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专题14.15 完全平方公式(专项练习)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
展开专题14.15 完全平方公式(专项练习)
一、 单选题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
1.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )
A.x2+9 B.x2–6x+9 C.x2+6x+9 D.x2+3x+9
2.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于( )
A.60ab B.30ab C.15ab D.12ab
3.选择计算(﹣4xy2+3x2y)(4xy2+3x2y)的最佳方法是( )
A.运用多项式乘多项式法则 B.运用平方差公式
C.运用单项式乘多项式法则 D.运用完全平方公式
4.下列各式中,一定成立的是
A. B.
C. D.
知识点二、运用完全平方公式变形求值
5.已知x+y=﹣5,xy=3,则x2+y2=( )
A.25 B.﹣25 C.19 D.﹣19
6.若,则的值为( )
A.12 B.2 C.3 D.0
7.已知,则=( )
A. B.﹣ C. D.
8.若,,则的值为()
A.40 B.36 C.32 D.30
知识点三、 完全平方公式中的参数
9.若x2+mxy+4y2是完全平方式,则常数m的值为( )
A.4 B.﹣4
C.±4 D.以上结果都不对
10.若25a2+(k﹣3)a+9是一个完全平方式,则k的值是( )
A.±30 B.31或﹣29 C.32或﹣28 D.33或﹣27
11.若x2+8x+m是完全平方式,则m的值为( )
A.4 B.﹣4 C.16 D.﹣16
12.若是一个完全平方式,则k的值为
A.48 B.24 C. D.
知识点四、完全平方公式在几何图形中的应用
13.已知、、是的三边,且满足,则的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.不能确定
14.如图,有甲、乙、丙三种纸片各若干张,其中甲、乙分别是边长为a(cm)、b(cm)的正方形,丙是长为b(cm),宽为a(cm)的长方形.若同时用甲、乙、丙纸片分别为4张、1张、4张拼成正方形,则拼成的正方形的边长为( )
A.(a+2b)cm B.(a﹣2b)cm C.(2a+b)cm D.(2a﹣b)cm
15.如图:把长和宽分别为a和 b的四个完全相同的小长方形(a>b)拼成的一个“回形”正方形,图中的阴影部分的面积正好可以验证下面等式的正确性的是( )
A. B.
C. D.
16.小颖用4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2.若a=2b,则S1、S2之间的数量关系为( )
A. B. C. D.
知识点五、整式的混合运算
17.下列运算正确的是( )
A. B. C.D.
18.计算:(a-b+3)(a+b-3)=( )
A.a2+b2-9 B.a2-b2-6b-9
C.a2-b2+6b-9 D.a2+b2-2ab+6a+6b+9
19.已知a2+a﹣4=0,那么代数式:a2(a+5)的值是( )
A.4 B.8 C.12 D.16
20.代数式(m﹣2)(m+2)(m2+4)﹣(m4﹣16)的结果为( )
A.0 B.4m C.﹣4m D.2m4
二、 填空题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
21.计算:(a-2b+c)2=________.
22.若m=2n+1,则m2﹣4mn+4n2的值是___.
23.计算的结果等于_____.
24.若,满足,,则______.
知识点二、运用完全平方公式变形求值
25.若m+=3,则m2+=_____.
26.已知,,则=_____________.
27.已知a2+2a+b2-6b+10=0,那么a=_______,b=______.
28.已知(2019﹣a)2+(a﹣2017)2=7,则代数式(2019﹣a)(a﹣2017)的值是_____.
知识点三、 完全平方公式中的参数
29.若是关于的完全平方式,则__________.
30.若x2+ax+4是完全平方式,则a=_____.
31.若代数式可化为,则的值是________.
32.如果,且,则的值是 ____ .
知识点四、完全平方公式在几何图形中的应用
33.有一个边长为a的大正方形和四个边长为b的全等的小正方形(其中a>2b),按如图方式摆放,并顺次连接四个小正方形落入大正方形内部的顶点,得到四边形ABCD.
下面有四种说法:
①阴影部分周长为4a;
②阴影部分面积为(a+2b)(a-2b);
③四边形ABCD周长为8a-4b;
④四边形ABCD的面积为a2-4ab+4b2.
所有合理说法的序号是____.
34.如图,A、B表示两张大小不同的正方形卡片,若用1张A和2张B分别不重叠地铺在长方形和正方形盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影部分表示,若图乙中阴影部分的面积是图甲中阴影部分面积的3倍,则A卡片的边长是B卡片边长的_______倍,图乙正方形盒底面积是图甲长方形盒底面积的 _________倍.
35.装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色,是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术.如图,整个画框的长分米,宽为分米,中间部分是长方形的画心,长和宽均是分米,则画心外阴影部分面积是_________平方分米,并求当,时的阴影部分面积是_________平方米.
36.如图所示,图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形,图2,是一个边长为的正方形,记图1,图2中阴影部分的面积分别为 ,则可化简为____.
知识点五、整式的混合运算
37.已知x2+2x=3,则代数式(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)+x2的值为_____.
38.计算:(a+1)2﹣a2=_____.
39.若,则的值为__________.
40.若规定,则当时,__________.
三、 解答题
知识点一、运用完全平方公式进行运算
41.化简
(1); (2);
(3); (4).
知识点二、运用完全平方公式变形求值
42.阅读理解.
因为, ①
因为 ②
所以由①得: , 由②得:
所以
试根据上面公式的变形解答下列问题:
(1)已知,则下列等式成立的是( )
①; ②; ③; ④;
A.①; B.①②; C.①②③; D.①②③④;
(2)已知,求下列代数式的值:
①; ②;③.
知识点三、 完全平方公式中的参数
43.已知多项式,多项式.
(1)若多项式是完全平方式,则 .
(2)已知时,多项式的值为,则时,多项式的值为多少?
(3)在第(2)问的条件下,求的值.
知识点四、整式的混合运算
44. 计算:(1)·8÷(-15x2y2) (2)
(3) (4)(3ab+4)2-(3ab-4)2
参考答案
1.C
【详解】
试题分析:运用完全平方公式可得(x+3)2=x2+2×3x+32=x2+6x+9.故答案选C
考点:完全平方公式.
2.A
【分析】
根据完全平方公式的展开法则,将等号两边去掉括号,即可得出A.
【详解】
∵(5a+3b)2=(5a-3b)2+A
∴25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A
∴A=60ab
故选:A
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用,(a±b)2=a2±2ab+b2,两数和(差)的平方,等于它们的平方和加上(减去)它们的的积的2倍.
3.B
【分析】
直接利用平方差公式计算得出答案.
【详解】
选择计算(﹣4xy2+3x2y)(4xy2+3x2y)的最佳方法是:运用平方差公式.
故选B.
【点拨】此题主要考查了多项式乘法,正确应用公式是解题关键.
4.C
【分析】
根据完全平分公式、平方差公式,即可解答.
【详解】
解:A、(x+y)2= x2+2xy+y2≠x2+y2,故错误;
B、(x+6)(x-6)=x2-36,故错误;
C、(x-y)2=x2-2xy+y2,(y-x)2=y2-2xy+x2,正确;
D、(3x-y)(-3x+y)=-(3x-y)(3x-y)=-(3x-y)2=-9x2+6xy-y2,故错误;
故选C.
【点拨】本题考查了完全平方公式,平方差公式,解决本题的关键是熟记完全平方公式、平方差公式.
5.C
【详解】
解:∵x+y=﹣5,xy=3,
∴
=25-2×3=19.
故选C
6.A
【分析】
先根据得出,然后利用提公因式法和完全平方公式对进行变形,然后整体代入即可求值.
【详解】
∵,
∴,
∴.
故选:A.
【点拨】本题主要考查整体代入法求代数式的值,掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键.
7.C
【解析】
分析:本题只要根据即可得出答案.
详解:,故选C.
点睛:本题考查的是完全平方公式的应用,属于中等难度的题型.,,,本题只要明确这些即可得出答案.
8.C
【分析】
根据a+b=6,ab=4,应用完全平方公式,求出a2+ab+b2的值为多少即可.
【详解】
解:∵a+b=6,ab=4,
∴a2+ab+b2
=(a+b)2-ab
=36-4
=32
故选:C.
【点拨】此题主要考查了完全平方公式的应用,要熟练掌握,应用完全平方公式时,要注意:①公式中的a,b可是单项式,也可以是多项式;②对形如两数和(或差)的平方的计算,都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式.
9.C
【解析】∵(x±2y)2=x2±4xy+4y2,
∴在x2+mxy+4y2中,±4xy=mxy,
∴m=±4.
故选C.
10.D
【解析】
∵25a2+(k﹣3)a+9是一个完全平方式,∴k﹣3=±30,解得:k=33或﹣27,故选D.
11.C
【分析】
根据乘积项先确定出这两个数是x和4,再根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可
【详解】
∵x2+8x+m是完全平方式,
∴这两个数是x、4,
∴m=42=16.
故选C.
【点拨】本题考查完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式的结构特点,求出这两个数是解题的关键.
12.D
【分析】
这里首末两项是6x和4这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去6x和4的积的2倍,故k±2×4×6=±48.
【详解】
解:∵(6x±4)2=36x2±48x+16,
∴在36x2+kx+16中,k=±48.
故选D.
【点拨】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
13.B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式把等式进行变形即可求解.
【详解】
∵
∴
则=0,
故a=b=c,的形状等边三角形,故选B.
【点拨】此题主要考查完全平方公式的应用,解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
14.C
【分析】
根据题意可得4a2+4ab+b2=(2a+b)2,然后根据正方形的面积公式解答即可.
【详解】
解:4张边长为a的正方形纸片的面积是4a2,
4张边长分别为a、b(b>a)的矩形纸片的面积是4ab,
1张边长为b的正方形纸片的面积是b2,
∵4a2+4ab+b2=(2a+b)2,
∴拼成的正方形的边长为(2a+b)cm.
故选:C.
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景,属于常考题型,根据题意得出4a2+4ab+b2=(2a+b)2是解题的关键.
15.D
【分析】
整体看是一个边长为(a+b)的正方形,中间的空白是一个边长为(a-b)的正方形,利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积差计算即可
【详解】
∵整个图形是一个边长为(a+b)的正方形,中间的空白是一个边长为(a-b)的正方形,
∴阴影部分的面积等于两个正方形的面积差,
∴,
故选D.
【点拨】本题考查了公式与图形的面积,准确运用图形面积之间的关系是解题的关键.
16.B
【分析】
先用a、b的代数式分别表示S1=a2+2b2,S2=2ab-b2,再根据a=2b,,得和,进而得到答案.
【详解】
解:根据题意,空白部分的面积为:
,
又∵正方形面积为:
,
∴阴影部分面积为:,
又∵a=2b,
∴,
∴,
故选B.
【点拨】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式,熟练运用完全平方公式是解题的关键.
17.B
【详解】
试题分析:A.,故本选项错误;
B.,故本选项正确;
C.,故本选项错误;
D.,故本选项错误.
故选B.
考点:单项式乘单项式;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.
18.C
【分析】
把所给的整式化为[a-(b-3)][ a+(b-3)],先利用平方差公式,再利用完全平方公式计算即可.
【详解】
(a-b+3)(a+b-3),
=[a-(b-3)][ a+(b-3)],
=a2-(b-3)2,
= a2-b2+6b-9,
故选C.
【点拨】本题考查了整式的混合运算,正确利用乘法公式是解决本题的关键.
19.D
【分析】
由a2+a﹣4=0,变形得到a2=-(a-4),a2+a=4,先把a2=-(a-4)代入整式得到a2(a+5)=-(a-4)(a+5),利用乘法得到原式=-(a2+a-20),再把a2+a=4代入计算即可.
【详解】
∵a2+a﹣4=0,
∴a2=-(a-4),a2+a=4,
a2(a+5)=-(a-4)(a+5)=-(a2+a-20)=−(4−20)=16,
故选D
【点拨】此题考查整式的混合运算—化简求值,掌握运算法则是解题关键
20.A
【分析】
根据平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)进行计算.
【详解】
解:(m﹣2)(m+2)(m2+4)﹣(m4﹣16)
=(m2﹣4)(m2+4)﹣(m4﹣16)
=(m4﹣16)﹣(m4﹣16)
=0.
故选:A.
【点拨】本题考查整式的混合运算,掌握平方差公式的结构,准确进行计算是本题的解题关键.
21.
【解析】
【分析】
可以将a-2b看作一个整体,将原多项式分为两组,即看作(a-2b)+c的平方,利用完全平方公式将多项式展开;再次利用完全平方公式将(a-2b)2展开,整理即可得到最终的化简结果,
【详解】
(a-2b+c)2
=[(a-2b)+c]2
=(a-2b)2+c2+2c(a-2b)
=a2+(2b)2-4ab+c2+2ac-4bc
=a2+4b2+c2-4ab+2ac-4bc.
故答案为
【点拨】考查完全平方公式,熟练掌握是解题的关键.
22.1
【详解】
∵m=2n+1,即m﹣2n=1,
∴m2﹣4mn+4n2=(m﹣2n)2=1
23.
【分析】
根据完全平方公式即可得出
【详解】
(-)2=()2-2×+()2
=3-2+2
=
【点拨】本题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解题的关键
24.
【分析】
根据完全平方公式即可求出结论.
【详解】
解:∵,,
∴
=20-2×3
=14
故答案为:14.
【点拨】此题考查的是整式的化简求值,掌握完全平方公式是解题关键.
25.7
【详解】
分析:把已知等式两边平方,利用完全平方公式化简,即可求出答案.
详解:把m+=3两边平方得:(m+)2=m2++2=9,
则m2+=7,
故答案为7
点睛:此题考查了分式的混合运算,以及完全平方公式,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
26.28或36.
【详解】
解:∵,∴ab=±2.
①当a+b=8,ab=2时,==﹣2×2=28;
②当a+b=8,ab=﹣2时,==﹣2×(﹣2)=36;
故答案为28或36.
【点拨】本题考查完全平方公式;分类讨论.
27.-13
【解析】
【详解】
∵a2+2a+b2-6b+10=0,
∴a2+2a+1+b2-6b+9=0,
∴(a+1)2+(b﹣3)2=0,
则a+1=0,b﹣3=0,
即a=﹣1,b=3.
故答案为﹣1;3.
【点拨】本题考查了完全平方公式及其非负性,解此题的关键在于将原式配方成两个完全平方相加等于0,再根据非负数的性质求解即可.
28.
【分析】
根据完全平方公式的变式:ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【详解】
解:∵(2019﹣a)2+(a﹣2017)2=7,
∴(2019﹣a)(a﹣2017)={[(2019﹣a)+(a﹣2017)]2﹣[(2019﹣a)2+(a﹣2017)2]}=,
故答案为.
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用,熟练掌握公式的变式是解题关键.
29.7或-1
【详解】
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2(m-3)=±8,进而求出答案.
详解:∵x2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,
∴2(m-3)=±8,
解得:m=-1或7,
故答案为-1或7.
点睛:此题主要考查了完全平方公式,正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键.
30.±4.
【分析】
这里首末两项是x和2这两个数的平方,那么中间一项为加上或减去a和2积的2倍,故a=±4.
【详解】
解:中间一项为加上或减去a和2积的2倍,
故a=±4,
故答案为±4.
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
31.5
【解析】
,根据题意得,,解得=3,b=8,那么=5.
32.1
【详解】
因为(x+n)2=x2+2nx+n2,m>0,所以2n>0,n2=1,所以n=1.
故答案为1.
33.①②④.
【分析】
①利用平移法即可发现阴影部分的周长=大正方形的周长,计算大正方形的周长即可;
②用大正方形的面积减去四个小正方形的面积即可;
③先证出四边形ABCD是正方形,然后计算出ABCD的边长,即可计算它的周长;
④根据③中的边长求面积即可.
【详解】
解:①如下图所示:利用平移法可发现:阴影部分的周长=大正方形的周长=4a,
故①正确;
②阴影部分的面积=大正方形的面积-四个小正方形的面积= a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
故②正确;
③由图可知:AB=a-2b,AD=a-2b,∠BAD=90°
∴四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABCD的周长为:4(a-2b)=4a-8b
故③错误;
④正方形ABCD的面积为:(a-2b)2= a2-4ab+4b2
故④正确.
故答案为:①②④.
【点拨】此题考查的是整式的乘法,掌握数形结合的数学思想、平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键.
34.5
【分析】
设A、B两张正方形卡片的边长分别为,用和分别表示图甲、图乙中阴影部分的长方形的边长,根据题意列式计算即可.
【详解】
设A、B两张正方形卡片的边长分别为,
图甲中阴影部分的长方形的长为,宽为,
图甲中阴影部分的面积为:;
如图,
把图乙中阴影部分分解成长为、宽为和长为、宽为的两个长方形,
∴图乙中阴影部分的面积为:;
∵,
∴,
整理得:,
∵,
∴,
∴A卡片的边长是B卡片边长的5倍;
图甲长方形盒底面积为:,
图乙正方形盒底面积是:,
∴图乙正方形盒底面积:图甲长方形盒底面积,
故图乙正方形盒底面积是图甲长方形盒底面积的倍.
【点拨】本题考查了列代数式以及整式的混合运算,解题关键是弄清题意,找出合适的数量关系,列出代数式,在解题时要根据题意结合图形得出答案.
35.
【分析】
根据题意可先分别求解出长方形和正方形的面积,再用长方形的面积减去正方形的面积即可得到阴影部分的面积;将给出的条件带入到阴影部分公式中求解即可.
【详解】
由题,整个长方形的面积为平方分米;
中间正方形的面积为平方分米;
∴阴影部分面积为平方分米;
将,代入上述结果得:
平方分米=平方米;
故答案为:;.
【点拨】本题考查整式乘法在几何图形中的面积问题,灵活根据整式乘法运算表示出各部分面积是解题关键.
36.
【详解】
试题分析:
考点:1.平方公式的几何背景;2.分式的化简.
37.8
【解析】
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式把原式第一项和第二项展开,去括号合并同类项得到最简结果,把x2+2x=3代入即可得答案.
【详解】
原式=x2+2x+1-(x2-4)+x2
=x2+2x+1-x2+4+x2
=x2+2x+5.
∵x2+2x=3,
∴原式=3+5=8.
故答案为8
【点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值,涉及的知识有:完全平方公式,平方差公式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
38.2a+1
【详解】
【分析】原式利用完全平方公式展开,然后合并同类项即可得到结果.
【详解】(a+1)2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1,
故答案为2a+1.
【点睛】本题考查了整式的混合运算,熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.
39.26
【分析】
先运用整式乘法法则计算,得到最简结果,变形后,将已知等式代入计算即可求出值.
【详解】
解:由得:,
原式=
=
=
=
=,
故填:26
【点拨】此题考查了整式的混合运算−化简求值,涉及的知识有:完全平方公式,多项式乘多项式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
40.
【分析】
利用新定义得到x的方程,解得x的值即可.
【详解】
解:由题意可得:
,
即,解得,
故答案为:.
【点拨】本题主要考查新定义情境下的整式的乘法运算,一元一次方程的解法,属于基础题.
41.(1);(2);(3);(4)
【分析】
(1)根据单项式乘多项式、完全平方公式展开,再合并同类项,可以解答本题;
(2)根据平方差公式、单项式乘多项式展开,再合并同类项,可以解答本题;
(3)根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题;
(4)先计算乘方运算,再计算乘法、除法运算即可解答本题.
【详解】
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
【点拨】本题考查了整式的混合运算以及单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
42.(1)C;(2)①2;②0;③2
【详解】
(1)
∴
∴
同理:
由两边同时减去2,得:
∴
故选C.
(2)①原式=(a+)2-2=(-2)2-2=2
②原式=a2+-2=2-2=0
③原式=( a2+)2-2=(2)2-2=2
43.(1)1;(2)3;(3)
【分析】
(1)根据完全平方式的定义计算即可;
(2)根据题意可得(m+1)2+n2=0,再根据实数的非负性得到m和n,再代入计算即可;
(3)原式去括号合并,再将A和B代入,去括号合并,最后将m和n的值代入计算即可.
【详解】
解:(1)∵x2+2x+n2是一个完全平方式,
∴n2=1;
(2)当x=m时,m2+2m+n2=-1,
∴m2+2m+1+n2=0,
∴(m+1)2+n2=0,
∴m=-1,n=0,
∴x=-m时,多项式A=x2+2x+n2的值为m2-2m+n2=3;
(3)
=
=
=
=
=
=
=
【点拨】本题考查整式的加减运算—化简求值,完全平方式,记住完全平方式的特征是解题的关键,形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式,属于中考常考题型.
44.(1)-x10y6z2;(2)x2-4x+4-9y2;(3)11x+26;(4)48ab.
【分析】
(1)先算乘方,再算乘除即可;
(2)先根据平方差公式进行计算,再根据完全平方公式进行计算即可;
(3)先算乘法,再合并同类项即可;
(4)先根据完全平方公式展开,再合并同类项即可.
【详解】
(1)原式=4x8y6z2•8x4y2÷(-15x2y2)=-x10y6z2;
(2)原式=(x-2)2-(3y)2=x2-4x+4-9y2;
(3)原式=x2+8x+16-x2+5x-2x+10=11x+26;
(4)原式=9a2b2+24ab+16-9a2b2+24ab-16=48ab.
【点拨】本题考查了整式的混合运算的应用,主要考查学生的化简和计算能力,题目比较典型,难度适中.
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