甘肃省庆阳市2024-2025学年高二上学期期末教情学情监测数学试题（解析版）

这是一份甘肃省庆阳市2024-2025学年高二上学期期末教情学情监测数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为.
故选：D.
2. 直线l：的一个方向向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线：的斜率为，因此的一个方向向量为，
而向量，则是直线的一个方向向量，B是；
其余选项所给向量与向量都不共线，ACD不是.
故选：B.
3. 若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为（ ）
A. 1B. 1或5C. 5D. 3或5
【答案】C
【解析】根据左焦点的坐标为，可得，且焦点在轴上，
结合椭圆标准方程可得，故.
故选：C.
4. 在等比数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 32D. 16
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由，，得，
所以.
故选：C.
5. 已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】记抛物线的准线为，
如图，作于D点，交y轴于A点，则，
因为，所以为的中点，
所以，
，解得．
故选：A．
6. 圆与圆的公切线的条数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为，故两圆外切，
因此，两圆的公切线条数为.
故选：B.
7. 已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线的右焦点为，则，
且，可得，则，，，
所以，双曲线的标准方程为，如下图所示：
双曲线的左焦点为，且，
同理可得，由双曲线的定义可得，
所以，，
所以，的周长为，
当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立，
所以，周长的最小值为.
故选：A.
8. 已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（ ）
A. 0B. 2C. 2024D. 4048
【答案】B
【解析】当为奇数时，，，
所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；
当为偶数时，，，
所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.
所以，数列的前项和为：
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A. 其展开式一共有项
B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为
D. 其展开式的第三项为
【答案】BC
【解析】对于A选项，展开式的项数为，A错；
对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对；
对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对；
对于D选项，其展开式的第三项为，D错.
故选：BC.
10. 等差数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A. B. 数列是递减数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，等差数列的公差，
数列是递减数列，B正确；
对于C，等差数列的前8项都为正，第9项为0，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
11. 已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A. k的取值范围为
B.
C. 若，则或
D. 点M关于x轴的对称点在直线NF上
【答案】ABD
【解析】抛物线C：的焦点，准线，点，直线，
对于A，由消去得：，依题意，，
解得且，因此k的取值范围为，A正确；
对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，
则，
因此，即，B正确；
对于C，由，得，设，
则，而，联立解得，C错误；
对于D，直线的斜率，直线的斜率，
，
令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率，
而直线与直线有公共点，
因此点在直线上，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含项的系数为__________.
【答案】
【解析】的展开式的通项为，
由得，则含的项为，系数为.
13. 若直线与直线平行，则直线与之间的距离为__________.
【答案】
【解析】由与平行，得，解得，
故两直线方程分别为，
所以直线与之间的距离为.
14. 在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________.
【答案】
【解析】在数列中，首项，时，，
即当时，，
所以，，，，，
上述等式全部相乘得，
则，
也满足，故对任意的，，
所以，，
所以数列的前和为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列满足，，为数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值．
解：（1）设等比数列的公比为，则，
解得：，．
（2），，
解得：．
16. 已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试.
（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？
（2）若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？
解：（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，
则第一、三、四次抽到的都是正品，
由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种.
（2）分以下两种情况讨论：
（i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种；
（ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品，
则不同的测试情况种数为种.
综上所述，不同的测试情况种数为种.
17. 已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）由题意得，又，
所以，
所以是首项为3，公比为3的等比数列，
故.
（2）由（1）知，
则，①
，②
①与②两式相减得
，
故
18. 在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B.
（1）求轨迹C的方程；
（2）求斜率k的取值范围；
（3）当时，求A，B两点坐标.
解：（1）设，则，
所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，
其中，故，
故轨迹C的方程为；
（2）过点且斜率为k的直线l的方程为，
联立与得，，
，解得或，
故斜率k的取值范围是或；
（3）时，，联立得，，
解得或，
当时，，当时，，
故或.
19. 定义：若椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的两个点Ax1,y1,Bx2,y2满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求“共轭点对”中点所在直线的方程；
（3）设为坐标原点，点在椭圆上，，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.
解：（1）依题意，，解得
所以椭圆的方程为.
（2）因为，
所以，所以，
所以点所在的直线的方程为.
（3）由（2）知，直线，
联立，解得或，则，
设点，则，
两式相减得，
又，于是，
所以，
所以，
所以线段的中点在上，故线段被直线平分，
设点到直线的距离为，
则四边形的面积，
而，
故，
设过点且与直线平行的直线的方程为，
则当与相切时，最大，
由，
消去得，
令，解得，
当时，此时方程为，
即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与不可能相切，
即小于平行直线和（或）的距离，
所以，得证.