2026年高考数学复习资料 真题分类汇编—等差数列

这是一份2026年高考数学复习资料 真题分类汇编—等差数列，共38页。试卷主要包含了等差数列基本量的计算，等差中项及应用，等差数列前，等差数列片段和的性质，等差数列和与，等差数列的奇数项之和，等差数列的证明与判断，含绝对值的等差数列的前等内容，欢迎下载使用。

考向一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2025·山东德州·三模）已知Sn 为等差数列an的前n 项和， a2  4, S5  3a4  6 ，则a8  （ ）
B．8C．16D．32
【例 1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列an的前n 项和为 Sn ，若 S4  S1  9, a1  a4  5 ，则an的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例 1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列an的前n 项和为 Sn ，若Sm  3, Sm1  0, Sm2  4 ，则m （ ）
A．8B．7C．6D．5
【一隅三反】【公众号：林樾数学】
1．（2025·北京·高考真题）已知an是公差不为零的等差数列， a1  2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10  （ ）
20
18
C．16D．18
2.（2025·福建·模拟预测）已知 Sn 为等差数列an的前n 项和，若 a3  S3  2 ， a4  S4  6 ，则 S9  （ ）
A．28B．32C．36D．40
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，若S5  2S3 , a1  a8  10 ，则公差d 为（ ）
112
A． 4B． 2C． 3D．1
4．（2025·浙江·三模）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知a2  3 ， S5  25 ，则a3  2a6  （ ）
5．（2025·山西·二模）已知等差数列{an }公差不为 0，记其前 n 项和为 Sn ，若a6  a5  a7 ， S2k  a2k ，则正整数 k
的值为（ ）
B．6C．8D．12
考向二 等差中项及应用
【例 2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若a 是 1 和 3 的等差中项， b 是 1 和 4 的等比中项，则 a 的值为（ ）
b
 1
2
1
2
C．1D． 1
【例 2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且a2  a4  6 ，则 S5  （ ）
A．0B．10C．15D．30
【例 2-3】（2025·广西·三模）在公差不为 0 的等差数列a 中，若a 是a 与a 的等差中项，则 1  4 的最小值

为（ ）
35
n3xyxy
69
A． 2B． 3C． 5D． 5
【例 2-4】（2025·山东·一模）已知(1 2x)n n  N*  的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数成等差数列，则n  （ ）
A．5B．6C．7D．8
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列an的前n 项和为Sn ，若a3  a10  a6  4 ，则 S13  （ ）
B．60C．68D．52
2．（23-24 浙江）在V ABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则sin  A  C   （ ）
1
A． 2
B． 2
2
C． 3
2
D．1
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a, b R ， b 为a 和2 的等差中项，则3a  1 的最小值为（ ）
9b
112
A． 3B． 2C． 2D． 3
4（2025·安徽淮北·二模）若实数m 和n 的等差中项为 1，则m2  n2 的最小值为.
考向三 等差数列前 n 项和最值
【例 3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若a5  2 ， a3  a8  12  a7 ，则 Sn 的最小值
为（ ）【公众号：林樾数学】
A． 14
B．  49
4
C． 12
D． 10
时n 的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【例 3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若a3  a10  0 ，S11  0 ，则数列{Sn } 中最小的项是（ ）
S4
S5
S6
S7
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，且a2  2a1  2 ，则满足 Sn  888的 n 的最大值为
（ ）
A．40B．41C．42D．43
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列an的前n 项和为Sn ，若a5  a8  0 ， S11  0 ，则 Sn 的最大值为（ ）
A． S5
B． S6
C． S7
D． S8
3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0 的等差数列an的前n 项和为 Sn ，若a7  2 ， a9 , a5 , a13 成等比数列，则满足Sn  0 的n 的最大值为（ ）
A． 8B． 9C．13D．14
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（多选）许多已知等差数列an 的公差d  0 ，其前 n 项和记为 Sn ， a1  0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列an中有最大项B．数列Sn 中有最小项
C．若a a  0 ，则55  S10  45
D．若 S
 a ， S
a ，则 S 取最小值时n  9
10 11d
2020
2121n
考向四 等差数列片段和的性质
【例 4-1】（24-25 广西）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，且 S4  2, S8  6 ，则 S12  （ ）
A．8B．10C．12D．16
【例 4-2】（24-25 河南）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S6  7, S12  21 ，则 S24  （ ）
A．56B．105C．112D．189
S
【例 4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列a 的前n 项和为 S ，若 S14  7 ，则 S21  （ ）
183
nn
7
11
S14
11
A． 7B． 2C． 7D． 6
【例 4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列an的前n 项和为Sn ，若 S12  288, S9  162 ，则S6  （ ）
A．18B．36C．54D．72
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，若 S3  12 ， S6  S3  24 ，则 S12  S9  （ ）
A．36B．48C．60D．120
2．（24-25 四川）已知Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 S20  15 ， S40  40 ，则 S60  （ ）
A．75B．65C．50D．55
3．（2024·河南周口·模拟预测）设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3  4, S6  10 ，则a16  a17  a18  （ ）
A．12B．14C．16D．18
4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3  S9  6 ，则 S12 的值为（ ）
A．0B．3C．6D．12
5．（2025·四川）设等差数列an的前n 项和 Sn ，若 S3  9 ， S6  36 ，则a7  a8  a9  （ ）
A．18B．27C．45D．63
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列{a }的前n 项和为S ，若 S3  3 ，则 S12  （ ）
S
7
S
nn
69
335
A． 7B．3C． 2D． 3
考向五 等差数列和与 n 的比值
n
5
【例 5-1】（2025·江西）已知数列a 和b 都是等差数列，且其前 n 项和分别为S 和T ，若 Sn  3n 1 ，则 a5 

T
nn
（ ）
162810
nn2n  5b
34
A． 15B． 23C． 11D． 27
【例 5-2】（24-25 四川）已知等差数列a ，b 的前n 项和分别为 S ，T ，若 Sn  2n ，则 a2  a8  （ ）
nnnn
T3n 1
b  b
205
n37
109
A． 31B． 8C． 13D． 14
【例 5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn ， Tn 分别是等差数列an ，bn 的前 n 项和，且
Sn  2n 1 n  N*  ，则 a3a8 （ ）

Tn4n  2
7
b4  b7
11
b5  b6
2117
A． 10B． 18C． 38D． 30
n
4
【例 5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列a ，b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn n，则 a5 （ ）
T
nn
599
nn2n 1b
3
A． 9B． 17C． 20D． 5
【例 5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列a 中， a  1，其前 n 项和为 S ，若 S8  S6  2 ，则 S 等于（ ）
n1n8610
A．10B．100C．110D．120
【例 5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 S7  S3  4 ，则a  a （ ）
nn7396
A． 2B． 3C． 4D． 6
【一隅三反】
nn
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知 S 与T 分别是等差数列a 与等差数列b 的前 n 项和，且 Sn 6n，
则a1
b6  b2020
a2025 b4  b2022
nn
 （ ）
Tnn  2025
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列an ，bn 均为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn ，满足(2n  3)Sn  (3n 1)Tn，则 a7  a8  a9  （ ）
b6  b10
A．2B．3C．5D．6
3．（2025 湖北）已知 S ,T 分别是等差数列a ,b 的前项和，且 Sn  2n 1 (n  N* ) ，则 a10a11（ ）

nnnn
T4n  2
b  bb  b
2123
n
4341
318615
A． 38B． 42C． 82D． 78
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列a 和b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn  3n  4 ，则
a3  a8  （ ）
b2  b9
nnnn
Tnn  2
17373717
A． 13B． 13C． 6D． 6
5．（2025·江苏）已知两个等差数列a 和b 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 Sn = 2n  70 ，则 a7 的值为（ ）
nn
484284
Tnn  3b6
1
A． 7B． 5C． 9D． 4
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列a 满足a a  6 ，a 的前n 项和为S ，则 S2024  S2022  （ ）
nn1nn

n20242022
A．12B． 6C． 3D． 2
7．（2025·贵州）等差数列a 的前n 项和为S ，若 S2021  S2020 1 且a  3 ，则()
nn202120201
A． an  2n  1B． an  n 1
n
n
C． S  2n2  nD． S  4n2  n
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝﹣2018， S2019  S2013
20192013
 6 ，则 S2020
等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例 6-1】（2025 河南）一个等差数列共 100 项，其和为 80，奇数项和为 30，则该数列的公差为（）
112
A． 4B．2C． 3D． 5
【例 6-2】（2025 陕西）等差数列an  共 2n+1 个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n=（ ）
A．10B．13C．11D．22
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列an的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B  A  45 ，
2 A  B  615 ，则an  （ ）
3n  2
3n 1
3n 1
3n  2
2．（2025 河南）已知等差数列a 的公差d  1 ， a  a    a80 ，那么 S （ ）
n224100
100
A．80B．120C．135D．160
3．（2025 上海）设等差数列的项数n 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n 1
n
2n 1
n
2n  1
2n
n 1
n 1
考向七 等差数列的证明与判断
【例 6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列a 满足a  3 ， an1  an 1，证明：na 为等差数列；

n1nn 1n(n 1)n
【例 6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列a 的前项和为 S ，a  1，且na S  n2  n ，证明：数列 Sn 
为等差数列；
nn1
n1n
n

【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列a 的前n 项和为S ， a 3S  S 0 ， a  1 ．
 1 
nnn1
nn113
证明：数列

 为等差数列；
S
n 
求an的通项；
 1 
求 a 的最大值．
 n 
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记 Sn 为正项数列an的前n 项和，且a1Sn  n 1 an .
求a1 的值；
判断 an  是否为等差数列，并求a 的通项公式；
n
n

4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列a 满足a  2 ， a an ,n为奇数，数列b 满足b  a．
n1n1
a 1, n为偶数
nn2n1
 n
证明：数列bn 为等差数列；
求数列bn 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
考向八 含绝对值的等差数列的前 n 项和
【例 7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列an的前n 项和为Sn ，已知a1  11， S3  S9 .
求an的通项公式；
记数列 an  的前n 项和为Tn ，求T100 .
【例 7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列an的前n 项和为 Sn ，且a1  2, an1  Sn  2 .
2
n
n
n
求数列an的通项公式；
n
设b
 lg a2 11，求数列b 的前n 项和T .【公众号：林樾数学】
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an, a1  10 ，记 Sn 为an的前n 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① 2a  a  0；② S  55 ；③ S7  S5  2 ．
581175
求Sn 的最小值；
设 an  的前n 项和为Tn ，求T20 ．
2（2023·全国乙卷·高考真题）记 Sn 为等差数列an的前n 项和，已知a2  11, S10  40 ．
求an的通项公式；
求数列 an  的前n 项和Tn ．
考向九 等差数列的简单应用
【例 8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024年 4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km ，以后每秒钟通过的路程都增加3km ，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．【公众号：林樾数学】
A．10B．11C．12D．13
【例 8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，七七数之剩二(除以 7 余 2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 p( p  1) 满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数 p 按照从小到大的顺序排成一列，构
成数列a ，记数列a 的前 n 项和为 S ，则 2Sn  an  23 的最小值为（ ）
nnnn
A．26B．36C．38D．46
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A． 9 升B．10.5 升C．12 升D．13.5 升
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为 75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长
D．立冬的晷长为一丈五寸【公众号：林樾数学】
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为
（ ）
A．189B．190C．191D．192
等差数列（精讲精练）解析版
考向一 等差数列基本量的计算
【例 1-1】（2025·山东德州·三模）已知Sn 为等差数列an的前n 项和， a2  4, S5  3a4  6 ，则a8  （ ）
B．8C．16D．32
【答案】C

【解析】设等差数列a 的公差为d ，由题意得a1  d  4
，解得a1  2 ，所以a  a  7d  16 .

n
5a1 10d  3a1  9d  6
d  281
故选：C
【例 1-2】（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列an的前n 项和为 Sn ，若 S4  S1  9, a1  a4  5 ，则an的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】因为 S4  S1  9, a1  a4  5 ，所以a2  a3  a4  3a3  9 ，解得a3  3，又a1  a4  a2  a3  5 ，所以a2  2 ，所以公差为a3  a2  1.故选：A．
【例 1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列an的前n 项和为 Sn ，若Sm  3, Sm1  0, Sm2  4 ，则m （ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解析】方法一：由题意得： am1  Sm1  Sm  3 ， am2  Sm2  Sm1  4 ，
则等差数列的公差d  am2
 am1
1，则a1
 3  m ， Sm
 m3  m  m m 1  3，所以m  6 .
2
方法二：因为等差数列的性质即 Sn  为等差数列，则 Sm  Sm2  2Sm1 ，得3 4 0 ，解得m  6 .
故选：C
【一隅三反】
mm  2
n

m 1
mm  2
1．（2025·北京·高考真题）已知an是公差不为零的等差数列， a1  2 ，若a3 , a4 , a6 成等比数列，则a10  （ ）
20
18
C．16D．18
【答案】C
【解析】设等差数列an的公差为d , d  0  ，
3 46
1
43 6
因为a , a , a 成等比数列，且a  2 ，所以a2  a a
，即2  3d 2  2  2d 2  5d  ，解得d  2 或d  0 （舍
去），所以a10  a1  9d  2  9  2 16.故选：C.
2.（2025·福建·模拟预测）已知 Sn 为等差数列an的前n 项和，若 a3  S3  2 ， a4  S4  6 ，则 S9  （ ）
A．28B．32C．36D．40
【答案】C
【解析】设等差数列an的公差为d ，因为a3  S3  2 ， a4  S4  6 ，故两式作差可得：
a  a  S  S  4 ，即d  a  4 ， a  4 ，又 S  9a1  a9   9a ，故 S  36 .
4343
故选：C.
459259
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，若S5  2S3 , a1  a8  10 ，则公差d 为（ ）
112
A． 4B． 2C． 3D．1
【答案】C
【解析】由S  2S ，则 5(a1  a5 )  2 3(a1  a3 ) ，即5a  6a ，所以5(a  d )  6a  5d  a ，则a  4d ，
5322
322221
由a  a  2a  7d  15d  10 ，则 d  2 .故选：C
1813
4．（2025·浙江·三模）设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知a2  3 ， S5  25 ，则a3  2a6  （ ）
A．17B．21C．23D．27
【答案】D

【解析】设等差数列a 的公差为d ，由题意得a1  d  3，解得a1  1，所以a  2a  3a 12d  27 .故

n
5a1  10d  25
d  2
361
选：D.
5．（2025·山西·二模）已知等差数列{an }公差不为 0，记其前 n 项和为 Sn ，若a6  a5  a7 ， S2k  a2k ，则正整数 k
的值为（ ）
B．6C．8D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{an }公差为d , d  0 ，由a6  a5  a7 ，得a6  2a6 ，解得a6  0 ，
a  a  5d  5d ， a  a  (n 1)d  (n  6)d ， S 5d  (2k  6)d  2k ，
16n1
2k2
因此5d  (2k  6)d  2k  (2k  6)d ，整理得2k 2 13k  6  0 ，解得k  6 .故选：B
2
考向二 等差中项及应用
【例 2-1】（2026 高三·全国·专题练习）若a 是 1 和 3 的等差中项， b 是 1 和 4 的等比中项，则 a 的值为（ ）
b
 1
2
【答案】D
1
2
C．1D． 1
【解析】由题知2a  1 3 ，所以a  2 ，由b2  4 得b  2 ，所以 a  1 ．故选：D.
b
【例 2-2】（2025·宁夏银川·二模）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且a2  a4  6 ，则 S5  （ ）
A．0B．10C．15D．30
【答案】C
【解析】因为a  a  6, 所以2a  6, a
 3. 又因为 S
 5a1  a5   5a
 15, 故选：C.
2433
523
【例 2-3】（2025·广西·三模）在公差不为 0 的等差数列a 中，若a 是a 与a 的等差中项，则 1  4 的最小值

为（ ）
35
n3xyxy
69
A． 2B． 3C． 5D． 5
【答案】A
【解析】因为在公差不为 0 的等差数列an中， a3 是ax 与ay 的等差中项，所以2a3  ax  ay ，所以 x  y  6 ，
1  4  1  x  y
1  4  1  5 y 4 x 1
  2 3
y  4x
y  4
所以
xy6
 xy 6 
xy 
6 5
 2
，当且仅当 xy
，即 x  2 ，
时等号
y 4 x xy

成立，所以 1  4 的最小值为 3 .故选： A .
xy2
【例 2-4】（2025·山东·一模）已知(1 2x)n n  N*  的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数成等差数列，则n  （ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
nnn
【解析】已知(1 2x)n n  N*  的展开式中第 2 项，第 3 项，第 4 项的二项式系数为C1 , C2 , C3 ，
依题意成等差数列，故2C2  C1  C3 ，得到： 2  n n 1  n n n 1n  2  ，
nnn
2 13 2 1
化简得6n 1  6  n 1n  2 ，即： n2  9n 14  0 ，解得： n  7 或n  2 （舍去）故选：C
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·一模）已知等差数列an的前n 项和为Sn ，若a3  a10  a6  4 ，则 S13  （ ）
B．60C．68D．52
【答案】D
【解析】a  a  a  a  a  4 ，∴ a  4 ，∴ S
 13 a1  a13   13a
 52 ，故选：D.
3106767
1327
2．（23-24 浙江）在V ABC 中，三个内角 A, B,C 成等差数列，则sin  A  C   （ ）
1
A． 2
【答案】C
B． 2
2
C． 3
2
D．1
【解析】因为 A, B,C 成等差数列，所以 A+C = 2B ；
又 A  B  C  π ，所以3B  π ，即 B  π ，所以 A  C  2B  2π ，所以sin  A  C   sin 2 π 3 .故选：C.
3332
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知a, b R ， b 为a 和2 的等差中项，则3a  1 的最小值为（ ）
9b
112
A． 3B． 2C． 2D． 3
【答案】D
【解析】由题知2b  a  2 ，得到a  2b  2 ，所以3a  1
9b
 32b2  1
9b
 9b 1  1
9b
 1 9b  1  2
99b
 2 ，
1
9
3
当且仅当 1  9b  1
99b
，即b  1 , a  1时，取等号.故选：D.
2
4（2025·安徽淮北·二模）若实数m 和n 的等差中项为 1，则m2  n2 的最小值为.
【答案】2
【解析】若实数m 和n 的等差中项为 1，则m  n  2 ， m2  n2  2mn ，即2m2  n2   m  n2 ，
m  n222
即m2  n2 2 ，当且仅当m  n  1取等号.故
22
m2  n2 的最小值为 2.故答案为：2.
考向三 等差数列前 n 项和最值
【例 3-1】（2025·广西南宁·三模）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若a5  2 ， a3  a8  12  a7 ，则 Sn 的最小值为（ ）
14
【答案】C
 49
4
12
10
【解析】假设等差数列an 的公差为d ，由a3  a8  12  a7 得a3  a7 12  a8, 2a5 12  a5  3d 12  a5  3d,
所以3d  12  3a5  12  6  6 ，所以d  2 ，故an  a5  (n  5)d  2n  8 ，
n a  a n 6 2n  8 
7 249
则S 1n  n n  7
n  
则Sn 
 S3  S4  12 ．故选：C．
n22
2 4
min

【例 3-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列an的前n 项和为 Sn ，若a1  0 ， S9  S19 ，则当 Sn 取最小值时n 的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【答案】C
【解析】由S9  S19 可得a10  a11  a19  0 ，由等差数列的性质可得： 5(a14  a15 )  0 ，因a1  0 ，则等差数列an的公差d  0 ，即等差数列an为递增数列，
故a14  0, a15  0 ，即 Sn 取最小值时， n 的值为 14.故选：C.
【例 3-3】（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列{an }是等差数列，其前 n 项和为 Sn ，若a3  a10  0 ，S11  0 ，则数列{Sn } 中最小的项是（ ）
S4
S5
S6
S7
【答案】C
【解析】因为 S
 11(a1  a11 )  11a
 0 ，所以a  0 ，因为a  a
 a  a
 0 ，所以a  0 ，
1126
6673107
所以公差d  a7  a6  0 ，故当n  6 时， an  0 ，当n  7 时， an  0 ，所以当n  6 时， Sn 取得最小值，即{Sn } 中
最小的项是S6 ，故选：C.
【一隅三反】
1．（2025·江西·模拟预测）记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，且a2  2a1  2 ，则满足 Sn  888的 n 的最大值为
（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【解析】由已知可得a  1, a  2 ，a 的公差为a  a  1，故 a  n ，故 S  1 2  3  n  n(n 1) ，
2n
1nn2
令 n(n  1)  888 ，又n  N* ，所以n  41 ，故 n 的最大值为 41，
2
验证 S41
 41 42  861  888 ， S
242
 42  43  903  888 ，所以 n 的最大值为 41.故选：B.
2
2．（24-25 陕西西安·期末）设等差数列an的前n 项和为Sn ，若a5  a8  0 ， S11  0 ，则 Sn 的最大值为（ ）
A． S5
B． S6
C． S7
D． S8
【答案】B
【解析】因为数列an为等差数列，由a5  a8  0  a6  a7  0 ；
由S  0  11a1  a11   0  a  a  0  a  0 .所以a  0 .
2
1111167
所以等差数列an是首项为正数的递减数列，且前 6 项为正，从第 7 项开始为负数.所以 S6 最大.故选：B 3．（2025·山东泰安·模拟预测）公差不为0 的等差数列an的前n 项和为 Sn ，若a7  2 ， a9 , a5 , a13 成等比数列，则满足Sn  0 的n 的最大值为（ ）
A． 8B． 9C．13D．14
【答案】D
【解析】设数列an的公差为d ，

a1  6d  2
因为a2 ， a , a , a 成等比数列，所以
a1  20
， 解得，
79 5 13
a  8d a 12d  a  4d 2
d  3
 111
所以an
 23  3n ，故 Sn
n 20  (23  3n) n(43  3n)

.
22
由S  0 ，得 n(43  3n)  0 ，解得0  n  43 . ∵ n  N ，∴ n 的最大值为14 .故选：D.
n23
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）（）许多已知等差数列an 的公差d  0 ，其前 n 项和记为 Sn ， a1  0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列an中有最大项B．数列Sn 中有最小项
C．若a a  0 ，则55  S10  45
D．若 S
 a ， S
a ，则 S 取最小值时n  9
10 11d
【答案】BC
2020
2121n
【解析】对于 A，因为an  a1  n 1 d ，且d  0 ，故an中无最大项，A 错误；
m
对于 B， a1  0 ， d  0 ，故m  N* ，a  0 ，a 0 ，则Sm 为Sn  中的最小项（当am1  0 时， Sm ， Sm1 均
m1
为Sn 中的最小项），B 正确；
对于 C，若a a  0 ，则可知a  0， a  0 ，即a  9d  0  a 10d ，则可知10  a1  9 ，故
10 11
101111d
S10  10a1  45d  10 a1  45  55,  45  ，C 正确；
ddd
对于 D，S20  a20 ，则可知 S19  0 ，则a10  0，又 S21  a21 ，则可知 S20  0 ，则a1  a20  0 ，即a10  a11  0 ，故a11  0 ，
故S10 最小，D 错误.故选：BC.
考向四 等差数列片段和的性质
【例 4-1】（24-25 广西）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，且 S4  2, S8  6 ，则 S12  （ ）
A．8B．10C．12D．16
【答案】C
【解析】因为an是等差数列，所以 S4 , S8  S4 , S12 S 8 也是等差数列，
所以2S8  S4   S12  S8  S4 ，即2 6  2  S12  6  2 ，解得 S12  12 ．故选：C．
【例 4-2】（24-25 河南）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S6  7, S12  21 ，则 S24  （ ）
A．56B．105C．112D．189
【答案】B
【解析】因为 S6 , S12  S6 , S18  S12 , S24  S18成等比数列，
即7,14, S  21, S  S 成等比数列，所以142  7 S  21 ，解得 S  49 ，
1824181818
又14 S  S   S  212 ，所以14 S  49  49  212 ，解得S 105 .
2418182424
故选:B.
S
【例 4-3】（23-24 甘肃 ）设等差数列a 的前n 项和为 S ，若 S14  7 ，则 S21  （ ）
183
nn
7
11
S14
11
A． 7B． 2C． 7D． 6
【答案】A
【解析】在等差数列an中， S7 , S14  S7 , S21  S14 成等差数列，则2S14  S7   S7  S21  S14 ，
设S  m ，则 S  7m ，故27m  m  m  S  7m ，解得 S  18m ，所以 S21  18m  18 .故选：A.
714
2121
S147m7
【例 4-4】（2024 高三·全国·专题练习）设等差数列an的前n 项和为Sn ，若 S12  288, S9  162 ，则S6  （ ）
A．18B．36C．54D．72
【答案】D
【解析】因为差数列an中， S3 , S6  S3 , S9  S6 , S12  S9 成等差数列，
即 x  54  y, x 198  3y ，解得S6  y  72 ，故选：D．
【一隅三反】
1．（24-25 江西）已知等差数列an的前n 项和为 Sn ，若 S3  12 ， S6  S3  24 ，则 S12  S9  （ ）
A．36B．48C．60D．120
【答案】B
【解析】由等差数列片段和的性质， S3 ， S6  S3 ， S9  S6 ， S12  S9 成等差数列，【公众号：林樾数学】故S9  S6  2( S6  S3)  S3  36，则 S12  S9  2(S9  S6 ) (S6  S3 )  48 .故选：B
2．（24-25 四川）已知Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 S20  15 ， S40  40 ，则 S60  （ ）
A．75B．65C．50D．55
【答案】A
【解析】由等差数列前n 项和的性质得： S20 , S40  S20 , S60  S40 成等差数列，
2S40  S20   S20  S60  S40，即2 40 15  15  S60  40 ，解得 S60  75 .故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，已知 S3  4, S6  10 ，则a16  a17  a18  （ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【解析】由等差数列的片段和性质知， S3, S6  S3, S9  S6 , S12  S9 , S15  S12 , S18  S15
成等差数列，
由S3  4, S6  S3  6 ，得该数列首项为 4，公差为 2，所以a16  a17  a18  S18  S15  4  5 2 14 .故选：B 4．（2025·吉林长春·二模）已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3  S9  6 ，则 S12 的值为（ ）
A．0B．3C．6D．12
【答案】A
【解析】因为an是等差数列，所以 S3 , S6  S3 , S9  S6 , S12  S9 成等差数列，
又S3  S9  6 ，所以6, S6  6, 6  S6 , S12  6成等差数列，则6  S12  6  S6  6  6  S6 ，则 S12  0 .故选：A. 5．（2025·四川）设等差数列an的前n 项和 Sn ，若 S3  9 ， S6  36 ，则a7  a8  a9  （ ）
A．18B．27C．45D．63
【答案】C
【解析】由题意得 S3 , S6  S3 , S9  S6 成等差数列，即9, 36  9, a7  a8  a9 成等差数列，
即236  9  9  a7  a8  a9 ，解得a7  a8  a9  45 .故选：C
6．（24-25 河南·阶段练习）已知等差数列{a }的前n 项和为S ，若 S3  3 ，则 S12  （ ）
S
7
S
nn
69
335
A． 7B．3C． 2D． 3
【答案】C
【解析】由题意设 S3  3t ，则 S6  7t ，由{an }是等差数列，所以 S3, S6  S3, S9  S6 , S12  S9 , 也成等差数列，
所以 S  S  27t  3t   3t  5t ，解得 S  12t ；S  S  212t  7t   4t  6t ，解得 S  18t ，所以 S12  18t  3 ，
96
故选：C.【公众号：林樾数学】
912912
考向五 等差数列和与 n 的比值
S912t2
【例 5-1】（2025·江西）已知数列a 和b 都是等差数列，且其前 n 项和分别为S 和T ，若 Sn  3n 1 ，则 a5 
T
nn
（ ）
162810
n
5
nn2n  5b
34
A． 15B． 23C． 11D． 27
【答案】B
【解析】对于等差数列的前 n 项和满足 S 2n 1 a ，知道 an  S2n 1 ，故 a5  S9  3 9 1  28 .故选：B.
2n1
nbT
bT2  9  523
n2n 159
【例 5-2】（24-25 四川）已知等差数列a ，b 的前n 项和分别为 S ，T ，若 Sn  2n ，则 a2  a8  （ ）
nnnn
T3n 1
b  b
205
n37
109
A． 31B． 8C． 13D． 14
【答案】D
【解析】因为等差数列an，bn 的前 n 项和分别为 Sn ， Tn ，
9(a1  a9 )
所以我们对 a2  a8 进行变形，得到 a2  a8  a1  a9  2  S9 ，
b3  b7
b3  b7
b1  b9
9(b1  b9 )T9
2
因为 Sn  2n ，所以 S9  18  9 ，即 a2  a8  9 ，故 D 正确.
Tn
故选：D
3n  1
T92814
b3  b714
【例 5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知Sn ， Tn 分别是等差数列an ，bn 的前 n 项和，且
Sn  2n 1 n  N*  ，则 a3a8 （ ）

Tn4n  2
b4  b7
b5  b6
7112117
A． 10B． 18C． 38D． 30
【答案】C
【解析】因为an ,bn 是等差数列，
所以 a3
a8
10 a1  a10 
 a3 a8  a1 a10  2 S10
，又 Sn  2n  1 n  N  ，
b4  b7
b5  b6
b5  b6
b1  b10
10 b1  b10 
2
T10
Tn4n  2
a3

所以
b4 b7
a8 b5  b6
 S10 
T10
2 10 1  21 ，
4 10 238
故选：C.
n
4
【例 5-4】（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列a ，b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn n，则 a5 （ ）
T
nn
599
nn2n 1b
3
A． 9B． 17C． 20D． 5
【答案】D
【解析】因为等差数列a ，b 的前 n 项和分别为 S ， T ，所以 a5  S5  S4 ，
nnnn
bT  T
443
因为 Sn 
n
，所以可设S
 kn2 ， T
 kn 2n 1 ，则 S  S
 9k ， T  T
15k ，所以 a5  9k
 3 .
Tn
故选：D.
2n 1nn
5443
b415k5
【例 5-5】（23-24 湖北武汉）在等差数列a 中， a  1，其前 n 项和为 S ，若 S8  S6  2 ，则 S 等于（ ）
n1n8610
A．10B．100C．110D．120
【答案】B
【解析】因为数列a 是等差数列，则数列 Sn  也为等差数列，设其公差为d  ，
n
n

则 S8  S6  2  2d  ，则d  1，又因为 S1  a  1 ，所以 Sn  1  n  1  n ，所以 S  n2 ，所以 S  100 .

86
故选：B.
11n
n10
【例 5-6】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 S7  S3  4 ，则a  a （ ）
nn7396
A． 2B． 3C． 4D． 6
【答案】D
【解析】设等差数列an的公差为d ，
n 1 a  n n 1dna  n n 1 
则 SS
 11
dnn 1d ，
n1  n  2 2 a  d a d
n 1
nn 1
n1 2
122
数列 Sn  是公差为 d 的等差数列， S7  S3  4 d  4 ，解得： d  2 ，a  a  3d  6 .故选：D.
n
2

73296
【一隅三反】
nn
1．（24-25 高三上·河南·期末）已知 S 与T 分别是等差数列a 与等差数列b 的前 n 项和，且 Sn 6n，
则a1
b6  b2020
a2025 b4  b2022
nn
 （ ）
Tnn  2025
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】由等差数列的性质可知b6  b2020  b4  b2022  b1  b2025 ，
所以a1a2025 a1  a2025  S2025  6  2025  3. 故选：C

b6  b2020b4  b2022b1  b2025T20252025  2025
2．（2024·河北衡水·三模）已知数列an ，bn 均为等差数列，其前n 项和分别为Sn，Tn ，满足(2n  3)Sn  (3n 1)Tn，则 a7  a8  a9  （ ）
b6  b10
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【解析】因为数列a ,b 均为等差数列，可得a  a  a  3a  1 15a  1 S ，
nn78985
85 15
1 S
15
且b  b  b  b ，又由T  15b1  b15  ，可得b  b  2 T ．因此 a7  a8  a9  5 3  S15  3  4 2 .
610115
152
610
15 15
b  b
22 T23
故选：A．
610
15 T1515
3．（2025 湖北）已知 S ,T 分别是等差数列a ,b 的前项和，且 Sn  2n 1 (n  N* ) ，则 a10a11（ ）

nnnn
T4n  2
b  bb  b
2123
n
4341
318615
A． 38B． 42C． 82D． 78
【答案】D
【解析】 S ,T 分别是等差数列a ,b 的前项和，故 an  S2n1 (n  N* ) ，且b  b
 b  b
 b  b ，故
nnnnbT
3186151011
n2n1
a10a11a10a11 a10  a11  S20  2  20 1  41 ，

b3  b18
故选：D
b6  b15
b10  b11
b10  b11
b10  b11
T20
4  20  278
4．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知等差数列a 和b 的前 n 项和分别为 S ，T ，若 Sn  3n  4 ，则
a3  a8  （ ）
b2  b9
nnnn
Tnn  2
17373717
A． 13B． 13C． 6D． 6
【答案】D
10 a1  a10 
【解析】因为数列a 和b 均为等差数列，所以 a3  a8  a1  a10  2 S10 
310  4 17 .
nnb  bb  b10 b  b T
10 26
故选：D.
29110
11010
2
5．（2025·江苏）已知两个等差数列a 和b 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，且 Sn = 2n  70 ，则 a7 的值为（ ）
nn
484284
Tnn  3b6
1
A． 7B．
【答案】A
5C． 9D． 4
n
n
【解析】因为 Sn = 2n  70 ，所以可设 S  kn 2n  70 ， T
 kn n  3 ， k  0 ，
Tnn  3
所以a  S  S
 588k  492k  96k ， b  T  T
 54k  40k  14k ，所以 a7  96k  48 ，故选：A.
776
665
b614k7
6．（23-24 河北保定·期末）已知数列a 满足a a  6 ，a 的前n 项和为S ，则 S2024  S2022
 （ ）
nn1nn

n20242022
A．12B． 6C． 3D． 2
【答案】B
【解析】 an1  an  6 ，数列an是以6 为公差的等差数列，
n 1a  n n 1 6
na  n n 1  6
1
 Sn1  Sn 
212
 a
3n
a 3 n
1 3 ，
n 1
nn 1
n11
数列 Sn  是以3 为公差的等差数列， S2024  S2022  2 3 6 .
n


故选：B.

20242022
7．（2025·贵州）等差数列a 的前n 项和为S ，若 S2021  S2020 1 且a  3 ，则()
nn202120201
A． an  2n  1B． an  n 1
n
n
C． S  2n2  nD． S  4n2  n
【答案】A
【解析】设a 的公差为 d，∵ S  na  n n 1d ∴ Sn  a  n 1  d  d  n  a  d ，即{ Sn }为等差数列，公差
nn12
n12212n
为 d ，由 S2021  S2020
 1知 d  1  d  2 ，故a
 2n  1，S
 n 3  2n 1 n 2 2n
﹒故选：A﹒
2202120202
nn2
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝﹣2018， S2019  S2013
20192013
 6 ，则 S2020
等于（ ）
A．﹣4040B．﹣2020C．2020D．4040
【答案】C
【解析】∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，∴数列{ Sn }是等差数列．
n
∵a1＝﹣2018， S2019  S2013  6 ，∴数列{ Sn }的公差 d  6  1 ，首项为﹣2018，∴ S2020
  2018+2019×1＝1，
20192013n6
∴S2020＝2020．故选：C．
2020
考向六 等差数列的奇数项（偶数项）之和
【例 6-1】（2025 河南）一个等差数列共 100 项，其和为 80，奇数项和为 30，则该数列的公差为（）
112
A． 4B．2C． 3D． 5
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d ，则由条件可知：数列的奇数项之和为a1  a3  a5   a99  30 ，①
偶数项之和为a2  a4  a6   a100  80 30 50 ，②
由②-①，得50d  20 ，所以d  2 ，即该数列的公差为 2 .
55
故选：D.
【例 6-2】（2025 陕西）等差数列an
共 2n+1 个项，且奇数项和为 165，偶数项和为 150，则 n=（ ）
A．10B．13C．11D．22
【答案】A
【解析】等差数列an
共 2n+1 个项，其中奇数项有n  1个，偶数项有n 个，
设等差数列a 的公差为d ，奇数项和a  a
 a
 n  1a  n 1n 2d
 n 1a  nd   165 ①，
n132 n1121
偶数项和a  a
 a
 n a  d  n n 1 2d
 n a  nd   150 ②，
242 n121
①-②得a1  nd  15 ，则n 15  150, n  10 .故选：A
【一隅三反】
1．（2023·重庆·二模）已知等差数列an的前 30 项中奇数项的和为A ，偶数项的和为 B ，且 B  A  45 ，
2 A  B  615 ，则an  （ ）
3n  2
3n 1
3n 1
3n  2
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d ，首项为a1 ，则 B  A  15d  45 ，所以d  3，
因为2 A  B  615 ，即2A  A  45  615 ，则 A  660 ，
等差数列的奇数项是以a1 为首项， 2d 为公差的等差数列，等差数列an的前 30 项中奇数项有 15 项，所以
A  15a  1514  6  660，得a  2 ，
121
所以an  a1  n 1 d  2  3n 1  3n 1.
故选：B
2．（2025 河南）已知等差数列a 的公差d  1 ， a  a    a
80 ，那么 S （ ）
n224100
100
A．80B．120C．135D．160
【答案】C
【解析】在等差数列a 中，公差d  1 ， a  a    a
 80 ，
n224100
所以a  a    a a  a
   a 50d  80  50  1  55 ,
139924
1002
所以 S100  a1  a3    a99   a2  a4    a100   80  55  135 ，故选：C
3．（2025 上海）设等差数列的项数n 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
n 1
n
2n 1
n
2n  1
2n
n 1
n 1
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有
n 1 2
项，偶数项有
n 1
项，
2
奇数项之和为 n 1 a 
n 1  n 1
22
2 d  n 1
 n 1 d)，
2122
n 1  n  3
( a12
偶数项之和为 n 1 (a  d )  22
 2d  n 1 (a  n 1 d ，
212212
n 1
所以奇数项之和与偶数项之和的比为
故选：D
n 1 ，
考向七 等差数列的证明与判断
【例 6-1】（2025·全国一卷·高考真题）设数列a 满足a  3 ， an1  an 1
，证明：na 为等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】由题意证明如下， n  N* ，
n1nn 1
n(n 1)n
在数列a 中， a  3 ， an1  an
 1 ，∴n 1 a
 na
1，即n 1 a
 na
 1，
n1nn 1
n n 1
n1n
n1n
∴nan  是以a1  3 为首项，1 为公差的等差数列.
【例 6-2】（2025·福建厦门·三模）已知数列a 的前项和为 S ，a  1，且na S  n2  n ，证明：数列 Sn 
为等差数列；
nn1
n1n
n

【答案】证明见解析；
【解析】由 S1  a1  1 ， na
 n(S
 S )  S
 n2  n ，则nS
 (n 1) S
 n(n 1)，
11n1
n1nn
n1n
所以 Sn1  Sn  1 ，故 Sn  是首项、公差均为 1 的等差数列；
n

n  1n
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列a 的前n 项和为S ， a
 3S  S
 0 ， a  1 ．
 1 
nnn1
nn113
证明：数列

 为等差数列；
S
n 
求an的通项；
 1 
求 a 的最大值．
 n 
【答案】(1)证明见解析；
1 , n  1
 3
an  


1
3n n 1
；
, n  2
3.
【解析】（1）因为a
 S S
，所以 S  S
 3SS ，故 1
 1  3 ，
n1
n1n
nn 1
n 1 n
Sn1Sn
又 1  1  3 ，所以 1  是以 3 为首项，3 为公差的等差数列．
S
S1a1

 n 
1
S
（2）由（1）知
n
 3  n 1  3  3n  Sn
1
 3n ，
当n  2 时， a
 3  1 1
  1，
n 3n 3n  3 
3n n  1

而n  1 时， a  1 不满足题意，
n3
1 , n  1
 3
所以an  


1
3n n 1
.
, n  2
1
a
（3）由（2）知，当n  2 时，
n
 3n n 1  0 ，
又 1  3  0 ，所以，  1 的最大值为 1  3.
a a a
1 n 1
2．（24-25 高三下·甘肃庆阳·期中）记 Sn 为正项数列an的前n 项和，且a1Sn  n 1 an .
(1)求a1 的值；
(2)判断 an  是否为等差数列，并求a 的通项公式；
n


【答案】(1) a1  2
 n 
(2)  an  是常数列，也是等差数列， a
n
n
 2n .
【解析】（1）令 n  1 可得a2  2a ， 又a  0 ，故a  2 .
1111
（2） 2Sn  n 1 an ，① 2Sn1  n  2 an1 ，②
由②-①，得2a n  2 a n 1 a ，即na n 1 a 故 an1  an ，故 an  是常数列，也是等差数列
n

n1
故 an  a1  2 ，故a
 2n .
n1
nn1
nn 1n

n1n
3．（2025·河南许昌·三模）在数列an 中， a1  0, a2  4 ，且an2  2an1  an  2 ，证明： an 1  an  是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】在数列an 中， a1  0, a2  4 ，且an2  2an1  an  2 ，
a 2  an1  an1  an   2a 1  a  2  an1  a 1  an   2 ，
an1  an 是首项为a2  a1  4 ，公差为 2 的等差数列．
4.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列a 满足a  2 ， a
 an ,
n为奇数，数列b 满足b  a．
n1n1
a 1, n为偶数
nn2n1
 n
(1)证明：数列bn 为等差数列；
(2)求数列bn 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
【答案】(1)证明见解析
(2) bn
 n 1
， Sn 
n2  3n 2
【解析】（1） bn1  bn  a2n1  a2n1  a2n  1 a2n1  1 ，
所以数列bn 为等差数列，首项为b1  a1  2 ，公差为 1.
（2） bn
 2  n 11  n 1
， Sn
 2  n 1n  n2  3n
.
22
考向八 含绝对值的等差数列的前 n 项和
【例 7-1】（23-24 高三上·贵州·阶段练习）记等差数列an的前n 项和为Sn ，已知a1  11， S3  S9 .
(1)求an的通项公式；
(2)记数列 an  的前n 项和为Tn ，求T100 .
【答案】(1) an  2n  13 (2)8872
【解析】（1）由 S3  S9  a4  a5  a6  a7  a8  a9 
0 a6  a7 
0 则a12  a1  11
设an的公差为d 则a1  11d  11  11  11d  11  d  2 则an  a1  n  1 d  11  2 n  1  2n  13
所以数列an的通项公式为an  2n  13 .
（2）由题可知T100  a1  a2   a6  a7   a100 T100  a1  a2 a6  a7   a100 
T S
 S
 S   2S  S
 2  6 111  100 11187  8872 ，T
 8872 .
10061006610022
100
【例 7-2】（24-25 高三上·湖北·开学考试）已知数列an的前n 项和为 Sn ，且a1  2, an1  Sn  2 .
(1)求数列an的通项公式；
n
(2)设b
 lg a2 11，求数列b 的前n 项和T .
n
2
n
n
n
【答案】(1) a  2n ， n  N*
10n  n2 , n  5

(2) Tn  n2 10n  50, n  6
， n  N* .
【解析】（1）由 an1  Sn  2 ，则当n  2 时an  Sn1  2
n1nnn
两式相减得an1  an  an ，所以an1  2an n  2 .将a1  2 代入an1  Sn  2 得， a2  4  2a1，所以对于n  N*, a 2a ，故a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，所以a  2n .
（2） b  lg a 2 11  2n 11 . B  b  b  b
 n n 10  n2 10n ，
n2 nn12n
因为当n  5 时b  0 ，当n  6 时b  0 ，所以当 n  5时， T  b  b   b  B
 10n  n 2 ，
nnn12nn
当n  6 时， T
 b  b
  b  b  b
  b
 B  2B
 n 2 10n  50 .故T
10n  n2 , n  5

.
n
【一隅三反】
12567
nn5
nn2 10n  50, n  6
1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列an, a1  10 ，记 Sn 为an的前n 项和，从下面①②③中再选取一
个作为条件，解决下面问题．① 2a  a  0；② S  55 ；③ S7  S5  2 ．
581175
(1)求Sn 的最小值；
(2)设 an  的前n 项和为Tn ，求T20 ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）设等差数列an的公差为d ，且a1  10 ．
选择①：（1）因为2a5  a8  0，所以3a1 15d  0 ，解得d  2 ．
所以a  a  (n 1)d  2n 12 ，则 S  na  n(n 1) d  n2 11 n，
n1n12
n
利用二次函数对称性和开口方向知， S  n2 11n 关于 n  5.5 对称，
min
因为n  N* ，所以当n  5 或 6 时， Sn  S5  S 6  30 .
选择②：因为S  55 ，可得11(a1  a11)  55 ，
112
因为a  10 ，所以a  0 ，此时d  a11  a1  1 ，所以a  a  (n  1)d  n  11 ，
111
11 1n1
因为d  0 ，所以an单调递增，且当n  11时， an  0 ．
min
所以当n  10 或 11 时， Sn 最小，此时 Sn  S10  S11  55 .
选择③：因为 S7  S5  2 ，所以 a1  a7  a1  a5  2 ，即a  a  4 ，所以d  a7  a5  2 ，
7522752
所以a  a  (n 1)d  2n 12 ，则 S  na  n(n 1) d  n2 11 n，
n1n12
n
min
利用二次函数对称性和开口方向知， S  n2 11n 关于 n  5.5 对称，【公众号：林樾数学】因为n  N* ，所以当n  5 或 6 时， Sn  S5  S 6  30 .
（2）解：若选择①或③：由（1）知an  2n 12 ，当n  6 时， an  0 ，
所以T20  a1  a2  a3   a20  a1  a2  a3  a3  a5  a6  a7   a20
T20  a1  a2  a3   a20 2( a1  a2  a3  a3  a5)  S20  2S5  240 .
若选择②：由（1）知an
 n 11，且当n  11时， an  0 ，且 Sn
 1 n 2  21 n ，
22
所以T20  a1  a2  a3   a20  a1  a2   a10  a11  a12   a20
T20  a1  a2  a3   a20 2( a1  a2  a3   a10)  S20  2S10  100 .
2（2023·全国乙卷·高考真题）记 Sn 为等差数列an的前n 项和，已知a2  11, S10  40 ．
(1)求an的通项公式；
(2)求数列 an  的前n 项和Tn ．
【答案】(1) an  15  2n
14n  n2 , n  7

(2) Tn  n2 14n  98, n  8
【解析】（1）设等差数列的公差为 d ，

a2  a1  d  11
a1  d  11
a1
 13
由题意可得S  10a  10 9 d  40 ，即2a  9d  8 ，解得d  2 ，
 10121
所以an  13  2 n 1  15  2n ，
n 13 15  2n 2
（2）因为 Sn 
 14n  n ，
2
令an
 15  2n  0 ，解得n  15 ，且n  N* ，
2
当n  7 时，则a  0 ，可得T  a  a    a  a  a    a  S  14n  n2 ；
nn12n12nn
当n  8 时，则an  0 ，可得Tn  a1  a2    an  a1  a2    a7   a8    an 
7n77n
 S  S  S  2S  S  2 14 7 7 2  14n  n 2  n 2 14n  98 ；【公众号：林樾数学】
14n  n2 , n  7

综上所述： Tn  n2 14n  98, n  8 .
考向九 等差数列的简单应用
【例 8-1】（23-24 高三下·重庆渝中·阶段练习）中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于 2024年 4 月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km ，以后每秒钟通过的路程都增加3km ，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{an }，由题意可知{an }为等差数列，
则数列首项a1  2 ，公差d  3，所以an  a1  n 1 d  2  n 1 3  3n 1，
由求和公式有 Sn
 n a1  an   (3n 1  2)n  222 ，解得n  12 ，故选：C．
22
【例 8-2】（24-25 山东 ）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以 3
余 2)，五五数之剩三(除以 5 余 3)，七七数之剩二(除以 7 余 2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 p( p  1) 满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数 p 按照从小到大的顺序排成一列，构
成数列a ，记数列a 的前 n 项和为 S ，则 2Sn  an  23 的最小值为（ ）
nnnn
A．26B．36C．38D．46
【答案】C
【解析】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为2m 1、3k 1， m,k  N ，
因此数列{an }的项即为以上两类数的公共项6n 1，即an  6n 1， nN，而an1  an  (6 n  7) (6 n 1)  6，则数列{an }是等差数列，
n(7  6n 1)2
2S  a  236n2 14n  244
于是 Sn 2 3n
 4n ， nn  6(n
nnn
) 14 ，
又对勾函数 y  x  4 在(0, 2] 上单调递减，在[2, ) 上单调递增，
x
所以n  2 时， 2Sn  an  23 取得最小值 38.故选：C
n
【一隅三反】
1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A． 9 升B．10.5 升C．12 升D．13.5 升
【答案】B
n
【解析】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列{a }, n  N, n  7 ，则a1  a2  4, a6  a7  2 ， a1  a7  a2  a6  3 ，
所以这根竹子的装米量为S7
故选：B
 7(a1  a7 )  10.5 （升）.【公众号：林樾数学】
2
2．（2025 江西抚州·期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（ ）
A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸 B．秋分的晷长为 75 寸
C．立秋的晷长比立春的晷长长 D．立冬的晷长为一丈五寸
【答案】C
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列an，其中a1  15 寸， a13  135 寸，公差为d 寸，则
135  15  12d ，解得d  10 （寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列bn ，首项b1  135 ，末项b13  15 ，公差d  10 （单位都为寸）.故选项 A 正确；
春分的晷长为b7 ,b7  b1  6d  135  60  75,
秋分的晷长为a7 , a7  a1  6d  15  60  75，所以B 正确；
立冬的晷长为a10 ,a10  a1  9d  15  90  105 ，即立冬的晷长为一丈五寸， D 正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为b4 , a4 ，【公众号：林樾数学】
a4  a1 3d 15 30  45, b4  b1 3d 135 30 105，b4  a4 ，故错C 误.故选：C.
3．（2023·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知
其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下 2 个；五个五个地数，会剩下 3 个；七个七个地数，也会剩下 2 个.这些物品
的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为
（ ）
A．189B．190C．191D．192
【答案】B
【解析】根据题意，被以 3 除余 2，除以 5 余 3 的数，构成首项为8 ，公差为15 的等差数列，
则an  8  (n 1) 15  15n  7，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前 5 个数的和为故选：B.
5  8 15 5  7 
2
 190 .