天津市西青区2023−2024学年高二下学期7月期末学习质量检测 数学试题（含解析）

这是一份天津市西青区2023−2024学年高二下学期7月期末学习质量检测 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（ ）
A．B．C．D．
2．随机变量，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
3．一个火车站有6股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，不同的停放方法为（ ）
A．种B．种C．种D．种
4．下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．的展开式的第7项的系数为（ ）
A．B．C．D．
7．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极大值
8．鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·早麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图1），寓意鹏程万里、前途无量，通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：），绘制对应散点图（图2）如下：

计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花萼长度与花瓣长度不存在相关关系；
B．花萼长度与花瓣长度负相关；
C．花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为；
D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642．
9．某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．给定函数，则：①当时，有极大值；②当时，的解的个数为2个；③若方程有一个零点，则；④函数是R上的单调递减函数，则实数b的取值范围为．其中正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题）
11．已知函数在处有极值，则 ．
12．二项式展开式的各二项式系数之和为 ；该展开式中项的系数为 ．
13．1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 种排法.
14．现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为 ．
15．已知、的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果线性回归方程为，那么表格中的数据的值为 ．
16．已知函数的定义域为R，，则的解集为 ．
三、解答题（本大题共4小题）
17．我国今年4月神舟十八号载人飞船成功发射、神舟十七号载人飞船顺利返回地球，5月嫦娥六号探测器成功发射，航天工作者的艰苦努力和科技创新精神被公众广泛赞誉，航天精神成为新时代的时代楷模．为进一步弘扬航天精神、学习航天知识，传播航天文化，某校计划开展“航天知识大讲堂”活动，为了解学生对“航天知识大讲堂”的喜爱程度，从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，以下是调查的部分数据：
附：，其中．
(1)请将上面列联表补充完整，依据的独立性检验，能否认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与性别有关联；
(2)现从抽取的“喜欢航天知识大讲堂”学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，记这3人中“喜欢航天知识大讲堂“的女生人为X，求X的分布列和数学期望．
18．函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
19．历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作．
(1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率；
(2)若该工艺画师进行3次制作，事件“恰有一件优秀作品”，求事件B的概率；
(3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望．
20．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明不等式：；
(3)当时，不等式对在意恒成立，求实数b的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【分析】由分类计数原理求解．
【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：，
故选A.
2．【答案】B
【分析】由正态分布的图象性质求解．
【详解】由正态分布知，，
故选B.
3．【答案】A
【分析】由分步乘法原理以及排列数的意义即可得解.
【详解】第一列火车有6种选择，第二列火车有5种选择，第三列火车有4种选择，第四列火车有3种选择，
所以满足题意的不同的停放方法为种.
故选A.
4．【答案】C
【分析】根据求导公式以及复合函数求导规则即可判断出C正确.
【详解】易知，可得A错误；
而，可得B错误；
显然，可得C正确；
易知，可得D错误.
故选C.
5．【答案】D
【分析】利用条件概率公式计算可求得结果.
【详解】记“第一次抽到K牌”为事件，“第二次抽到K牌”为事件；
根据题意可得；
因此所求概率为.
故选D.
6．【答案】B
【分析】由二项式的通项公式求解．
【详解】的展开式的第7项为：，
则第7项的系数为：.
故选B.
7．【答案】A
【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C,D的结论．
【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，
故选A.
8．【答案】C
【分析】利用散点图可知花萼长度与花瓣长度存在正相关关系，可判断AB错误；将代入回归方程可得C正确；选取其他品种鸢尾花进行抽样相关系数不一定为0.8642.
【详解】由散点图可知，花萼长度与花瓣长度呈正相关关系，且相关性强，可得A错误；B错误；
由经验回归方程可得，当花萼长度为时，
花瓣长度为，所以当萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为
可得C正确；
若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数不一定为0.8642，可得D错误.
故选C.
9．【答案】D
【分析】利用二项分布计算公式可求得结果为.
【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为，
由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为；
则.
故选D.
10．【答案】B
【分析】对于①，运用求导，得到单调性，进而得到极值可判断；对于②③，借助前面的讨论，得到图象，后直接画图，数形结合，直接判断；对于④，求导后采取参变分离，转化为函数的最值问题即可.
【详解】，则,则.
单调递减；单调递增；
则时，取极小值故①错误.大概画出图像如下.
当时，的解的个数为2个,故②正确；
若方程有一个零点，即方程有一个解，则，或者故③.错误.
函数是R上的单调递减函数，即在R上的单调递减，
即在R上恒成立，即在R上恒成立.
令，则，则.
单调递减；单调递增；
则时，取极小值，在R上恒成立，则故④正确.
综上所得，正确的有②④,错误的有①③.
故选B.
11．【答案】4
【分析】根据题意对函数求导可得，即可解得.
【详解】由可得，
又因为函数在处有极值，所以，
解得；
经检验可得时，在处取得极小值符合题意.
故答案为：4.
12．【答案】
【分析】根据二项式系数和为求出，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】因为二项式展开式的各二项式系数之和为，即，解得，
所以展开式的通项为（且），
令，解得，所以展开式中项的系数为.
故答案为：；.
13．【答案】72
【分析】可先从4名同学中选2人排在两端，其余3人（包含老师）在中间3合格位置任意排列即可.
【详解】第一步：先从4名同学中选2人排在两端，有种排法，
第二步：剩余3人（包括老师）在中间的3个位置任意排列，有种排法.
根据分步乘法计数原理，所有的排法有：种.
故答案为：72.
14．【答案】0.77（）
【分析】直接由全概率公式即可求解.
【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为.
故答案为：0.77.
15．【答案】
【分析】求出样本中心点的坐标，将样本中心点的坐标代入回归直线方程，可求得实数的值.
【详解】由表格中的数据可得，，
将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.
故答案为：.
16．【答案】
【分析】构造函数并求导得出函数单调性，即可解得不等式的解集.
【详解】由可构造函数，
则可得，所以在R上单调递增，
又，所以等价于，
即，可得,
即的解集为.
故答案为：.
17．【答案】(1)填表见解析；有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关
(2)分布列见解析；期望为1
【分析】（1）给出列联表，计算的值，再结合的独立性检验进行判断；
（2）由超几何分布求出分布列，再计算数学期望即可．
【详解】（1）由题意，可得如下的的列联表：
零假设为：该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关
根据表中数据，计算得到
根据的独立性检验，零假设为成立，
所以有把握认为该校学生是否喜欢“航天知识大讲堂”与“性别”无关；
（2）在喜欢航天知识大讲堂的学生中按性别分层抽样，
男生为（人），女生为2人
X的所有可能取值为，
则：
随机变量X的分布列为
随机变量X的期望
18．【答案】(1)
(2)最大值是，最小值是
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）令，求出其解，判断函数在上的单调性，求出端点处的函数值以及极值，比较大小，即得答案.
【详解】（1）由已知得：，则，
当时，，
故在处的切线方程为：，即
（2）．
令：，得或，
则关系如下：，
在单调递增，在单调递减，
，
所以，，
所以函数在区间上的最大值是，最小值是．
19．【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）运用独立事件概率乘法公式求解即可；
（2）运用二项分布概率公式求解即可；
（3）运用二项分布概率公式求解概率分布列，进而求出数学期望即可.
【详解】（1）由题意得；
（2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B
；
（3）随机变量X的取值为
由题意可知：
随机变量X的分布列为
或者．
20．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）直接求导，然后进行分类讨论即可；
（2）式子变为，设，借助导数研究函数单调性，进而得到最值即可证明；
（3）参变分离即证在上恒成立，转化为导数研究最值问题即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递减，
当时，令，解得：，
令，则在上单调递增．
令，则在上单调递减，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，，要证明：；
即证：，即证：，
设，
令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，，
．即：，
；
（3）由题意得：在上恒成立，
整理得：，
参变分离即证在上恒成立，
令，则只要证明的最大值即可．
．
令解得：，
（列表如下）
在上单调递增，在上单调递减，
，
则实数b取值范围为.喜欢航天知识大讲堂
不喜欢航天知识大讲堂
合计
男
20
26
女
14
合计
50
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
喜欢航天知识大讲堂
不喜欢航天知识大讲堂
合计
男
20
6
26
女
10
14
24
合计
30
20
50
X
0
1
2
P
x
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
0
1
2
3
P
x
1
0
单调递减
0
单调递增
x
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减