天津市红桥区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（Word版附解析）

高二数学

本试卷分第I卷(选择题)和第I卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

1.请将试卷答案写在答题纸上；

2.本卷共8题，每题3分，共24分.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知是等差数列，，，则公差为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.

【详解】，.

故选：B.

2. 已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列求和公式直接求解即可.

【详解】由等比数列求和公式得：.

故选：C.

3. 若数列的前项和，则下列结论正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用与关系，可得答案.

【详解】当时，，

当时，，

经检验，可得.

故选：D.

4. 直线被圆截得的弦长为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，利用垂径定理可求得弦长.

【详解】由圆的方程可得：圆心，半径，

圆心到直线距离，直线被圆截得的弦长为.

故选：B.

5. 抛物线的准线方程是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，直接写出抛物线准线方程作答.

【详解】抛物线的准线方程是.

故选：D

6. 已知是2与8等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率．

【详解】由已知，，

当时，方程为，曲线为椭圆，，，离心率为；

当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为．

故选：C．

7. 设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而得到，利用抛物线焦半径公式和抛物线方程可得点坐标，利用两点间距离公式可求得结果.

【详解】由抛物线方程得：，则，

设，，解得：，，

.

故选：C.

8. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（）

A B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为，

所以，故，

又，则

故选：C.

第II卷

1.请将试卷答案写在答题纸上；

2.本量共76分.

二、填空题:本大题共6个小题，每小题4分，共24分

9. 已知是等比数列，，则公比______．

【答案】

【解析】

【分析】根据等比数列的性质：，即可求出结果.

【详解】因为是等比数列，所以，所以．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，数列掌握等比数列性质，是解决本题的关键，属于基础题.

10. 若直线过两点，，则此直线的斜率是__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据两点连线的斜率公式直接求解即可.

【详解】直线斜率.

故答案为：.

11. 以点为圆心，与直线有且只有一个公共点的圆的方程为_________.

【答案】

【解析】

【分析】由直线与圆相切求出半径即可求解

【详解】由题意可知以点为圆心的圆与直线相切，

所以半径为，

所以所求圆的方程为，

故答案为：

12. 双曲线的焦距等于_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线方程可得，由双曲线关系可求得焦距.

【详解】由双曲线方程知：，，，则双曲线焦距为.

故答案为：.

13. 椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据椭圆的定义即可求解.

【详解】由可得，所以，

由椭圆的定义可得，

所以，

故答案为：.

14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________

【答案】3

【解析】

【详解】分析：设塔顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．

详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，

∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.

点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.

三、解答题:本大题4个小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知直线经过点．

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若的方程是，直线与相切，求直线的方程．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直可设直线方程，求出参数即可.

（2）根据直线l的斜率是否存在分为两类，然后利用直线和圆相切的位置关系可知点到直线的距离等于半径便可求得.

【小问1详解】

解：由题意得：

因为直线l与直线垂直，故设直线l的方程为

因为直线l过点，所以，解得．

所以直线l的方程为．

【小问2详解】

的方程化为标准形式是，

圆心，半径，

当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，

圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，

由直线l与相切，得，解得，

所以直线l的方程是，即．

综上所述，直线l的方程是或．

16. 在①；②，；③，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.

问题:已知为等差数列的前项和，若__________.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）若选①，利用与关系可推导得到；若选②，利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，进而得到；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差，进而利用等差数列通项公式求得；

（2）由（1）可得，采用裂项相消法可求得.

【小问1详解】

若选条件①，当时，；

当且时，；

经检验：满足；

；

若选条件②，设等差数列的公差为，则，

解得：，；

若选条件③，设等差数列的公差为，则，

解得：，.

小问2详解】

由（1）得：，

.

17. 设椭圆的离心率，过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，当时，求的值.(为坐标原点)

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据离心率、椭圆的关系和椭圆所过点可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根据垂直关系可得，利用向量数量积坐标运算和韦达定理结论可构造方程求得结果.

【小问1详解】

离心率，，，

椭圆方程为，又椭圆过点，，解得：，

，，椭圆的方程为：.

【小问2详解】

由得：，

则，解得：；

设，，，，

，，

解得：，均满足，.

18. 若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且.

（1）若成等比数列，求的值；

（2）当时，求数列的前21项和.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据递推公式，用分别表达，再结合成等比数列，即可求得结果；

（2）根据递推公式，求得，再根据分组求和法以及等差数列的前项和公式，即可求得结果.

【小问1详解】

根据题意可得，又，故可得，

又成等比数列，故，即，解得（舍）或，故.

【小问2详解】

当时，，则，

两式作差可得：，故该数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，则，

故

.

故数列的前21项和.