广东省华附、省实、广雅、深中2024_2025学年高二下册四校期末联考数学试卷【附解析】

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本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A.B.C.D.
2.“”是“”（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知向量，，向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A.B.C.3D.－3
4.已知数列的前项和，，则的值为（ ）
A.B.C.D.
5.函数的极小值点是（ ）
A.B.C.D.
6.若随机事件满足，，，则（ ）
A B.C.D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ）
A.B.C.D.
8.若曲线()与圆有公共点，且在点处的切线相同，则（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9.已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A.B.的虚部为
C.对应的点位于复平面的第三象限D.
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.关于中心对称B.关于直线对称
C.的最小正周期为D.的最大值为
11.统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度.已知10个数的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是（ ）
A.标准差为0B.众数为3C.极差为5D.方差为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有_______种.
13.随机变量服从正态分布，若函数偶函数，则_______________.
14.已知正四面体的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
16.如图，矩形和菱形所在平面相互垂直，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求，，求直线与面所成角的正弦值.
17.已知函数的定义域为，导函数为，满足，.
（1）讨论函数()在上的单调性，并证明：；
（2）求函数的图象与函数的图象的交点个数.
18.已知两点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为曲线.两个不同点在上运动，满足直线与直线的斜率之比是.
（1）求曲线的方程；
（2）直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；
（3）证明：三角形是钝角三角形.
19.在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为，输的概率为，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.
（1）若，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；
（2）记“局胜”()制游戏中甲获得最终胜利的概率为，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为，证明：；
（3）教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有支，黄粉笔有支(且)，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完概率为，证明：.