高中数学人教版新课标B选修2-3基本计数原理教案设计

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-3基本计数原理教案设计，共4页。教案主要包含了教学目标，导入新课等内容，欢迎下载使用。
理解两个原理，并会应用解题；
掌握排列组合的概念并且会灵活运用；
掌握二项式定理的内容和熟练运用解题。
【导入新课】
复习回顾：1.加法原理与乘法原理；
2.排列和排列数的概念、组合与组合数的概念，以及灵活运用解题；
3．二项式定理的内容。
新授课阶段
主干知识梳理
1．分类计数原理和分步计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘。
2．排列与组合
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,(n－m)！)。
(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或写成Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！(n－m)！)。
(3)组合数的性质
①Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；
②Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)。
3．二项式定理
（1）定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)anb0＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)a0bn(r＝0,1,2，…，n)。
（2）二项展开式的通项
Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中Ceq \\al(r,n)叫做二项式系数。
（3）二项式系数的性质
eq \\ac(○,1)对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等。
即C。
②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。
③各二项式系数的和
a．Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
b．Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(2r,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(2r＋1,n)＋…＝eq \f(1,2)·2n＝2n－1。
典例分析
题型一 两个计数原理
例1、如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有（ ）
A．180种 B．240种
C．360种 C．420种
题型二 排列与组合
例2 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内。
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？[来源:.Cm]
题型三 求二项展开式的通项、指定项
例3 设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N*)。
（1）求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
（2）当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数。
探究提高 二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决。在应用通项公式时，要注意以下几点：
（1）它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
（2）Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
（3）公式中a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；
（4）要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；
（5）对二项式(a－b) n展开式的通项公式要特别注意符号问题。
题型四 二项式定理中的“赋值”问题
例4 若(1－2x) 2 011＝a0＋a1x＋…＋a2 011x2 011(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 011,22 011)的值为________。
探究提高 在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法。
例5 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为________种。(用数字回答)
例6 已知(eq \r(x)＋eq \f(3,\r(3,x)))n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则(1－x)n的展开式中系数最小的项是第________项。
课堂小结
1．排列、组合应用题的解题策略
（1）在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”还是“分步”的具体标准是什么。
（2）区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关。
（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法。
2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：
一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值。这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解。
另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：
(1)Ceq \\al(r,n)an－rbr是第r＋1项，而不是第r项；
(2)运用通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr解题，一般都需先转化为方程(组)求出n、r，然后代入通项公式求解；
(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求出所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系。
课堂练习
1、如图所示为一电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电。
2、 (1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？
(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？
3、(1＋x＋x2)(x－eq \f(1,x))6的展开式中的常数项为________。