四川省2024_2025学年高一数学下学期3月月考试卷含解析

这是一份四川省2024_2025学年高一数学下学期3月月考试卷含解析，共15页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用 0，考试结束后，只将答题卡交回， 已知 ，则 的值等于， 设 是方程 的两根，且 ，则， 下列叙述中错误的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答案无效.
5.考试结束后，只将答题卡交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知向量 若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据 即可得出 ， 解出 即可.
【详解】 ，∴
∴ .
故选： C.
2. 已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A. B. C. 7 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正切函数定义求出 ，利用两角和的正切公式求解.
【详解】由题意，可得 ，
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.
故选：B.
3. 在 中，设 ，若 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件结合向量的线性运算即可得答案.
【详解】在 中， ；①
在 中， ；②
①+② ，得
因为 ，所以 ，
即
故选：D.
4. 已知向量 和 满足 与 的夹角为 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方法即可求解.
【详解】由题意， .
故选：D.
5. 已知 ， ， ，则（ ）
A. A、B、D 三点共线 B. A、B、C 三点共线
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C. B、C、D 三点共线 D. A、C、D 三点共线
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的加法法则，得到 ，从而可得结论.
【详解】 ， ， ，
， ， 与 共线，
因为两向量有一个公共点 B， 、B、D 三点共线，故 A 正确．
由 ， ，可得 ，
所以不存在 使得 ，故 A、B、C 三点不共线，故 B 不正确；
由 ， ，可得 ，
所以不存在 使 ，故 B、C、D 三点不共线，故 C 不正确；
因为 ， ，
所以 ，
又 ，可得 ，
所以不存在 使 ，故 A、C、D 三点不共线，故 D 不正确；
故选：A.
6. 已知 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两角和的正弦公式展开，再两边同时平方结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】∵ ，∴ ， ，
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即 ，
两边同时平方可得， ，
所以 .
故选：D.
7. 设 是方程 的两根，且 ，则 （ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用韦达定理求出 ，再利用两角和的正切公式求出 ，即可得
解.
【详解】因为 是方程 的两根，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
则 ，
所以 .
故选：B.
8. 已知函数 ，将函数 向右平移 个单位后得到一个奇函数的图象，
则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】对 进行化简，然后根据平移规则得到平移后的解析式，再根据奇函数的特点，求出 的值.
【详解】由 ，
向右平移 个单位后得到
因 为奇函数，所以 ，
所以 ，得 ，
即
因为 ，所以 的最小值为 ，
故选 B 项.
【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，函数的平移，奇函数和正弦型函数的性质，属于简单题.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】利用共线向量定理或坐标运算判断 是否共线.
【详解】对于 A， ， ，设存在 使得 ，即 ，明显不可能，则
不共线，所以可以作为一组基底，故 A 错误；
对于 B，假设 ， 共线，则 ，明显不可能，则 不共线，所以可以作为
一组基底 ，故 B 错误；
C.因 ，则 共线，所以不可以作为一组基底，故 C 正确；
D. 因 ，则 共线，所以不可以作为一组基底，故 D 正确；
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故选：CD.
10. 下列叙述中错误的是（ ）
A. 已知非零向量 与 且 ，则 与 的方向相同或相反
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 对任一非零向量 ， 是一个单位向量
【答案】BC
【解析】
【分析】根据共线向量的定义即可判断 A；根据向量的定义即可判断 B；根据零向量与任意向量共线即可判
断 C；根据单位向量的定义即可判断 D.
【详解】对于 A，两个非零向量共线，则它们的方向相同或相反，故 A 正确；
对于 B，向量无法比较大小，故 B 错误；
对于 C，若 是零向量，则不成立，故 C 错误；
对于 D，对任一非零向量 ， 是一个与 方向相同且模长为 1 的单位向量，故 D 正确．
故选：BC．
11. 如果平面向量 ， ，那么下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. 与 的夹角为 D. 在 上的投影向量的模为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及投影向量的公式求解即
可.
【详解】对于 A， ，则 ，所以 A 错误；
对于 B， ，则 不平行，所以 B 错误；
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对于 C， ，又 ，则 ，所以 C 错误；
对于 D， 在 上的投影向量的模为 ，所以 D 正确.
故选：ABC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 ，向量 ， ，且 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量垂直坐标表示可得答案.
【详解】因 ， ， ，则 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先利用诱导公式得 ，再化 为 ，结合二倍角公式构造齐次式、由弦化
切，即可求解.
【详解】∵ ，则 ，
∴ .
故答案为：
14. 如图，平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ,
且 ， ，若 ,则 的值为_________.
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【答案】6
【解析】
分析】
【详解】
故答案为：6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 .
（1）求 与 ;
（2）求 与 的夹角的余弦值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的坐标公式及模的坐标公式计算即可；
（2）根据向量夹角的坐标公式计算即可.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
而 ，则 ；
【小问 2 详解】
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，
即 与 的夹角的余弦值为 .
16. 已知函数 是定义在 上 奇函数.
（1）求 的值；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）
（2） 是 上的增函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 为奇函数可得 ，即可得解；
（2）利用作差法求解即可.
【小问 1 详解】
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
所以 ，
检验：因为 ，故满足题意，
所以 ；
【小问 2 详解】
是 上的增函数，证明如下：
设任意 ， ，
，
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∵ ，∴ ， ， ， ，
∴ 是 上的单调增函数.
17. 已知函数 的部分图象大致如图所示.
（1）求函数解析式；
（2）当 时，求函数 的单调递增区间.
【答案】（1）
（2） 、 .
【解析】
【分析】（1）结合图象确定参数的值，即可求得答案；
（2）根据余弦函数的单调性可求出函数的单调增区间，结合 ，确定答案即可.
【小问 1 详解】
由图可知 ， ，则 ， ，所以 ，
又因 点 在函数图象上，处在函数单调减区间上，
所以 ，即 ，解得 ， ，
又 ，所以 ，即 .
【小问 2 详解】
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令 ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ；
又 ，所以 的单调递增区间为 、 .
18. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小值，及 取最小值时的 的值；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到函
数 的图象，求函数 的最小正周期和单调递减区间．
【答案】（1）当 ， 时， 取得最小值： .
（2）最小正周期为： ；单调递减区间为： ，
【解析】
【 分 析 】（ 1） 先 根 据 三 角 函 数 的 有 关 公 式 （ 诱 导 公 式 、 和 角 公 式 、 辅 助 角 公 式 ） 把 函 数 化 成
的形式，再求函数的最小值及对应的 的值.
（2）先根据三角函数的图象变换确定 的解析式，再分析其性质即可.
【小问 1 详解】
.
所以 的最小值为 ，
此时： ， ，即 ， .
【小问 2 详解】
将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 的
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图象，再将 的图象向右平移 个单位，得到
.
由 ，得函数 的最小正周期为 .
由 ，
得 ， ，
所以 ， .
所以函数 的单调递减区间为： ， .
19. 如图，在 中， 是 的中点， ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）过点 作直线分别于边 、 交于 、 两点（点 、 与点 、 不重合），设
， ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可；
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（2）设 ,利用向量线性运算可得 ，根据 三点共线得 ，然后计
算 即可求解；
（3）由（2）知 ，利用向量线性运算可得 ，根据 三点
共线得 ，然后使用基本不等式计算即可.
【小问 1 详解】
因为 为 中点， ,
所以 ,
所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ,
设 ,
则 ，
又因为 三点共线，
所以 ，即 .
所以 ,
因为 ,
所以 ，即 .
【小问 3 详解】
由（2）可知， ，
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因为 ,
所以 ,
因为 三点共线，
所以 ， ，
即 ,
所以
，
当且仅当 时，即 取等号，
所以 的最小值为 .
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