2022-2023学年甘肃省庆阳市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省庆阳市高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．10 B．5 C．20 D．4

【答案】B

【分析】用排列数公式展开即可求得.

【详解】．

故选：B

2．直线与平行，则（    ）

A．－2 B．2 C．6或－1 D．3

【答案】B

【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.

【详解】由题可知，直线与平行，

所以，得；经验证，符合题意．

故选：B

3．现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.

【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为．

故选：A

4．等比数列的前n项和为，则（    ）

A．－2 B．2 C．－1 D．－4

【答案】A

【分析】求出，根据等比数列的性质求出.

【详解】因为为等比数列，且前n项和，

根据等比数列的性质有

所以．

故选：A

5．在的展开式中，系数为有理数的项是（    ）

A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项

【答案】C

【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.

【详解】在的展开式中，根据通项可知，

时系数为有理数，即第五项为．

故选：C

6．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上有一动点P，，则的最小值为（    ）

A．6 B．8 C．7 D．9

【答案】D

【分析】利用抛物线定义将焦半价转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果.

【详解】记抛物线C的准线为，作于T，如下图所示：

抛物线定义可知，，且，所以

当P，Q，T三点共线时，有最小值，

最小值为．

故选：D

7．跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（    ）

A．30天 B．31天 C．32天 D．33天

【答案】C

【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解

【详解】依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，

且首项为1千米，公差为0.5千米．

设他经过n天后完成健身计划，

则，

整理得，

解得．

故选：C.

8．已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用圆与直线相切，求出，然后求出过圆圆心垂直于直线的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.

【详解】由圆的圆心为原点，半径为5，

又圆与直线相切，

则到直线的距离为，

则，解得，

设过且与垂直的直线为，

则：，

联立，

得直线l与的交点为，

设圆心关于点的对称点为，

由中点公式有

所以圆心关于点的对称点为，

因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，

故选：D.

二、多选题

9．已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（    ）

A．C的短轴长为 B．的最大值为

C．C的长轴长为6 D．C的离心率为

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.

【详解】由标准方程可知，，，

所以，，．

所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；

离心率，即D正确；

由椭圆性质得， 故选项B错误.

故选：ACD

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．展开式的常数项为20 B．被7除余1

C．展开式的第二项为 D．被63除余1

【答案】BCD

【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.

【详解】对于A，的展开式的通项为.

令，解得，所以展开式的常数项为，故A错误；

对于B，，因为都是的倍数，所以是的倍数，所以被7除余1，故B正确；

对于C，的展开式的第二项为，故C正确；

对于D，，因为都是的倍数，所以是63的倍数，所以被63除余1，故D正确.

故选：BCD.

11．用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（    ）

A．个位是0的四位数共有60个 B．2与4相邻的四位数共有60个

C．不含6的四位数共有100个 D．比6701大的四位数共有71个

【答案】ABD

【分析】对于A特殊元素法，先排零；

对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论；

对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位；

对于C，分别考虑首位为7，前两位为67.

【详解】个位是0的四位数共有个，A正确．

若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确．

不含6的四位数共有个，C错误．

比6701大的四位数共有个，D正确．

故选：ABD

12．若直线l与抛物线有且仅有一个公共点，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为．已知抛物线上有两点．过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，过抛物线C上异于A，B的一点的切线分别与交于点M，N，则（    ）

A．直线的方程为 B．点A，Q，B的横坐标成等差数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知得，结合抛物线上点的坐标关系，可判断A,B选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出坐标，根据向量的坐标运算，可判断C,D选项；

【详解】解：已知抛物线，则，抛物线上两点，过点A，B分别作抛物线C的两条切线，直线交于点，则，

则由题意可知：，

对于A，联立，当时，，此时直线方程为，符合，

当，直线的斜率，所以直线的方程为：，

因为在直线上，所以，所以直线的方程为，故A正确；

对于B，因为在抛物线上，所以，则或，

由A得，则或，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；

对于C，由A，B可得，即，点是抛物线上一点，所以，

联立，同理可得

所以，

，

，

所以，故C正确；

对于D，由C得，，

，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若圆与圆外切，则______．

【答案】16

【分析】利用两圆外切则圆心距等于两圆半径之和即可.

【详解】由圆，圆心为，半径，

圆，圆心为，半径，

则,

由两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，

即，

解得，

故答案为：16.

14．已知等差数列单调递减，若，，则公差d的一个整数取值可以是______．

【答案】－4（或－3，－2，－1，只需写出一个答案即可）

【分析】根据数列单调递减可知，利用通项公式可得即可求得结果.

【详解】因为，由等差数列的通项公式可得，即，

又是单调递减数列，所以，

故d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1．

故答案为：－4

15．双曲线C：上的点P到右焦点的距离为10，则P到左焦点的距离为______．

【答案】18

【分析】利用双曲线的定义即可得到所求距离．

【详解】依题意，设C的左、右焦点分别为、，则，

因为，，所以，故P在右支上，

所以由双曲线的定义可得，则．

故答案为：18.

16．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______．

【答案】864

【分析】所有可能值班安排共有种，减去选一人连排三天、四天、五天夜班的情况得答案.

【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，

（1）从四人中选一人连排三天夜班，

若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种；

若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种；

若形如□▲▲▲□排列：共有种；

若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种；

因此，选一人连排三天夜班共有132种．

（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，

形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种．

（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．

故满足题意的排夜班方式的种数为．

故答案为：864

四、解答题

17．已知．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．

（A）求；

（B）求；

（C）设，证明：．

【答案】答案不唯一，具体见解析

【分析】选A利用二项式展开写出所有含的项即可算出结果；选B，利用赋值法时，可得进而求得结果；选C，分别令，即可得出证明.

【详解】选A  解：

因为．

选B  解：

令，得，则．

选C  证明：

令，得；

令，得．

故．

18．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，且，．

(1)求，的坐标．

(2)若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为，求直线l的斜率．

【答案】(1)，的坐标分别为，

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据的关系求解.

（2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，，

故，的坐标分别为，．

（2）设A，B两点的坐标分别为，，

则，

两式相减得．

因为弦AB的中点在椭圆内，所以，

所以直线l的斜率．

19．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于A，B两点．

(1)求m的值；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线几何性质写出焦点坐标，利用直线过焦点即可算出m的值；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理和焦点弦公式即可求得.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

将焦点坐标代入直线方程得，

即．

（2）由（1）知，直线方程为，设

联立直线与抛物线方程整理得，

则，，

根据抛物线焦点弦公式得，

所以

20．已知等差数列的首项为1，公差为．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设公差为d，利用求解d，从而得到通项公式；

（2）使用错位相减求和.

【详解】（1）设公差为d，由题知，

解得，

所以，．

（2）由（1）知，

则，①

，②

①－②可得，

即．

21．现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．

(1)若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；

(2)若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；

(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.

【详解】（1）依题意可得不同安排方法的总数为．

（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：

第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．

故不同安排方法的总数为．

22．在①C的渐近线方程为  ②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．

已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．

(1)求C的标准方程；

(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出之间的关系，再利用在双曲线上即可求得C的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q点坐标，分别别写出直线PM和QN的直线方程，求得交点A的坐标表示，利用韦达定理即可证明.

【详解】（1）选①

因为C的渐近线方程为，所以，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为．

选②．

因为C的离心率为，所以，得，

故可设C的方程为，

代入点P的坐标得，可得，

故C的标准方程为．

（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．

设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，

联立直线和双曲线方程得，

所以，，

直线PM：，即，

直线QN：，即，

消去y，得，

整理得，

则．

因为，所以A的横坐标为1．

故A在定直线上．