2024-2025学年广东省深圳市某校高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市某校高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
B. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C. 若m//n，n⊂α，则m//α
D. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
2.2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为( )
A. 12盏B. 24盏C. 36盏D. 48盏
3.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型Y=bx+a+e,E(e)=0,D(e)=σ2得到经验回归模型y​=b​x+a​，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是( )
A. B.
C. D.
4.函数f(x)=lnx−12x2的单调递增区间为( )
A. (−∞,−1)与(1,+∞)B. (0,1)∪(1,+∞)
C. (0,1)D. (1,+∞)
5.某市计划开展“学两会，争当新时代先锋”知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士，并从中随机选取4人组成代表队参赛.在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下，党员甲被选中的概率为( )
A. 12B. 1115C. 713D. 27
6.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，下列说法错误的是( )
A. 恰有一个空盒，有324种放法
B. 把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有12种放法
C. 有256种放法
D. 每盒至多两球，有204种放法
7.若半径为2 3的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为( )
A. 48πB. 56πC. 96πD. 112π
8.若点P是曲线y=ex+x+a上任意一点，且点P到直线y=2x的距离的最小值 5，则a的值为( )
A. 0B. 4C. −6D. 4或−6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示．
根据表中的数据可得回归直线方程为y =0.5x+2.3，则以下正确的是( )
A. m=4.8B. 相关系数r>0
C. 第8年的利润预计大约为8.3亿元D. 第6个样本点的实际值比预测值小0.1
10.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量ξ～N(2,σ2)，且P(ξ0时，解得0f(x1)，
因为1≤x1f(x1)，即f(x)=ex−mx在[1,e]上单调递增，求导分析即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】y=−12x+1．
极小值π6− 32+1，无极大值．
【解析】(1)由于函数f(x)=12x−sinx+1，因此f(0)=12×0−sin0+1=0−0+1=1，切点为(0,1)，
由于导函数f′(x)=12−csx，因此k=f′(0)=12−cs0=12−1=−12，
根据直线的点斜式方程，得切线为y−1=−12x，即y=−12x+1．
(2)根据第一问可知，有导函数f′(x)=12−csx，
当x∈[0,π]时，令导函数f′(x)=12−csx=0，得x=π3，
当x变化时，导函数f′(x)和函数f(x)的变化情况如下表：
因此当x∈[0,π]时，函数f(x)无极大值，有极小值f(π3)=12×π3−sinπ3+1=π6− 32+1．
(1)对f(x)求导，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，并求出切点坐标，利用点斜式，即可求解；
(2)先求出导数为0的x的值，即为极值点，然后进行讨论，根据f′(x)>0的区间是单调增区间，f′(x)2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生使用的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
(2)(ⅰ)设抽取的三人中男生的人数为X，易知10名周末使用手机6小时及以上的同学中有7名男生，3名女生，
所以X的所有可能取值为0、1、2、3，
且X服从超几何分布：P(X=1)=C71C32C103=740，
则恰好抽中1名男生的概率为740；
(ⅱ)由题意得，Y的所有可能取值为1、2、3，
则P(Y=1)=C5153=125，P(Y=2)=C52C21C3253=1225，P(Y=3)=A5353=1225，
则Y的分布列如下：
所以E(Y)=1×125+2×1214+3×1225=125+127+3625=6125．
(1)完善2×2列联表，提出零假设H0：性别与使用手机情况独立，计算出χ2的观测值，结合临界值表可得出结论；
(2)(i)利用超几何分布的概率公式求解即可；
(ii)由题意得，Y的所有可能取值为1、2、3，计算出随机变量Y在不同取值下的概率，可得出随机变量Y在不同取值下的概率，可得出随机变量Y的分布列，进而可求得E(Y)的值．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)及分布列，属于中档题．
18.【答案】证明见解析； 5π6； 存在|BQ|=46 2±2 3307．
【解析】(1)证明：如图，以A为原点，AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

依题意，得A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(4,4,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)，E(0,4,2)，
取PC的中点M，连接EM，则M(2,2,2)，EM=(2,−2,0)，BD=(4,−4,0)，
所以BD=2EM，则BD//EM，又EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，
所以BD/​/平面PEC．
(2)取PD中点F，则F(2,0,2)，又AD=AB=PA，则AF⊥PD，
由AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，
则AB⊥平面PAD，
由CD/​/AB，则CD⊥平面PAD，AF⊂平面PAD，故CD⊥AF，
由PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，
所以AF⊥平面PCD，
故AF=(2,0,2)为平面PCD的一个法向量．
设平面PCE的法向量n=(x,y,z)，且PC=(4,4,−4)，PE=(0,4,−2)，
则n⊥PCn⊥PE，所以n⋅PC=0n⋅PE=0，即4x+4y−4z=04y−2z=0，
令y=−1，得n=(−1,−1,−2)．
所以cs〈AF,n〉=−2−0−42 2× 6=− 32，
由图，二面角D−PC−E为钝二面角，
所以二面角D−PC−E的大小为5π6．
(3)设 BQ=λBD，由(2)可知二面角D−PC−E的大小为β=5π6，α+β=π．
所以直线PQ与直线CE的夹角为α=π6，
B(0,4,0)，D(4,0,0)，则 Q(4λ,4−4λ,0)，PQ=(4λ,4−4λ,−4)，CE=(−4,0,2)．
csα=|PQ⋅CE||PQ|⋅|CE|=|−16λ−8| (4λ)2+(4−4λ)2+(−4)2⋅ 20= 32，
化简可得7λ2−23λ+13=0，
解得 λ=23± 16514，
此时 |BD|=4 2，BQ=λBD
即存在点 Q，|BQ|=23± 16514×4 2=46 2±2 3307．
(1)建立空间直角坐标系，取PC的中点M，利用向量的坐标公式计算可得BD=2EM即可得出结果；
(2)通过求两个平面法向量，利用向量法计算即可求得二面角的大小；
(3)设BQ=λBD，结合异面直线夹角与二面角的向量公式，通过等式α+β=π转化为向量夹角余弦关系，求解参数λ，进而得|BQ|．
本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于难题．
19.【答案】当a≥0时，f(x)在R上单调递增，
当a0恒成立，f(x)在R上单调递增，
当a0，f(x)单调递增，
在(ln(−1a),+∞)上f′(x)0，
则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x→0时，ℎ(x)→−∞；又ℎ(14)>0，
所以存在x0∈(0,14)，使得ℎ(x0)=0，即2x0+lnx0+1=0，(∗)
所以在(0,x0)上，ℎ(x)0，g(x)单调递增，
所以g(x)≥g(x0)=x02+x0lnx0，
由(∗)可得lnx0=−2x0−1，
所以g(x0)=x02+x0lnx0=x02+x0(−2x0−1)=−x02−x0=−(x02+x0)=−(x0+12)2+14，x0∈(0,14)，
所以g(x0)∈(g(14),g(0))，即g(x0)∈(−516,0)，
所以g(x)>−516．
(3)因为g(x)≥f(x)，
所以x2+xlnx≥ax−e−x，
所以x2+xlnx+e−x≥ax，
所以x+lnx+1xex≥a，
所以lnxex+1xex≥a，
令t(x)=xex，x>0，
t′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以t(x)在(0,+∞)上单调递增，即t(x)>t(0)=0，
令ℎ(t)=lnt+1t，t>0，
ℎ′(t)=1t−1t2=t−1t2，
令ℎ′(t)=0，得t=1，
所以在(0,1)上，ℎ′(t)0，ℎ(t)单调递增，
所以ℎ(t)≥ℎ(1)=1，
所以a≤1，
所以a的取值范围为(−∞,1]．
(1)求导分情况讨论f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
(2)求导分析单调性，最值，即可得出答案．
(3)根据题意可得lnxex+1xex≥a，则只需a≤(lnxex+1xex)min，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．第x年
1
2
3
4
5
6
7
利润y(亿元)
2.9
3.3
3.6
4.4
m
5.2
5.9
周末使用手机时长(ℎ)
0
1
2
3
4
5
6
≥7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
使用手机
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
x
[0,π3)
π3
(π3,π]
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
性别
使用手机
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
1
2
3
P
125
1225
1225