专题08 二次函数中的角度问题 (4大题型)40题专练 (教师版)-2025年中考数学压轴训练

这是一份专题08 二次函数中的角度问题 (4大题型)40题专练 (教师版)-2025年中考数学压轴训练，共143页。试卷主要包含了角的数量关系处理的一般方法如下等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
1、角的数量关系处理的一般方法如下：
（1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；
（2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；
（3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角．
2.特殊角问题处理的一般方法如下：
（1）运用三角函数值；
（2）遇45°构造等腰直角三角形；
（3）遇30°，60°构造等边三角形；
（4）遇90°构造直角三角形．
题型一：角相等问题
对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。
二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。
1．（2024·山西太原·三模）综合与探究
如图1，经过原点O的抛物线与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．

(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求的最大值．
(3)如图3，连接，抛物线上是否存在一点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A的坐标为，B的坐标为，直线函数表达式为；
(2)；
(3)或．
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、相似三角形的性质证明、一次函数的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
（1）在中，令得得，在中，令得，设直线函数表达式为，把，代入，即可求解；
（2）过M作轴于K，过C作轴于T，则，设直线函数表达式为，把代入得直线函数表达式为，进而得，由， ，即可求解 ；
（3）过B作轴于R，设直线l交y轴于点E，求出点E的坐标为，则，由得到，则，设，则，得到，解得或，进而可求解；
【详解】（1）解：在中，令得，
解得或，
∴，
在中，令得，
∴，
设直线函数表达式为，
把，代入得：
，
解得，
∴直线函数表达式为；
∴A的坐标为，B的坐标为，直线函数表达式为；
（2）过M作轴于K，过C作轴于T，如图：
∵点M的横坐标为m，
∴，
设直线函数表达式为，把代入得：
，
解得，
∴直线函数表达式为，
由得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴当时， 取最大值，最大值为 ；
（3）抛物线上存在一点M，使得，理由如下：
过作轴于R，设直线l交y轴于点E，如图：
当时，，
∴点E的坐标为，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或，
经检验，或是方程的解且符合题意，
∴或．
2．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．

(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)
(3)或
【分析】（1）由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点的坐标；
（2）设轴于点，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论；
（3）确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，
当时，得，解得：或，
当时，得，
∴，，，
∵抛物线的顶点为，
∴，即，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）设轴于点，设，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点作轴的垂线，交直线于点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为；

（3）设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
①如图，
∵，
∴，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；

②如图，设交于点，作射线交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴点是的中点，
∴点的坐标是，即，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线：与直线：交于点，
联立，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
∴解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键．
3．（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）综合与探究．
如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求，，三点的坐标；
(2)若点是轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标；
(3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点；
（2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可；
（3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，即，解得：．
∴图象与轴交于点，，
当时，，
∴图象与轴交于点，
（2）解：∵，，
∴，
当，则点P的坐标为或；
当时，∵，
∴，
∴点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
∴，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或；
（3）解：当点在上方时，

∵，
∴，即轴，
∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
∵，
∴；
当点在下方时，设交轴于点，

则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
∴．
综上所述，点的坐标为或；
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由；
(3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标．
【答案】(1)此抛物线的表达式是
(2)对称轴直线与圆A的位置是相离，理由见详解
(3)点的坐标为
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，得到，即，即可判断；
（3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，利用等角的正切值相等解决问题，，所以，，所以，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、两点
∴，解得
∴此抛物线的表达式是；
（2）答：对称轴直线与圆A的位置是相离
根据（1）得，抛物线的对称轴是直线，
抛物线与y轴的交点点坐标为，
所以，
所以圆的半径是，
设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，
又，
所以，
对称轴与x轴垂直，设垂足为M，那么的长就是圆A到对称轴的距离，
又对称轴是直线，
所以点的坐标为，
所以，
因为，即，
所以对称轴直线与圆A的位置是相离．
（3）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，
易得 ，，
又点坐标为， 点坐标为，
所以轴，
所以，，由勾股定理得 ，
所以，在中，，
在中，，
因为，
所以，
所以，
所以点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求解析式，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，二次函数与角度的存在性问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
5．（2023·海南·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点．点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为，
(2)
(3)存在，点的横坐标或
(4)
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，解直角三角形；
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴，过点作交于，过点作交于，利用割补法求四边形的面积即可；
（3）连接交于点，则，先求两直线的交点，可得，设，过点作轴交于，由，得到方程，求出的值即可；
（4）连接，过点作，过点作，与交于点，四边形的周长，当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，分别求出，，即可得四边形的周长的最小值为．
【详解】（1）解：将、，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
解得或，
；
（2）过点作轴，过点作交于，过点作交于，
、，，，
，，，，
四边形的面积；
（3）存在点，使，理由如下：
连接交于点，
直线与直线平行，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
，
，，
，
设，
过点作轴交于，
，
，
解得或或（舍，
或；
点的横坐标为或；
（4）连接，过点作，过点作，与交于点，
四边形是平行四边形，
，，
、关于对称轴对称，
，
四边形的周长，
当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，
，，
，
、，
，，
四边形的周长的最小值为．
6．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)联结、、，求的值；
(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标．
【答案】(1)该抛物线的表达式为；
(2)
(3)点的坐标为．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案；
（3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线关于直线对称，
设抛物线的解析式为，把、代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令，得，
，
、，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，过点作轴于，则，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
（3）证明：如图，连接，
由（2）知是等腰直角三角形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
点在对称轴右方的抛物线上，
，且，
解得：，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．
7．（2024·广西·一模）如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，，若，求点P的坐标；
(3)若，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)点P的坐标为或．
【分析】
本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，正切函数的定义．
（1）将，两点代入，即可求解；
（2）先求出，则，设，可得，即可求点坐标；
（3）设交y轴于点，利用正切函数求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得即可；当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求解即可．
【详解】（1）
解：将，两点代入，
，
解得，
；
（2）
解：令，则，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：设交y轴于点，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
当直线经过点关于原点的对称点时，也符合题意，同理求得直线的解析式为，联立，
解得或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
8．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

(1)若 ， 求B 点和C 点坐标；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标；
（2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可；
（3）设交轴于点，证明，推出，可得结论．
【详解】（1）当 时，，
令，得，
解得：，，
点在点的左侧，
，
令，得，
；
（2）当时，，
解得：，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
如图1中，连接，
，
，，
，，，
、关于对称轴直线对称，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
经检验，是方程的根，
，
；
（3）如图2，设交轴于点，

当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
9．（2024·广东·一模）综合应用．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)存在，点的坐标为或
(3)的值是定值；
【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点，利用待定系数法即可求解直线的函数表达式；
（2）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可；
（3）由（）得抛物线的对称轴为直线，从而，设且，进而利用待定系数法求得直线和直线的解析式，从而得，于是即可得．
【详解】（1）解：当时，即，
解得：．
∴图象与轴交于点，，
当时，，
∴图象与轴交于点，
设直线为：，
把，代入得
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由如下：
当点在上方时，

∵，
∴，即轴，
∴点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线；
∵，
∴；
当点在下方时，设交轴于点，

则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，得，
解得：舍去，，
∴．
综上所述，点的坐标为或；
（3）解：存在，的值为定值，理由如下：
由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
设且，
设直线的解析式为，
将和点的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
同理，直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴的值是定值，．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求一次函数的解析式，二元一次方程组的应用以及勾股定理，熟练掌握二次函数的图像及性质以及勾股定理是解题的关键．
10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上任意一点，若，求点的坐标；
(3)点是抛物线上任意一点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）①当P在上方时，延长与y轴相交点Q，过B作于N，利用等积法求出，利用勾股定理求出，证明，利用正切定理可得出，求出，得出点Q的坐标，根据待定系数法求出直线解析式，把直线、抛物线解析式联立方程组，即可求出点P的坐标；②当点P在下方时，设与y轴相交点Q，过B作于N，类似①的方法求解即可；
（3）分；；三种情况讨论，根据勾股定理构建方程求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴；
（2）解：①当点P在上方时，延长与y轴相交点Q，过B作于N，
∵，，，
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
设直线解析式为，
把B、Q坐标代入，得，
解得，
∴，
联立方程组，
解得或，
∴点P的坐标为；
②当点P在下方时，设与y轴相交点Q，过B作于N，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
同理可求直线解析式为，
联立方程组，
解得或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设，
∵，，
∴，，，
当时，，
∴，
整理得，
∴，
解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去），，，
当时，；
当时，；
∴M的坐标为或；
当时，，
∴，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
∴
∴M的坐标为；
当时，，
∴，
整理得，
解得（不符合题意，舍去），
∴
∴M的坐标为，
综上，M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，数形结合，合理分类讨论是解题的关键．
题型二：二倍角关系问题
对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径：
等角的构造方法
（1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；
（2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；；
（3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；
（4）利用角平分线的相关性质定理。
二倍角的构造方法
如图，已知，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造，在BC边上找一点D，使得BD=AD，则.
这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了
1．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)点的横坐标为．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明，则，由，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点，使得，理由如下：
延长到，设，连接，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
解得（舍去）或（舍去）或，
点的横坐标为．
2．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的横坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）延长到H，设，连接，证明，可得，设，则，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴可设抛物线的表达式为：，
∵抛物线的表达式为：，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点P，使得，理由如下：
对于，当时，,
∴点C的坐标为，即，
延长到H，设，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或或（舍去），
∴点P的横坐标为．
3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②2或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．
②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点
∴
解得：
∴，，；
（2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．
∵，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
设直线的解析式为
∴
解得：
直线解析式为．
设，
，
，
当时，取得最大值为，
的最大值为．
②如图2，已知，令，则，
在上取点，使得，
∴，
设，则，
则，
解得，
∴，即．
如图3构造，且轴，相似比为，
又∵，
设，则．
分类讨论：ⅰ当时，则，
∴与的相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
ⅱ当时，则，
∴相似比为，
∴，，
∴，
代入抛物线求得，（舍）．
∴点横坐标为．
综上所示，点的横坐标为2或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2024·西藏·二模）已知抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线，抛物线与y轴交于C点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作轴于D，直线与交于点E，当是以为底的等腰三角形时，求P点的坐标；
(3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足，求M的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（1）求出直线解析式，设点P坐标为：，则点E坐标为，当是以为底的等腰三角形时，点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3，由此求出x即可；
（3）如图所示，取点，连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明，再分别用待定系数法依次求出直线和直线的解析式，求出直线与抛物线交点M的坐标，再由对称性求出另一点M的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由题意点C坐标为，
由抛物线的对称性，点B的横坐标为，
则B点的坐标为：，
设直线解析式为：，
把，代入，得，
，
解得：，
∴直线解析式为：，
∴设点P坐标为：，则点E坐标为，
当是以为底的等腰三角形时，
点C在线段垂直平分线上，线段中点的纵坐标为3，
∴，
解得，（舍去），
∴，
故P点的坐标为．
（3）解：取直线与x轴交点，记为点D，
连，在上取点F，使得，连并延长交抛物线于点M，

由题意可知，点关于y轴对称，则有，，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为：，
把，代入，得，
，
解得，
，
∴直线解析式为：
设点F坐标为，
，，
∵，
∴，
解得，（舍去），
则点F坐标为：，
设直线的解析式为，
把点，代入，得
，
解得，
的解析式为，
当时，
解得（舍去）
∴点M的坐标为，
由对称性可知当F坐标为时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意，
同理可以求出此时M的坐标为；
综上，点M的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合与一次函数的综合，勾股定理，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够利用等腰三角形的性质构造出等角关系．
题型三：两角和与差问题
1．（2024·山西临汾·一模）综合与探究
如图，抛物线的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的点，且，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为，
(2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为
(3)或
【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于D，设，则，可得；再由，得到，利用二次函数的性质即可求出答案；
（3）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；求出直线与y轴的交点坐标为；取，则直线解析式为，由对称性可得，则射线与抛物线的交点即为点M，同理可得点M的坐标为．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交于D，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为4，
∴此时点P的坐标为
（3）解：如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，
，
∴，，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
在中，当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为；
取，则直线解析式为，
由对称性可得，
∴射线与抛物线的交点即为点M，
联立，解得或，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于利用线段的长表示出对应三角形的面积，解（3）的关键在于取出H点证明等腰直角三角形得到45度的角．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点；
(1)如图1，求的长度．
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，连接，取上一点，以为底向下作等腰，设点横坐标为，试用含的代数式表示的值为______（直接填空）．
(3)如图3，在（2）的条件下，点为第一象限抛物线上一点，连接交于点，连接、且，连接并延长与交于点，当时，求点横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，解方程，即可求解；
（2）以为斜边向上作等腰，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，证明得出，进而设，则，则， ，得出，根据正切的定义，即可求解；
（3）证明得出，进而可得，则求得直线的解析式为，证明得出，则，可得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：
∴
∴
（2）解：如图所示，以为斜边向上作等腰，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵等腰，
∴
又∵
∴，则,
∵轴，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵点横坐标为，
∴
设，则，则，
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
（3）解：如图所示，连接，
∵，是等腰直角三角形，
∴，又
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
∵是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵且
∴
又∵，即
∴
∴
∴
∵是的中点，
∴
∴直线的解析式为
∴
解得：（负值舍去）
∴的横坐标为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合：
（1）把抛物线设为顶点式即可得到答案；
（2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案；
（3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
如图所示，过点D作轴，交于E，
设，则，
∴；
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1；
（3）解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
∴点F的横坐标的最大值为．
4．（2024·山东泰安·一模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
(2)若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
(3)若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
【答案】(1)抛物线表达式为；所在直线的函数表达式为；
(2)；
(3)点的横坐标是或或或．
【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：
，
∴，
∴直线的解析式为；
（2）解：已知，
∴，则，
如图所示，取点，作轴于点，使得，，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同（1）法可得直线解析式为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为；
（3）∵，，
∴，
∴，
如图所示，
当点在直线上方时：
将直线向上平移1个单位，得到，设直线与轴的交点为，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴点为直线与抛物线的交点，
令，解得：，
当点在直线下方时，
将直线向下平移1个单位，得到直线，则点为直线与抛物线的交点，
令：，
解得：．
综上：点的横坐标为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，一次函数图象的平移等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
(1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________；
(2)连接，交线段于点D，
①当与x轴平行时，求的值；
②当与x轴不平行时，求的最大值；
(3)连接，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1);;
(2)①；②
(3)存在点P，
【分析】(1)令x=0，则y=4，令y=0，则=0，所以x=-2或x=3，由此可得结论；
(2)①由题意可知，P(1，4)，所以CP=1，AB=5，由平行线分线段成比例可知，．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y=-x+4．设点P的横坐标为m，则P(m，-)，Q(，-)．所以PQ=m-()=-，因为PQ∥AB，所以=，由二次函数的性质可得结论；
(3)假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，即0＜m＜3．过点C作CFx轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB=90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M(8，0)，所以直线CM的解析式为：y=-x+4，令=-x+4，可得结论．
【详解】（1）解：令x=0，则y=4，
∴C(0，4)；
令y=0，则=0，
∴x=-2或x=3，
∴A(-2，0)，B(3，0)．
故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)．
（2）解：①∵轴，，
∴，，
又∵轴，
∴△CPD∽△BAD
∴；
②过P作交于点Q，
设直线BC的解析式为，
把B(3，0)，C(0，4)代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴△QPD∽△BAD
∴，
∴当时，取最大值；
（3）解：假设存在点P使得，即，
过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，
∴∠FCP=∠BMC，
∵，
∴平分，
∴∠BCP=∠FCP，
∴∠BCP=∠BMC，
∴BC=BM，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，，，
设直线CM解析式为y=kx+b，
把C(0，4)，代入，得
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或(舍)，
∴存在点P满足题意，即．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解．
（3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：由，当时，，
解得：，
∴，
当时，，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴，交于点，

∵，
∴
∵
∴，则
设，则即，
将点代入
即
解得：或（舍去）
当时，，
∴；
（3）∵，，
则，是等腰直角三角形，
∴，由（2）可得，
∵
∴，
由（2）可得，
设直线的解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为
如图所示，以为对角线作正方形，则，

∵，则，则，，
设，则，
解得：，，
则，，
设直线的解析式为，直线的解析式为
则，，
解得：，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴解得：，则，
解得：,则，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解；
（3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：①；
（2）解：在中，，
，
则，
故设直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（不合题意的值已舍去）；
（3）解：作，
设，
，
且相似比为，
则，
故当、、共线时，为最小，
在中，设边上的高为，
则，
即，
解得：，
则，
则，
过点作轴于点，
则，
即点的纵坐标为：，
同理可得，点的横坐标为：，
即点，
由点、的坐标得，，
即的最小值为．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
【答案】(1)
(2)当时，的最大值为
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交轴于点，交于点，根据锐角三角函数得到，将转化为二次函数求最值即可；
（3）先求出，进而得到为的中点，推出抛物线的平移规则，求出新的抛物线的解析式，根据，当点在右侧时，得到四点共圆，推出，利用锐角三角函数求出的长，进而求出点坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可，当点在左侧，点是中点时，，根据中点坐标公式，求出点的坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：把，，代入函数解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交轴于点，交于点，
∵，
∴，
又：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴当时，有最大值为，此时最大为；
∴当时，的最大值为．
（3）∵，
∴，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
过点作轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则新抛物线的的解析式为：，
即：
∵垂直平分，且点在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
当点在右侧时，，
∴，
过点作交于点
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴点的横坐标为：或，
当点在左侧时，点是中点时，，
设点，则：解得：，
∴，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴点的横坐标为：或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，解直角三角形，四点共圆，二次函数求最值，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点．

(1)______________；
(2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，请直接写出与的函数解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，点在第四象限的抛物线上，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若
，求点的坐标并直接写出直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）待定系数法求得的值，即可求解；
（2）过点作轴于点，根据点在第二象限的抛物线上，设点的横坐标为，则，得出，，，根据得出，即可求解；
（3）过点作轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，，设则，过点作轴，交的延长线于点，设交轴于点，连接并延长，交于点，连接，证明是等腰直角三角形，得出，，，过点作交于点，进而求得待定系数法求得直线的解析式为得出直线的解析式为，联立抛物线解析式得出的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴，即
∵
∴
将代入
∴
解得：
故答案为：．
（2）如图所示，过点作轴于点，

由（1）可得
令，则
解得:
∴
点在第二象限的抛物线上，设点的横坐标为，则，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
即
∴
（3）解：如图所示，过点作轴于点，

∵，，
∴，
在中，
∴
∴，
又
∴
∴，则是等腰直角三角形，
∵
∴
解得：或（舍去）
∴，，，，则是的中位线
∴，
设
∴，
如图所示，过点作轴，交的延长线于点，设交轴于点，

∵，
∴，
又
∴，
∴
在中，
∴
∴
连接并延长，交于点，连接，
∵
∴
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
同理可得
∴
∴
∴
又∵
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵，则，，
∴，，
过点作交于点，
∵
∴，
又∵
即
∵
∴
∵，
∴
∴
设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
设直线的解析式为
将代入，得
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：
∴
设直线的解析式为，将，
代入得，
解得：
∴直线的解析式
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，二次函数的线段周长问题，角度问题，全等三角形的性质；综合运用以上知识是解题的关键．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线分别交轴于点和（在左侧），交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，连接，的面积是．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，连接和，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，，直线和直线相交于点，为延长线上一点，连接，，点为上一点，连接，交轴于点，，且，在轴负半轴上一点，使，若求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，得到，进而根据的面积是，求出，则，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出对称轴，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再求出点P的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据（2）所求，结合可得，求出直线解析式为，联立，可得；过点F作交轴于，可证明，设，利用勾股定理得到，可得，，，证明，求出，设，利用勾股定理可得，解方程可得；过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设，则，解直角三角形得到，，则，，可得；证明四边形是矩形，得到，则，，解，得到；进而得到；，证明，求出，则，可证明，推出，则；取，连接，可证明是等腰直角三角形，且，得到，则点H即为与y轴的交点，同理可得直线解析式为，则．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
把代入中得：，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
∵点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为，
∴；
∵抛物线对称轴为直线，
∴点B的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可得，
解得或（舍去），
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得，
∴；
如图所示，过点F作交轴于，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
设，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图所示，过点M作轴，延长交直线于Q，过点G、F分别作的垂线，垂足分别为S、R，过点G作轴于K，设，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，；
∵轴，
∴，
∴；，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（此时不满足，舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，取，连接，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴点H即为与y轴的交点，
同理可得直线解析式为，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形和直角三角形是解题的关键．
题型四：特殊角问题
1．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），且．在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点．
(1)求点的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，若，求此时点的坐标；
(3)如图3，连接并延长交轴于点，连接，记的面积为的面积为，若，求此时点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，解直角三角形：
（1）先求出，接着利用待定系数法求出对应的函数解析式，再根据对称性求出点A的坐标即可；
（2）点坐标为，则，求出，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案；
（3）设直线的表达式为，则，解得，则直线的表达式为，即可得到点坐标为，则，据此分别求出，再由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线对称轴为直线，
∴；
（2）解：由题意得点坐标为，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
，
（舍去）或，
；
（3）解：由题意得点坐标为
设直线的表达式为，
则，解得
∴直线的表达式为，当时，，
∴点坐标为，
∴
，
，
，
∴或，
解得（舍去）或（负值舍去）
．
2．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．

(1)求的面积；
(2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)6
(2)存在，点的坐标为或，理由见详解
(3)点坐标为，或．
【分析】（1）分别确定点的坐标，进而可得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）若与相似，则进行分类讨论，当或当，由相似三角形的性质可得对应边成比例，再代入数值进行计算，即可求解；
（3）分三种情况讨论：根据题意，点与点不重合，当时；当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标；当时，同理可解．
【详解】（1）解：对于抛物线，
当时，可有，即，
当时，可有，
解得，，
即，，
∴，，
∴；
（2）解：存在，点的坐标为，或
理由如下：
∵，，，
∴，，，
如下图，当时，

则有，即，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：

则有，即，
∴，
∴
则，
综上：或
（3）解：根据题意，点与点不重合；且，如图

结合二次函数的对称性，且
∴
∴
则
∵
∴对称轴
则
则
∴的坐标为
当时，如下图，

设交轴于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式与抛物线解析式，
可得，
解得（舍去）或，
∴点；
当时，如下图，

设交轴于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立直线的解析式与抛物线解析式，
可得，
解得（舍去）或，
∴点．
综上所述，点坐标为，或．
【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
3．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)经过的直线轴，过点B作于点H．
①求证：A，D，H三点共线；
②M是抛物线上一点，且，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数的性质，求二次函数解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）利用对称轴公式求出；代入点C坐标即可求出c，进而求出解析式；
（2）①先求出A、B坐标，进而求出点H坐标，再求出直线解析式，最后验证点H是否在直线上即可；②取，连接，可证明是等腰直角三角形，且，则，即直线与抛物线的交点即为点M，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∵抛物线经过，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①在中，当时，解得或，
∴，
∵经过的直线轴，过点B作于点H，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴点在直线上，
∴A，D，H三点共线；
②如图所示，取，连接，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点M，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴点M的坐标为．
4．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式：
(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的解析式：
(3)若在x轴上存在一点P，使，且，直接写出k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点，代入，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴，过点A作对称轴于点M，过点B作对称轴于点N，易得，从而求出点M的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式；
（3）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，易证，设点，表示出点B 的坐标，代入抛物线解析式，从而求出点B坐标的两种情况，分情况将点B和点A的坐标代入，从而得解．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：抛物线的对称轴：，
如图，过点A作对称轴于点M，过点B作对称轴于点N，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
的横坐标为：，即点，
把点和代入得，
解得：，
直线l的解析式：．
（3）解：如图，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，
则，
，
，
，
，
，
，
，，
设点，
则，，，
，
，
解得：，，
或，
①当，时，得，
解得：，
②当，时，得，
解得：，
综上所述：k的值为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是灵活运用相关知识数形结合解决问题．
5．（2024·河北邯郸·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到、直线交x轴于点D．
①点C的坐标为______；
②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得，若存在，直接写出点M的横坐标．
【答案】（1）见解析； （2）①；②直线的解析式为；（3）或
【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
（2）①过点作轴于点，同（1）的方法，证明，根据一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，求得，，进而可得点的坐标；②由，设直线的解析式为，将点代入得直线的解析式为；
（3）根据解析式求得，；①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，证明，根据得出，设，则，求得点，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式即可求解；②当点在轴的上方时，如图所示，过点作，于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，同①的方法即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图所示，过点作轴于点，

∵将线段绕点逆时针旋转得到，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，
当时，，即，
当时，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，设直线的解析式为，
将代入得：
解得：
∴直线的解析式为，
（3）∵抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
当时，，
解得：，
∴，；
①当点在轴下方时，如图所示，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作，于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），；
②当点在轴的上方时，如图所示，过点作于点，过点作轴，交轴于点，过点作于点，

同理可得，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
综上所述，的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
6．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，已知点P是位于上方的抛物线上的一点，作，垂足为M，求线段长度的最大值；
(3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，，求点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)的最大值为；
(3)点Q的坐标为．
【分析】（1）将点代入，求得，即可得解；
（2）求得点和的坐标，推出，作轴于点，交于点，得到是等腰直角三角形，，设，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）作轴于点，作轴于点，求得，证明，利用正切函数的定义求得，证明是等腰直角三角形，求得，再求得直线的解析式，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：当时，；
当时，，
解得或；
∴，，
∴，
∴，
作轴于点，交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）解：作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理直线的解析式为，
联立得，
解得或；
当时，，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．
7．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，，
(2)或或
(3)
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；
（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；
（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
当时，
解得：，
∴
（2）∵，，，
设，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形
当为对角线时，
解得：，
∴；
当为对角线时，
解得：
∴
当为对角线时，
解得：
∴
综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或
（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵
∴是等腰直角三角形，
∴在上，
∵，，
∴，，
∵，
∴在上，
设，则
解得：（舍去）
∴点
设直线的解析式为
∴
解得：.
∴直线的解析式
∵，，
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2024·山西大同·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．
(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标是，直线BC的表达式是；
(2)点的坐标是或；
(3)存在，点的坐标是或．
【分析】
（1）令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，解方程得或，
∴点B的坐标为；
令，则，
∴点C的坐标为；
设直线的表达式为，则，
解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：作轴，垂足为，交直线于点，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴或，
当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图，
作轴于点，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
当时，设交轴于点，此时，如图，
在中，，，
∴，
∴点的坐标为，
同理，求得直线的表达式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点的坐标是；
综上，点的坐标是或．
【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．
9．（2024·山东济南·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点，过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线与交于点Q，当时，求点P的坐标；
(3)坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)P；
(3)F的坐标为或．
【分析】（1）由题意得到①，②，联立得到方组组，解方程组得到，，即可得到抛物线的解析式；
（2）设交y轴于G，过P作交于H，求出，，则，设，则，得到，证明，利用相似的性质列方程解方程得到或1，即可得到点P的坐标；
（3）分F在x轴上和在y轴上两种情况，利用数形结合进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴交x轴于点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴①，
∵点在抛物线上，
∴②，
由①②联立方程组，
，
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
（2）设交y轴于G，过P作交于H，如图：
在中，令得，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线函数表达式为，把，代入得到，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
在中，令得；
解得或，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
设，则
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或1，
经检验，或1都是分式方程解，
又∵P为第四象限抛物线上的点，
∴；
（3）坐标轴上存在点F，使得，理由如下：
当F在x轴上时，如图：
由（2）知，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当F在y轴上时，过E作轴于T，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，F的坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、一次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
10．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 . 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段交于点 E，与x轴交于点 F． 连接．

(1)若 ， 求B 点和C 点坐标；
(2)若 求m的值；
(3)若在第一象限内二次函数 的图象上，始终存在一点P，使得 请结合函数的图象，直接写出m的范围．
【答案】(1)，
(2)1
(3)
【分析】（1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标；
（2）由题意得，，，进而可得，推出，连接，由，可得，推出，利用解直角三角形可得，，构建方程，求出即可；
（3）设交轴于点，证明，推出，可得结论．
【详解】（1）当 时，，
令，得，
解得：，，
点在点的左侧，
，
令，得，
；
（2）当时，，
解得：，，
点在点的左侧，且，
，，
当时，，
，
，
，
，
如图1中，连接，
，
，，
，，，
、关于对称轴直线对称，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
经检验，是方程的根，
，
；
（3）如图2，设交轴于点，

当点在第一象限时，点总是在点的左侧，此时，即．
，
，
，
解得：，
又，
同法可得，
，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
(1)求抛物线的关系式；
(2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）当时，，
∴点，
当时，有，
解得：，，
∴点，
∴抛物线的对称轴为：直线
设直线的关系式为，把点B坐标代入，
得：，解得，，
∴直线的关系式为，
由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M，
当时，，
∴时，最小；
（3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∵，,
∴，解得 ，
∴,
设直线的解析式为 ，
∴，解得，
∴直线的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式得
，
解得或 ，
∴；
②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N，

同理得.
综上，存在，点Q的坐标为或
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键.
12．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B与y轴交于点，对称轴为，点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，求m的值，并直接写出的面积；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点C与点Q之间部分（包括点C和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出m的值．
【答案】(1)
(2)当时，，当时，
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，过点P作轴交y轴于E，过点Q作于F，证明，得到，根据题意得到，，则，，则，解得或，再分两种情况求出点Q的坐标，然后求出对应三角形面积即可；
（3）分四种情况讨论，如图所示，当，都在对称轴的左侧时，当，在对称轴两侧时，当点在的右侧时，当的纵坐标小于1时，分别求得，，根据建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点P作轴交y轴于E，过点Q作于F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，，
∴，，
∴，，
∴，
解得或，
经检验，或都符合题意；

在中，当时，解得或，
∴；
当时，，
∴；
当时，点Q的坐标为，
∴
；
综上所述，当时，，当时，；

（3）解： 由题意得，，，
∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为；
如图所示，当，都在对称轴的左侧时，

∴，
，
，
，
，
解得： 或（舍去）；
②当，在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，如图，

则，即，
∴ ，，
，
解得： （舍去）或 （舍；
③当点在的右侧且在直线上方时，如图3，即，
，，
，
解得： 或（舍去）；
④当在直线上或下方时，即时，如图，
，
，
解得：（舍去）或（舍去），
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
13．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，抛物线交x轴正半轴于点A，过顶点作轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，则函数的取值范围是______；
(3)点为右侧第一象限抛物线上一点，过点作轴于点，点为轴正半轴上一点，连接，，延长线交轴于点B，点在轴负半轴上，连接、，若，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据，，得出，代入解析式即可求出
（2）分别根据函数解析式求出顶点函数最大值和取值范围的函数端点值，即可确定在时，函数的取值范围，
（3）根据，在上取点，使，过点作轴于，构造K全等模型，得，，确定直线上点K坐标，由待定系数法求出直线的解析式为，进而确定点B坐标，由，得、、、四点共圆，进而证明，得，即可求出点，从而求出直线的解析式．
【详解】（1）解：抛物线交x轴正半轴于点A，
时，即，
，代入，
得，解得（舍去），
故抛物线的解析式；
（2）解：
时，有最大值，
时，，
时，，
若时，函数的取值范围是；
（3）如图，在上取点，使，过点作轴于，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，，
由可知点，即，
设，由得，
∴点，点，，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
即直线的解析式为，
当时，，
解并检验得：，（负值，不合题意，舍去），（不合题意，舍去）
故，
∴点，，，直线的解析式为，
当时，，即点B坐标为，
∵，，即，
∴、、、四点共圆，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点N坐标为，
线设直线的解析式为，则，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，包括了待定系数法求解析式，解直角三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识点，构造K字型模型，确定解析式，由、、、四点共圆证明是解题关键．
15．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求点A的坐标；
(2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离．
【答案】(1)
(2)最大值为4，此时点D的坐标为；
(3)
【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可；
（2）先求出直线解析式为，同理可得直线解析式为，设，则，，可得，；再证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案；
（3）设，设直线解析式为，可利用待定系数法求出，，同理可得直线解析式为，；如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，可求出，证明，可推出，进而得到；设直线解析式为，联立得，则，据此可得，即直线经过定点；设点D到直线得距离为h，由垂线段最短可得，则当时，h最大，最大值为．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当，解得或，
∴；
（2）解：设直线解析式为，直线交直线于H，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
设，则，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为4，
∴此时点D的坐标为；
（3）解：设，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
同理可得直线解析式为，
如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
联立得，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点；
设点D到直线得距离为h，
由垂线段最短可得，
∴当时，h最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明是等腰直角三角形得到，解（3）的关键是推出直线经过定点．
16．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线交轴于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，轴交于点N，求的最大值；
(3)如图2，在轴上取一点，抛物线沿方向平移个单位得新抛物线，新抛物线与轴交于点，，交轴于点，点在线段上运动，线段关于线段的对称线段所在直线交新抛物线于点，直线与直线所成夹角为，直接写出点的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)有最大值；
(3)点的横坐标为或6或或．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，可得四边形是平行四边形，再由，，推导出，设，，可得，当时，有最大值；
（3）求出平移后的函数解析式为，直线的解析式为，设，当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点；当轴时，直线与直线所成夹角为，求出，可得直线的解析式为，直线与抛物线的交点即为点．
【详解】（1）解：将点，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
，
设直线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
∵轴，
∴，
∵，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
，
，
设，，
，
当时，有最大值；
（3）解：抛物线沿方向平移个单位，
抛物线沿轴负半轴平移2个单位，沿轴正方向平移2个单位，
平移后的函数解析式为，
当时，，
解得或，
，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设，
，
，
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
解得或（舍，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点横坐标为或6；
当轴时，直线与直线所成夹角为，
，，
，
，
，
解得（舍或，
，
直线的解析式为，
当时，解得或，
点的横坐标为或；
综上所述：点的横坐标为或6或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．