【数学】天津市红桥区2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】天津市红桥区2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】B
【解析】根据题意，由分层抽样知识可得：
在高二年级的学生中应抽取的人数为：，
故选B．
2. 从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵取得红球与取得白球为对立事件，
∴取得白球的概率P＝.
故选：C.
3. 从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为
，设学生测试成绩的平均数，中位数，众数分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】平均数，
数据从小到大排列为：，第五个数为79，第六个数为81，所以中位数，
出现次数最多的是众数，所以众数，
所以.
故选：C.
4. 有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）.
A. 至多有1次中靶B. 2次都中靶
C. 2次都不中靶D. 只有1次中靶
【答案】C
【解析】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.
故选：C.
5. 某商场在今年端午节的促销活动中，对6月9日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（ ）
A. 万元B. 万元
C. 万元D. 万元
【答案】C
【解析】由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为 （万元），又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为万元．
6. 在数列中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
则，，，.
故选：A.
7. 已知为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，则的前n项和，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设公差为，根据题意有：，
所以.
故选：A.
8. 已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A. 4B. 8C. 12D. 16
【答案】D
【解析】设等差数列公差为，∵，
∴当时，，解得，∴，
当时，，
∴，∴．
故选：D．
9. 将数字，，，填入标号为，，，的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均互不相同的填法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】第一步：先把数字填入方格中，符合条件的有种方法，
第二步：把第一步中数字填入的方格的序号所对应数字填入剩下的三个方格其中之一，
又有种方法，
第三步：填余下的两个数字，只有种填法，共有种填法.
故选：B.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
10. 已知为等差数列，若，则______.
【答案】6
【解析】因为为等差数列，则，则.
11. 已知为等比数列，若，，则______.
【答案】
【解析】因为为等比数列，所以
12. 甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．
【答案】
【解析】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码概率，
故该密码被成功破译的概率．
13. 在展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【解析】的展开式的通项为，
令，解得，所以的系数是.
14. 观察下列各式：

……
照此规律，当nN时，
______________.
【答案】
【解析】 由已知等式观察知：第一个式子，左边一项，下标为,上标为，右边为；第二个式子，左边两项，下标为,上标依次为，右边为；第三个式子，左边三项，下标为,上标依次为，右边为；第四个式子，左边四项，下标为,上标依次为，右边为；……照此规律，当时,,.
15. 某学校准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级十个班的学生组成，每个班至少一人，名额分配方案共______种(用数字填写).
【答案】24310
【解析】构成一个隔板模型，取18个棋子排成一排，在相邻的每两个棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板，这样就把18个元素分成10个区间， 第个区间的棋子个数对应第个班级的学生名额， 因此，名额分配方案的种数与隔板插入数相等，
因隔板插入数为，
所以名额分配方案共有24310种.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知展开式的二项式系数和为64.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为20，求m的值.
解：（1）因为展开式的二项式系数和为，所以；
（2）因为展开式中的通项公式为，
整理得，
令，得，
则，解得.
17. 已知是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，是公比大于0的等比数列，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和为.
解：（1）因为等差数列的公差，且，
所以，解得，所以，
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
解得(舍去)，或，所以.
（2）由（1）得，
所以.
18. 已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
（3）若的前项和为，求证：.
解：（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，所以.
（2）因为，
所以，
则，
两式作差得：，
则，整理.
（3）因为的前项和，
则，，
又，
所以.
19. 设数列的前n项和为，已知，，.
（1）求的值；
（2）求证：为等差数列；
（3）证明：对一切正整数n，有.
（1）解：因为，，
所以当时，，
又，所以；
（2）证明：因为，，
所以 ①，
所以当时， ②，
由①-②，得，
因为，所以，
所以（），又满足（），
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列；
（3）证明：由（2）知，所以，
①当时，，原不等式成立，
②时，，所以原不等式成立，
③当时，因为，
所以，
所以
，
当时，所以原不等式成立，
综上，对一切正整数n，有.