江西省宜春中学2024_2025学年高一下册7月期末考试数学试卷【附解析】

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，则可能为（ ）
A.第一或二象限角B.第二或三象限角
C.第一或三象限角D.第三或四象限角
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限.
【详解】因为，所以或，
所以可能为第一象限角或第二象限角．
故选：A．
2.“且复数”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】复数属于实数，则虚部为0，根据条件求出参数，判断正确选项.
【详解】，虚部，解得，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
3.已知向量，，若，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行列出等式结合二次函数性质即可求解.
【详解】若，则，
当时，有最小值为.
故选：A
4.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和周期性的性质，判断即可.
【详解】A中，
故是最小正周期为的偶函数，不符合题意，A错误；
B中的最小正周期，且，
故是最小正周期为的奇函数，B正确；
C中是偶函数，但不是周期函数，其图象大致如下：
不符合题意，C错误；
D中是周期为的奇函数，D错误.
故选：B.
5.某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角.
【详解】设圆锥的高为，则，解得，母线长为，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．
故选：D．
6.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支、把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对酉，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戌、乙对亥、…，接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2025年是乙巳年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（ ）
A.戊巳年B.己巳年C.戊午年D.己辰年
【答案】B
【解析】
【分析】由题意2025年是乙巳年，则2049年的天干为己，地支为巳，即可得出答案.
【详解】由题知天干以10为周期，地支以12为一个周期，2025年是乙巳年，
而，
地支恰好经过两个周期，天干经过两周期多四年，
所以2049年天干为己，地支为巳.
故选：B.
7.已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可.
【详解】∵设，，所以为奇函数.
易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增.
因不等式，即得，
所以，所以，
因为函数的定义域为，所以且，
所以，
又函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：A.
8.已知函数最大值为2，若在区间上有2个零点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据差角的正余弦公式及降幂公式将化简，再由最大值求出值，进而得到的解析式，通过换元，把在区间上有2个零点，转化为在区间上有2个零点，再结合图象，得到的范围，即可得到的取值范围.
【详解】
，
所以当时，取到最大值，
解得，所以.
令，
在区间上有2个零点，
即在区间上有2个零点，
，解得.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知且，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】AB
【解析】
【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D.
【详解】由，得，所以，A正确；
因为，所以，，则，
而，得出或，
若，则，与矛盾
故，故C错误；
，B正确；
，D错误．
故选：AB
10.函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.的图象关于直线对称
B.的图象向左平移个单位长度后得到函数
C.的单调递增区间为
D.若方程在上有且只有6个根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断.
【详解】由图可知，且经过，故可得，
由①，结合，则得，代入②，化简得，即，
由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即.
对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误；
对于C，因，
由，可得，
即的单调递增区间为，故C正确；
对于D，由可得，设，因，则，
依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下：
由图知，需使，解得，故D正确.
故选：ACD.
11.在直三棱柱中，，则（ ）
A.异面直线与所成的角为
B.若点在线段上运动，则的最小值为
C.点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线，则点的轨迹长度为
D.若分别为的中点，则平面截三棱柱所得截面的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可证平面，继而可得，A错；路径问题，沿展开平面即可求解；由题知点为平面与侧面的交线；根据截面问题作出截面，然后求各边长即可.
【详解】
在直三棱柱中，，，
又,平面平面，
又平面，，
又，，异面直线与所成的角为，故A错误；
平面沿展开到平面中，如图，

∵，
∴，，故展开图为矩形，
（当在连线上时取等），故B正确；
点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线，
所以点的轨迹为平面与侧面的交线，长度为，故C正确；
分别为的中点，在平面中，延长交于，连接交于，连接，故四边形为所求截面，如图，
∵为的中点，∴为的中点，
∵为的中点，∴为的重心，，
，
，，
所以截面周长为，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.计算______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
13.已知复数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘方进行计算，找出规律，然后根据共轭复数的概念即可得到结果.
【详解】因为；；；，
所以，
那么，所以．
故答案为：.
14.如图，三棱锥的底面的斜二测直观图为，已知底面，，，，则三棱锥外接球的体积______．
【答案】##
【解析】
【分析】先由斜二测画法得，再结合底面求出外接球半径，即可求解.
【详解】
由题意得，且．所以由斜二测画法得，在原图中，，，，
所以三棱锥外接球的半径，则．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知平面向量，满足：，，．
（1）求；
（2）当时，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解；
（2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解.
【小问1详解】
因为，，，则，
又因为，所以．
【小问2详解】
因为，则，
可得，
即，解得.
16.已知角α的终边经过点．
（1）求，，值；
（2）求的值；
（3）已知α、β是锐角，且满足，求的值．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）应用三角函数的定义计算求解；
（2）应用诱导公式结合弦化切计算求值；
（3）应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值.
【小问1详解】
由三角函数的定义：，，
【小问2详解】
原式
【小问3详解】
因为α，，所以
因为，所以，
所以
所以
17.电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如表所示.
经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”如图所示，且图中所示的酒精含量（单位：）随时间（单位：h）变化的函数模型可表示为，根据上述条件：
（1）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计；参考数据：，）
【答案】（1）1.5小时，最大值是53毫克/百毫升.
（2）6小时
【解析】
【分析】（1）分别求出两段函数的最值，再进行比较即可求出的最大值；
（2）解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，故当时，即时，；
当时，在上单调递减，
故.
综上，，
所以，喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是53毫克/百毫升.
【小问2详解】
当时可以驾车，且，
因，故，
令，得，即，得
因，则的最小值为6，
故喝1瓶啤酒后6小时才可以驾车.
18.如图1，在等腰梯形中，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中.
（1）证明：平面.
（2）若，求三棱锥的体积.
（3）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可证，再利用勾股定理证得，最后利用直线与平面垂直的判定定理即可得证.
（2）取的中点，证明即为三棱锥的高，再利用体积公式即可求解.
（3）利用（2）中的垂直关系作出二面角的平面角，可求解.
【小问1详解】
如图1，在梯形中，取边的中点，连接，
，，，，
四边形是平行四边形，，
，， ，
，且，所以，
，平面平面，且，
平面.
【小问2详解】
如图2，取的中点，连接，
由（1）可知平面，且平面，则平面平面，
，且为线段的中点，，
平面平面，平面，平面，
，，，
，，，
三棱锥的体积.
【小问3详解】
如图2，过作，垂足为，取的中点，连接，
则，从而，
由（2）知平面，平面，，
又，平面，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角，
设，，，，，
则，
又，.
19.定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”．
（1）设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围．
（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且．
（ⅰ）若，求AD的长；
（ⅱ）求AD长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解析】
【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简，即可求出，再得到，依题意，且，不同向，即可得到不等式组，解得即可；
（2）（ⅰ）首先得到解析式，即可求出，再由正弦定理求出，再由等面积法计算可得；（ⅱ）由得到，从而转化为的三角函数，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以．由，得．
因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向，
则，解得且，
故实数的取值范围为．
【小问2详解】
因为向量的“跟随函数”为，
所以．
又，所以，因为，则，
所以，所以．
又，所以由正弦定理可得，
则，．
（ⅰ）因为，所以．
由余弦定理得，
即，则．
所以，
．
由，可得，则．
（ⅱ）由，可得，
则．
因为，所以，
则．
令，则，由，得，
则．
由，可得，显然函数在上单调递增，
故长度的取值范围为．
驾驶行为类别
阈值
饮酒驾车
醉酒驾车