7D．﹣5或5
【分析】根据完全平方式的特点得出（m﹣1）x＝±2•x•3，再求出即可．
【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴（m﹣1）x＝±2•x•3，
∴m﹣1＝±6，
∴m＝﹣5或7，
故选：C．
7．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2﹣ab+b2的值是（ ）
A．30B．31C．32D．33
【分析】先根据完全平方公式变形，再把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝﹣2，
∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝25+6＝31．
故选：B．
8．设 a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023．若 a2+b2＝16，则 c2 的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】由a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，可得a﹣1＝c＝b+1，a﹣b＝2，根据完全平方公式求出ab的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a＝x﹣2022，b＝x﹣2024，c＝x﹣2023，
∴a﹣1＝x﹣2023＝c＝b+1，a﹣b＝2，
∵a2+b2＝16，
∴（a﹣b）2+2ab＝16，
∴ab＝6，
∴c2＝（a﹣1）（b+1）
＝ab+a﹣b﹣1
＝6+2﹣1
＝7，
故选：C．
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（ ）
A．8B．9C．12D．15
【分析】设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是a2+b2．根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为（a﹣b），图②中新正方形的边长为（a+b），根据完全平方公式求出2ab即可求解即可．
【解答】解：设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是a2+b2．
根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为（a﹣b），图②中新正方形的边长为（a+b），
∵图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，
∴，
∴，
∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝8，
∴图②阴影面积是8．
故选：A．
10．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，那么a4+b4+c4的值是（ ）
A．6B．8C．20D．34
【分析】根据a+b+c＝0，可得a＝﹣b﹣c，再由a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2a2（b2+c2）+2b2c2，把a＝﹣b﹣c代入即可得出答案．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a＝﹣b﹣c，
∴（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2，
∴a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+a2c2+b2c2）
∵a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝0，
∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）＝0，①
∵a2+b2+c2＝4，②
把②代入①，得
4+2（ab+bc+ca）＝0，
解得，ab+bc+ca＝﹣2；
∵a4+b4+c4＝（a2+b2+c2）2﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝（a2+b2+c2）2﹣2[（ab+bc+ac）2﹣2abc（a+b+c）]，
ab+bc+ca＝﹣2，a+b+c＝0，
∴a4+b4+c4
＝16﹣2×[（﹣2）2﹣0]
＝8．
故选：B．
11．计算：（a+2b）2＝ a2+4ab+4b2 ；（3x﹣1）2＝ 9x2﹣6x+1 ．
【分析】利用完全平方公式展开得到结果．
【解答】解：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；
（3x﹣1）2＝9x2﹣6x+1．
故答案为：a2+4ab+4b2；9x2﹣6x+1．
12．若（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则xy＝ 1 ．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．先利用完全平方公式把条件展开，然后两式相减即可求出xy的值．
【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9 （1），
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝5 （2），
（1）﹣（2）可得：4xy＝4，
解得xy＝1．
13．若|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，则x2+y2的值为 13 ．
【分析】利用非负数之和等于0的性质求出x+y＝5，xy＝6，然后把x+y＝5，两边平方后整理并代入数据计算即可求出x2+y2的值．
【解答】解：∵|x+y﹣5|≥0，（xy﹣6）2≥0，|x+y﹣5|+（xy﹣6）2＝0，
∴x+y﹣5＝0，xy﹣6＝0，
∴x+y＝5，xy＝6，
∴（x+y）2＝25，
即x2+y2+2xy＝25，
∵xy＝6，
∴x2+y2＝25﹣2×6＝13．
14．已知：a+b＝3，ab＝5，则a2+b2﹣2a﹣2b+6＝ ﹣1 ．
【分析】根据完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再把a+b＝3，ab＝5代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝5，
∴a2+b2﹣2a﹣2b+6
＝（a+b）2﹣2ab﹣2（a+b）+6
＝32﹣2×5﹣2×3+6
＝9﹣10﹣6+6
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB＝5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 6 ．
【分析】设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，由题意可得a+b＝5，a2+b2＝13，再用代数式表示图形中阴影部分的面积，再代入计算即可．
【解答】解：如图，设正方形ACDM的边长为a，正方形BEFM的边长为b，
∵AB＝5，两个正方形面积之和为13，
∴即a+b＝5，a2+b2＝13，
S阴影部分＝S正方形CQEP﹣S△CFQ﹣S△CPB﹣S正方形BEFM
＝（a+b）2﹣a（a+b）﹣a（a+b）﹣b2
＝a2+2ab+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝ab
＝
＝
＝6．
故答案为：6．
16．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求：
（1）a2+3ab+b2的值；
（2）（a+b）2的值．
【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝1，
a2+3ab+b2
＝（a﹣b）2+5ab
＝9+5
＝14；
（2）（a+b）2
＝（a﹣b）2+4ab
＝9+4
＝13．
17．运用乘法公式计算：
（1）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）；
（2）（a+b+c）2．
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式解答即可；
（2）利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）原式＝[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）]
＝x2﹣（2y﹣3）2
＝x2﹣4y2+12y﹣9；
（2）原式＝[a+（b+c）]2
＝a2+2a（b+c）+（b+c）2
＝a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2．
18．阅读下列解答过程：
已知：x≠0，且满足x2﹣3x＝1．求：的值．
解：∵x2﹣3x＝1，∴x2﹣3x﹣1＝0
∴，即．
∴＝＝32+2＝11．
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣7，
求：（1）的值；（2）的值．
【分析】（1）根据题意可得，再利用完全平方公式计算即可；
（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2＝14a﹣71﹣4a2﹣（9﹣12a+4a2）+9a2﹣14a+7＝0，
整理得：a2﹣2a﹣1＝0
∴，
∴；
（2）解：的倒数为，
∵，
∴．
19．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，能够在三个代数式a+b，ab，a2+b2中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知a+b＝3，ab＝2，求a2+b2的值．
解：将a+b＝3两边同时平方，得（a+b）2＝32，
即a2+2ab+b2＝9，
因为ab＝2，
等量代换，得a2+b2+2×2＝9，
所以a2+b2＝5．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）已知a﹣b＝1，a2+b2＝17，求ab的值．
（2）如图，已知两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝9，求图中阴影部分的面积．
（3）若（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2的值为 13 ．
【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将a﹣b＝1，a2+b2＝17代入即可求解；
（2）根据题意得出图中阴影部分的面积＝a2+b2﹣ab，再根据完全平方公式变形求出a2+b2＝31，即可求解；
（3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，表示出mn＝﹣6，m+n＝1，根据（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝（m+n）2﹣2mn计算即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，a2+b2＝17，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴12＝17﹣2ab，
解得：ab＝8；
（2）根据题意可得：
图中阴影部分的面积＝．
∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝72，
即a2+2ab+b2＝49，
∵ab＝9，
∴a2+b2+2×9＝49，
即a2+b2＝31，
∴图中阴影部分的面积＝31﹣9＝22；
（3）令2025﹣x＝m，x﹣2024＝n，
则m+n＝2025﹣x+x﹣2024＝1，
∵（2025﹣x）（x﹣2024）＝﹣6，
∴mn＝﹣6，
则（2025﹣x）2+（x﹣2024）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．
故答案为：13．
20．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝ ﹣3 时，x2+6x﹣15有最小值是 ﹣24 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 大 （填“大”或“小”）值，该值为 19 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值
（4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式计算y+x即可；
（4）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0，
∴（x+3）2﹣24≥﹣24，
∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24，
∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24；
故答案为：﹣3，﹣24；
（2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0，
∴﹣（x﹣1）2+19≤19，
∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19；
故答案为：大，19；
（3）∵﹣x2+5x+y+20＝0，
∴y＝x2﹣5x﹣20，
∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24，
∵（x﹣2）2≥0，
∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0，
∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24，
∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24；
∴y+x的最小值是﹣24；
（4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，
∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1．
∵a，b，c都是正整数，
∴边长c的值为4，
∴△ABC的周长为1+4+4＝9．
课程标准
学习目标
①完全平方公式
②添括号法则
掌握完全平方公式以及完全平方公式的特点，完全平方公式的几何意义并能够熟练应用其解决问题。
掌握添加括号的法则，能够熟练的运用。