[数学][期末]北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期末试题(解析版)

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，在数轴上表示出集合，如图所示，
则.
故选：D.
2. 在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ）
A. 某商品的销售价格与销售量B. 汽车匀速行驶时的路程与时间
C. 气温与冷饮的销售量D. 人的年龄与视力
【答案】C
【解析】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；
对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；
对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；
对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误.
故选：C.
3. 已知命题：，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】方法一：使用命题取否定的通法：
将命题的特称量词改为全称量词，论域不变，结论改为其否定的结论.
得到命题的否定是：，.
方法二：命题的含义是，存在一个上的实数满足.
那么要使该结论不成立，正是要让每个上的实数都不满足.
也就是对任意的上的实数，都有.
所以的否定是：，.
故选：B.
4. 已知复数，则它的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，∴，故选：B．
5. 下列求导运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A，，正确；
B，，B错；
C，，C正确；
D，，D正确．故选：B．
6. 已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】时，对应点在虚轴上，充分性成立，
当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立，
“”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件．故选：C．
7. 已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，
又，令，则，
所以（）在定义域上单调递增，
又，所以当时，
所以在上单调递增，因为，所以，
又，所以.
故选：D
8. 若，，且，则的最小值为（ ）
A. 1B. 3C. 9D. 10
【答案】C
【解析】∵，
所以，当且仅当时等号成立，
，所以，当且仅当时取等号，故选：C．
9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1
B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1
D. 函数的最小值为1
【答案】C
【解析】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，
则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，
实线部分为，
故恒成立，
故在R上单调递增，则A，B显然错误，
对于C，D，，
由图像可知，恒成立，故单调递增，
当，，单调递减，
所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.
故选：C
10. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次（无并列情况）．甲、乙、丙去询问成绩．老师对甲说：“你不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军．”对丙说：“你不是第2名．”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）
A. 44B. 46C. 52D. 54
【答案】B
【解析】由题意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，
有可能是第二、三、四名3种情况；再排乙，也有3种情况；余下3人有种排法，
故共有种不同的情况，
假如丙是第2名，则甲有可能是第三、四名2种情况；
再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，
故共有种不同的情况，
由间接法得：满足题意的，5名同学可能的名次排列情况种数为种，
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 的展开式中的常数项为_______．
【答案】
【解析】展开式通项为：；
令，解得：，展开式中的常数项为.
故答案为：.
12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______．
【答案】2.6
【解析】由已知可得，，
∴，∴.
故答案为：2.6.
13. 某校举办“品味‘蔬’香，‘勤’满校园”蔬菜种植活动．某小组种植的番茄出芽率（出芽的种子数占总种子数的百分比）为80%，出苗率（出苗的种子数占总种子数的百分比）为70%．若该小组种植的其中一颗种子已经出芽，则它出苗的概率为______．
【答案】
【解析】由条件概率可得所求概率为.故答案为：.
14. 能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】从不等式的性质可知中只要有一个非负，则一定成立，因此当均为负数时不等式可能不成立，如，或等，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 已知函数（）．给出下列四个结论：
①当时，若的图象与直线恰有三个公共点，
则的取值范围是；
②若在处取得极小值，则的取值范围是；
③，曲线总存在两条互相垂直的切线；
④若存在最小值，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】②④
【解析】对于①，当时，，由，解得，
则当时，的图象与直线只有两个公共点，而，①错误；
对于②，函数的定义域为，求导得，
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，，，，在处取得极大值，不符合题意；
当时，，函数在上单调递减，无极值点；
当时，，，，，在处取得极小值，符合题意，
因此在处取得极小值时，的取值范围是，②正确；
对于③，当时，，假定曲线存在两条互相垂直的切线，
设两条切线对应的切点分别为，切线斜率分别为，
于是与矛盾，③错误；
对于④，当时，，，
即在上单调递减，
此时，
而函数在的取值集合为，
则在上无最小值，
当时，由，得或，
由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而当时，，则恒成立，
因此在处取得最小值，
于是存在最小值时，的取值范围是，
所以所有正确结论的序号是②④.
故答案为：②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《熊出没．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
（1）如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
（2）如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？
（3）如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
解：（1）因为4名同学观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种．
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以不同的选择方法共有种．
（3）因为恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法共有种．
17. 在上个赛季的所有比赛中，某支篮球队的胜负情况及该球队甲球员的上场情况如下表：
（1）求甲球员上场时，该球队获胜概率；
（2）从表中该球队未获胜的所有场次中随机选取3场，记为甲球员未上场的场数，求的分布列和数学期望．
解：（1）设事件“甲球员上场参加比赛时，该球队获胜”，则．
（2）表中该球队未获胜的场次共有场，其中甲球员上场的场次有5场，未上场的场次有3场，则的可能取值为0，1，2，3．
，
，
．
所以的分布列如下：
所以．
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值．
解：（1）由已知得，
所以．
因为，所以切点为，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）由（1）知，，．
令，得，
令，得或，
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
所以有极小值为，极大值为．
19. 随着科技的不断发展，人工智能技术在人类生产生活中的应用越来越广泛．为了解用户对，两款人机交互软件（以下简称软件）的满意度，某平台随机选取了仅使用款软件的用户和仅使用款软件的用户各人，采用打分方式进行调查，情况如下图：

根据分数把用户的满意度分为三个等级，如下表：
假设用频率估计概率，且所有用户的打分情况相互独立．
（1）分别估计仅使用款软件的全体用户和仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
（2）从仅使用款软件全体用户中随机选取人，从仅使用款软件的全体用户中随机选取人，估计这人中恰有人对所使用软件的满意度为“非常满意”的概率；
（3）从仅使用，两款软件的全体用户中各随机选取人进行电话回访，记为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，为仅使用款软件的人中对所使用软件的满意度为“不满意”的人数，试比较，的方差，的大小．（结论不要求证明）
解：（1）设事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
事件“仅使用款软件的全体用户对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
则，；
（2）设事件“这3人中恰有1人对所使用软件的满意度为‘非常满意’”，
则；
（3）样本中使用款软件不满意的概率为，使用款软件不满意的概率为，
且随机选取的人进行电话回访，
随机变量服从二项分布，，即方差为,
随机变量服从二项分布，，即方差为,
．
20. 已知函数（）．
（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，求证：．
解：（1）由已知得，
设，，
因为在区间上单调递减，
所以时，恒成立．
因为时，，
所以在区间上单调递减，
所以的最大值为，即．
当时，符合题意．
所以．
（2）当时，，，
则．
设，
则，
所以在区间上单调递减．
因为，，
所以，使得，
即．
当变化时，，，的变化如下表：
所以的最大值为
．
因为，所以，，
所以，故．
21. 已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．
条件（1）：，，且，都至少含有两个元素；
条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有．
（1）当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；
（2）若集合，具有性质，且，，求证：；
（3）若存在集合，具有性质，求的最大值．
解：（1）所有的集合为，，；
（2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，
记“对任意不相等的，，都有”为条件②．
由条件②得．
由，和条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
所以，即
（3）的最大值为32．证明如下：
一方面，当时，可构造集合，
具有性质；
另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，．
证明如下：
由（2）知，，且当，时，，
此时不存在具有性质的集合，．
由条件①得2，3不能同时属于集合．
下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况：
（1）当，时，由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即，．
因为，，，，
由条件②得，，
即，．
由条件①得，，即，．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
（2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合，
下面分三种情形：
情形一：若，，由条件①得，即．
由条件②得，，即，．
由条件①得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
情形二：若，，由条件①得，，
即，．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质集合，．
情形三：若，，由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，
综上，的最大值为32．
0
1
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
胜负情况
甲球员上场情况
获胜
未获胜
上场
40场
5场
未上场
2场
3场
0
1
2
3
分数
满意度
非常满意
满意
不满意
＋
0
－
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减