四川省成都市2023_2024学年高一数学下学期三月月考试题含解析

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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知利用二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：．
故选：A．
2. 下列说法错误的是（）
A.
B. ，是单位向量，则
C. 若，则
D. 任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的有关概念即可.
【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
3. 函数，的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据正弦型函数的最值可求得结果.
【详解】，当，即时，取得最大值.
故选：D.
4. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合三角函数的的图象，分析三角函数的性质。确定函数的解析式.
【详解】如图：
易知：，，即.
由，，
时，.
所以：.
故选：C
5. 已知，则（）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.
【详解】由可得，故，
故选：A
6. 已知为锐角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案.
【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角，
所以.
，即.
故选：C.
7. 函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域．
【详解】，
因为，所以．即值域为，
故选：C．
8. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得.
【详解】由，且，故，
即有，解得，
又，，故，即，
综上，.
故选：B.
二、多选题（共3题，每题6分﹔选错0分，若答案有三个.每个选项2分.若答案为两个，每个选项3分）
9. 下列各式中，值为的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.
【详解】对于A：，所以A正确
对于B：，所以B正确
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D正确，
故选：ABD.
10. 已知函数，则下列选项正确的是（）
A. 函数的最小正周期为
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数为偶函数
D. 函数在区间上单调递增
【答案】AB
【解析】
【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判C项，将看成整体角，结合余弦函数图象单调性即可判断D项，
【详解】对于A项，函数的最小正周期为，故A项正确；
对于B项，当时，，而，
故点是函数图象的一个对称中心，即B项正确；
对于C项，函数图象向左平移个单位长度，得到
，
由于不恒零，
故该函数不是偶函数，即C项错误；
对于D项，当时，，
函数在区间上没有单调性，故D项错误.
故选：AB.
11. 函数的部分图象如图所示，则（）
A.
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】由图象得，，，而，则，，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，因此，，A正确；
函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是
，非奇非偶函数，B错误；
，C错误；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：AD
三、填空题（共3题，每题5分）
12. 若为锐角，且，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解.
【详解】因为为锐角，且，所以，
所以．
故答案为：.
13. ______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】注意所求式中角的关系，对进行拆角为，利用和角公式化简即得.
【详解】由
故答案为：
14. 关于函数有下列三个结论，
①是函数的周期；
②函数在的所有零点和为；
③函数的值域；
其中所有正确结论的编号是___________．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据三角函数的性质，函数零点的定义，以及值域的求法即可判断各结论的真假．
【详解】对①，因为函数
，所以是函数的周期，①正确;
对②，令，则，解得，
即或
，，而，
所以，， ，，
故函数在的所有零点和为，②错误；
对③，设，
则，
所以，③正确．
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，函数零点的理解，以及值域的求法应用，属于中档题．
四、解答题（15题13分，16和17题15分，18和19题17分）
15. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换的正切和角公式求解即可.
（2）结合二倍角公式进行化简，再结合弦切互化即可求值.
【小问1详解】
因为，所以，解得.
【小问2详解】
因为
所以的值为.
16. 化简求值
（1）已知，求的值
（2）已知，且．求
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得，再由倍角公式求的值；
（2）先求得的值，再求得的值，从而可求得的值.
【小问1详解】
由得，
因为，所以，，
故.
【小问2详解】
因为，所以，
所以
所以
因为，所以.
17. 一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求：
（1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式；
（2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式；
（2）解不等式可得．
【详解】（1）设，
由题意得：，，；
则，当时，，即；
因此，；
因此，，；
（2）由题意：，即：；
则：；
又因为，
所以．
18. 已知数的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域；
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；
（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；
（3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.
【小问1详解】
由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.
故
【小问2详解】
将函数图象向右平移个单位长度，可得的图象.
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
故函数的值域.
【小问3详解】
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，结合正弦函数的图象，
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
综上，
【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B值域通常用换元法；
19. 已知函数，其中．
（1）若，求的对称中心；
（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；
（3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.
【小问1详解】
函数，
若，则与是相邻的最小值点和最大值点，
的最小正周期为，由，解得，得，
令，解得，此时，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
，
，
，所以或
解得或，又，得，
所以，函数最小正周期，
令，即，解得或，
若在上恰好有8个零点，则，
要使最小，则恰好为的零点，
的最小值为.
【小问3详解】
由（2）知，，
设在上的值域为，在上的值域为，
若对任意，存在，使得成立，则，
当，，，则，
当，，，则，
由可得，又，解得，
所以实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点；
2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集.