中考数学压轴题专项训练专题专题06 二次函数中特殊三角形的存在性 (八大题型)60题专练 学生版+教师版

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通用的解题思路：
特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、
角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
一：等腰三角形的存在性
根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．
解题思路：
（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；
（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．
二：直角三角形的存在性
在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。
解题思路：
（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；
（2）计算出相应的边长等信息；
（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．
三：等腰直角三角形的存在性
既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。
四：相似三角形的存在性
相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：
第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；
要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）
①若有已知的相等角，则其顶点对应；
②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。
第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：
①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；
②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。
题型一：等腰三角形的存在性
1．（2024•运城模拟）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，．
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
（2）当四边形的面积有最大值时，求出的值．
（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024•青岛一模）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点．与轴交于点，，点坐标为，连接、．
（1）请直接写出二次函数的表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）如图2，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标；
（4）若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标．
3．（2024•辽宁一模）如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）．
（1）正方形的边长为 ；
（2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），
求：①点，两点的运动速度为 ；
②关于的函数关系式为 ；
（3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表：
求：的值及关于的函数关系式．
（4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，的面积的值．
4．（2024•康县一模）如图，抛物线与直线相交于，两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把抛物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
5．（2024•澄海区校级模拟）如图，点、在轴正半轴上，点、在轴正半轴上，且，，，过、、三点的抛物线上有一点，使得．
（1）求过、、三点的抛物线的解析式．
（2）求点的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2024•仁和区一模）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接．当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024•即墨区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
8 ．（2023•青海）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
9．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点、两点，顶点为点．
（1）求、的值；
（2）如果点在抛物线的对称轴上，射线平分，求点的坐标；
（3）将抛物线平移，使得新抛物线的顶点在射线上，抛物线与轴交于点，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式．
10．（2024•金州区一模）【概念感知】
两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异族二次函数”．
【概念理解】
如图1，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点为线段的中点，二次函数与是“异族二次函数”，其图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
【拓展应用】
（2）如图2，直线，交抛物线于，，当四边形为平行四边形时，求直线的解析式；
（3）如图3，点为轴上一点，过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，连接，，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
11．（2024•济南一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点的横坐标为，过点作轴于点，与交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，判断点是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）求的最大值；
（4）如果是等腰三角形，直接写出点的横坐标的值．
12．（2024•微山县一模）如图，顶点坐标为的抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）过点作轴于点，交直线于点，连接．在点运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2024•库尔勒市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，并与轴交于另一点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）求点坐标；
（3）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．
①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由；
②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积．
14．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
15．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
（3）过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点．试探究：是否存在常数，使得始终成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
题型二：直角三角形的存在性
16．（2024•安庆一模）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）点为直线上的任意一点，过点作轴的垂线与此抛物线交于点．
①若点在第一象限，连接、，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点，连接，若为直角三角形，请直接写出点坐标．
17．（2024•任城区一模）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
18．（2024•凉州区一模）抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）过点作于点，．
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（2023•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求直线及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
21．（2024•广安二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接，，求四边形的面积的最大值．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024•金山区二模）已知：抛物线经过点、，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点在直线上，且点在轴右侧．
①若点平移后得到的点在轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与轴相交于点，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．

23．（2024•宿豫区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知，，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是抛物线上任意一点，若，求点的坐标；
（3）点是抛物线上任意一点，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标．
24．（2024•双峰县模拟）如图，抛物线与直线相交于，两点，且抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线在第四象限上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点．当时，求点坐标；
（3）若抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，直接写出点的坐标．
25．（2024•滨州一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值
26．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）若点为对称轴上一点，是否存在以，，为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024•荆州模拟）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
题型三：等腰直角三角形的存在性
28．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求出抛物线的解析式和顶点坐标．
（2）点是抛物线对称轴右侧图象上的一点，过点作的垂线交轴于点，作抛物线关于直线对称抛物线，则关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式．
29．（2024•凉州区二模）如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
（1）填空： ， ， ；
（2）在图1中，若点在轴上方的抛物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接、，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024•高唐县一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
（3）若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024•咸丰县模拟）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
（1）求点，，的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
（2）若，求的值．
（3）在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
题型四：相似三角形的存在性
32．（2024•金平区校级一模）如图，二次函数交轴于点和交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，在第一象限有一点，到点距离为2，线段与的夹角为，且，连接，求的长度；
（3）对称轴交抛物线于点，交交于点，在对称轴的右侧有一动直线垂直于轴，交线段于点，交抛物线手点，动直线在沿轴正方向移动到点的过程中，是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
33．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为．当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
34．（2024•亳州一模）已知抛物线经过点和．
（1）试确定该抛物线的函数表达式；
（2）如图，设该抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），其顶点为，对称轴为，与轴交于点．
①求证：是直角三角形；
②在上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点，为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．
（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2024•青海一模）如图，二次函数的对称轴是直线，图象与轴相交于点和点，交轴于点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）点是对称轴上一点，当时，求点的坐标（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
37．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线（其中，我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
38．（2024•安溪县模拟）已知抛物线与轴只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为．
①试问：抛物线上是否存在这样的点，使得？
②若直线与抛物线交于，，，，点关于抛物线的对称轴的对称点记为与不重合），轴交直线于点，直线与直线交于点，求的值．
39．（2024•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，，，其中，且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求面积的最大值；
（3）当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
40．（2024•雁塔区校级四模）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
（1）求此二次函数表达式和点、点的坐标；
（2）点为第四象限内抛物线上一动点，将抛物线平移得到抛物线抛物线，使得抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线交轴于点．是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，请你写出平移过程，并说明理由．
41．（2023•乐至县）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线在第二象限内的点，过点作轴的平行线与直线交于点，求的长的最大值；
（3）点是线段上的动点，点是抛物线在第一象限内的动点，连结交轴于点．是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
42．（2024•恩施市校级一模）如图，抛物线交轴于，，交轴于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上找点，使为以为腰的等腰三角形，求点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于的点，过点作于，使与相似？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2024•阳泉模拟）综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，连接，作直线．
（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的表达式．
（2）如图1，若点是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为，过点分别作轴、轴的垂线，交直线于点，，试探究线段长的最大值．
（3）如图2，若点是二次函数图象上的一个动点，直线与轴交于点，连接，在点运动的过程中，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2024•龙江县一模）综合与探究：
如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），与轴交于点，顶点为，直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点的坐标为 ；
② ；
③点在抛物线上，，则的取值范围是 ；
（3）若点在直线上，且，求的值；
（4）在第四象限内存在点，使与相似，且为的直角边，请直接写出点的坐标．
45．（2023•武汉）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
46 ．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，和点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点，在轴正半轴上，，点在线段上，．以线段，为邻边作矩形，连接，设．
①连接，当与相似时，求的值；
②当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到△，点，的对应点分别为、，连接．当△的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标．
47．（2024•济南模拟）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，直线，点在抛物线上，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式和，的值；
（2）如图1，过点作轴的垂线与直线交于点，过点作，垂足为点，若，求的值；
（3）如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
48．（2024•锡山区一模）如图，抛物线交轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，其中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为线段上方抛物线上一动点，过点作于点，若，求点的坐标；
（3）过线段上的点作轴的垂线交抛物线于点，当与相似时，点的坐标为

49．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点为第一象限内抛物线上一动点，连接，交直线于点，连接，如图2所示，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）若点为对称轴上一点，是否存在以，，为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2024•荆州模拟）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个“”形状的图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．
51．（2024•平凉一模）如图，抛物线经过点，点，交轴于点．连接，．为上的动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）过点作，垂足为，设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
（3）点在运动过程中，是否存在一点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
52．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交于点，连接，，．的面积记为，的面积记为，当时，求的值；
（3）在（2）的条件下，点在抛物线上，直线与直线交于点，当与相似时，请直接写出点的坐标．
53．（2024•茌平区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是的中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
54．（2024•海勃湾区校级模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
（1）分别求出，的值和直线的解析式；
（2）直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
（3）在（2）的条件下，如图2，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
55．（2024•凉州区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
56．（2024•香洲区校级一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：锐角三角形的存在性
57．（2024•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过、两点．点为抛物线上一点，且点的横坐标为．（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）点为抛物线对称轴上一点，连结，，求周长的最小值；
（3）已知点，连结，以为对角线作矩形，且矩形各边垂直于坐标轴．
①抛物线在矩形内的部分图象随增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求的值；
②连结，设的中点为，当以、、为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出的取值范围．
题型六：钝角三角形的存在性
58．（2024•绿园区一模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，其横坐标为．点是平面直角坐标系中的一点，其坐标为．点是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点恰好落在抛物线上，且点不与点重合时，求线段的长；
（3）连结、、，当是钝角三角形时，求的取值范围；
（4）当时，连结并延长交抛物线的对称轴于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连结、、．当折线与抛物线有两个交点（不包括点时，设这两个交点分别为点、点，当四边形（或四边形的面积是四边形的面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值．
题型七：全等三角形的存在性
59．（2024•南丹县一模）如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为点．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，且位于轴上方，横坐标为，连接，
若，求的值；
（3）如图2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．
题型八：等边三角形的存在性
60．（2024•南康区模拟）如图，已知抛物线与直线相交于，．
（1） ；
（2）抛物线随其顶点沿直线向上平移，得到抛物线，抛物线与直线相交于，（点在点左边），已知抛物线顶点的横坐标为．
①当时，抛物线的解析式是 ， ；
②连接，，当为等边三角形时，求点的坐标．
61．（2023•恩施州）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．
（1）如图，若，抛物线的对称轴为．求抛物线的解析式，并直接写出时的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若为轴上的点，为轴上方抛物线上的点，当为等边三角形时，求点，的坐标；
（3）若抛物线经过点，，，且，求正整数，的值．
62．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．
（1）求此抛物线的函数表达式及顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
（3）已知点在抛物线的对称轴上，点的坐标为，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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