湖南省永州市宁远县第二中学2024_2025学年高二下册7月期末考试数学检测试卷[有解析]

这是一份湖南省永州市宁远县第二中学2024_2025学年高二下册7月期末考试数学检测试卷[有解析]，共20页。试卷主要包含了5C，证明等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2．有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 6.5
3．在等比数列中，，，前项和，则此数列的项数等于（ ）
A. B. C. D.
4．有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ）种停放方法．
A. 72B. 144C. 108D. 96
5．已知，则（ ）
A. 3B. C. D. 2
6．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ）

A. B. C. D.
7．已知是的重心，是空间中的一点，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
8．已知正数满足为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
10．若函数，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 的图像关于直线对称
C. 的最小值为-1
D. 的单调递减区间为
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在上单调递减
D. 将函数图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合，，则___________.
13．已知的展开式中的系数为240，则实数______．
14.若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
16.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.点P在底面的射影点Q在线段AC上.
(1)在图中过A作平面PCD的垂线段,H为垂足,并给出严谨的作图过程;
(2)若PA=PD=2.求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值.
17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
18,某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.
(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;
(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
19,设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明:g(x)b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
解析 (1)由已知条件可知b=c=2,∴a=2,
∴椭圆E的方程为x24+y22=1,离心率e=ca=22.
(2)设直线AB的方程为y=kx+t(t>2),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立y=kx+t,x24+y22=1,消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0,
Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0,
x1+x2=−4kt2k2+1,x1x2=2t2−42k2+1.
∵直线BD的斜率为0,∴点B与点D关于y轴对称,
得D(-x2,y2),∵A、C、D三点共线,∴kAC=kCD,
即y1−1x1=−y2−1x2,∴(kx1+t-1)x2=-x1(kx2+t-1),
∴2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0,
∴2k(2t2−4)2k2+1+(t−1)·(−4kt)2k2+1=0,
∴t2-t=t2-2,解得t=2.
18,某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1 000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.
(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;
(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.
解析 (1)由问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,
得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,
1 000×0.2=200,
所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.
(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=15,
X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,15,
则P(X=0)=C301501−153=64125,
P(X=1)=C311511−152=48125,
P(X=2)=C321521−151=12125,
P(X=3)=C331531−150=1125,
所以X的分布列为
X的数学期望为E(X)=3×15=35.
19,设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函数g(x)=x+f(x)xf(x).证明:g(x)0在(-∞,0)∪(0,1)上恒成立.
∴g(x)