2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在▵OMN中，ON−MN+MO=( )
A. 0B. 2MOC. 2OMD. 0
2.复数2+3i1+i对应的点( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为( )
A. 40B. 35C. 30D. 25
4.水平放置的▵ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC的面积是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点Pm,n在直线x+y=8上的概率是( )
A. 112B. 19C. 536D. 16
6.在▵ABC中，B=30∘,b=2,c=2 2，则▵ABC的面积为( )
A. 3+ 3B. 3+1C. 3± 3D. 3±1
7.已知▵ABC中，AC⋅AB=0,2AD−AC−AB=0,AD=AB，则CA在CB上的投影向量为( )
A. 14CBB. 34CBC. 34CBD. −34CB
8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm2，半球的半径为3cm ，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是( )
A. [24π,+∞)B. (18π,24π]C. [30π,+∞)D. (18π,30π]
9.设向量a,b满足a=b=1，且3b−a= 10，则以下结论正确的是( )
A. a⊥bB. a−b=2
C. b−3a= 10D. 向量a+b与a−b夹角为60∘
10.下列命题中真命题是( )
A. 如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交
B. 如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行
C. 如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m/​/n
D. 如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β
11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在40,50内，则( )
A. 图中的a=0.005
B. m=200
C. 同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2
D. 该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=1−3i，其中i为虚数单位，则z+2i= ．
13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是 ．
14.如图在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90∘,∠ACD=30∘,AB=BC，点E在线段BC上满足BE=12EC，若AC=λAD+μAEλ,μ∈R，则λμ= ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(12分)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，小李答对每道题目的概率为0.6，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．
(1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；
(2)求小李最后通过面试的概率．
16.(12分)已知向量a=3,2,b=−1,2,c=4,1．
(1)证明：a−c⊥b+c；
(2)c与λa+b的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．
17.(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照0,0.5,0.5,1,⋅⋅⋅,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值．
18.(12分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60∘,E,F分别是AB,BC的中点，将△BEF沿EF折起，使点B到P的位置，且PD=4 2．
(1)若平面PAC∩平面PEF=l，判断AC与l的位置关系并说明理由；
(2)求直线PE与平面ABCD所成角的正弦值；
(3)求二面角D−PE−F大小的余弦值．
19.(12分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．
(1)若c−b=2bcsA，求证：A=2B；
(2)在(1)条件下，若A,B,C均为锐角，求1tanB−1tanA+2sinA的取值范围．
(3)若A,B为锐角且S▵ABC=6,sin2A+sin2B=sinA+B，求▵ABC周长的最小值．
答案解析
1.A
【解析】ON−MN+MO=ON+NM+MO=OM+MO=0．
故选：A．
2.A
【解析】由题意可得：2+3i1+i=2+3i1−i1+i1−i=52+12i，
可知52+12i对应的点为52,12，位于第一象限．
故选：A．
3.B
【解析】根据按比例分层抽样的抽样可知：
高二年级抽取的人数为100×700500+700+800=35．
故选：B
4.C
【解析】解：由题可知，▵ABC为直角三角形，
且AC⊥BC,AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4，
所以S△ABC=12AC⋅BC=6，

5.C
【解析】若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点Pm,n有6×6=36种可能，
其中满足m+n=8,m,n∈1,2,3,4,5,6的数对有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2，共5种可能，
所以点Pm,n在直线x+y=8上的概率是536．
故选：C．
6.D
【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，即4=a2+8−2a×2 2× 32，
整理可得a2−2 6a+4=0，解得a= 6± 2，
所以▵ABC的面积为S▵ABC=12acsinB=12 6± 2×2 2×12= 3±1．
故选：D．
7.B
【解析】因为AC⋅AB=0，则AC⊥AB，即A=π2，
又因为2AD−AC−AB=0，即2AD=AC+AB，可知点D为BC的中点，
且AD=AB，则AD=AB=BD，即∠ABC=60∘，
则∠ACB=30∘，且CA= 3AB,CB=2AB，
可得CA⋅CB=CA⋅CB⋅cs∠ACB=3AB2，
所以CA在CB上投影向量为CA⋅CBCB2CB=3AB24AB2CB=34CB．
故选：B．
8.D
【解析】解：设圆柱的高为 ℎℎ>0 ，
因为半球的半径为3cm ，半球的体积不小于圆柱体积，
所以 23π×33≥π×32×ℎ ，
解得 ℎ≤2 ，即 ℎ∈0,2 ．
所以 ．
故选：D．
9.AC
【解析】向量a,b满足a=b=1，且3b−a= 10，
则3b−a2=9b2−6a⋅b+a2=10，所以a⋅b=0，故a⊥b， A正确；
a−b= a−b2= a2−2a⋅b+b2= 2， B错误；
b−3a= b−3a2= b2−6a⋅b+9a2= 10， C正确；
由a+b⋅a−b=a2−b2=1−1=0，得a+b⊥a−b， D错误．
故选：AC
10.B
【解析】解：对于A，如果不同直线m、n都平行于平面α，
则m、n可能平行、相交或异面，A错误；
对于B，如果不同直线m，n都垂直于平面α，
根据线面垂直的性质知m，n一定平行，正确；
对于C，如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，
则m/​/n或m,n异面， C错误；
对于D，如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，
若m⊥α，则n⊥β或n/​/β或n⊂β，
也可能n和β相交但不垂直， D错误，
故选：B．
11.BCD
【解析】由频率分布直方图可知：0.004+a+0.018+0.022+0.028+0.022×10=1，解之得a=0.006， A错误；
评分落在40,50内的有8人，所以m=80.004×10=200， B正确；
评分的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.22+75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2， C正确；
0.04+0.06+0.22=0.32>0.25，所以第25百分位数在60,70组，设其为x，
则0.04+0.06+x−60×0.022=0.25，x≈66.8，
所以甲会被邀请，D正确．
故答案为：BCD
12. 26
【解析】由复数z=1−3i，可得z=1+3i，则z+2i=1+5i，所以z+2i=1+5i= 26．
故答案为： 26．
13. 36
【解析】解：取棱AC的中点G，连接HG，FG．
因为H，G分别是棱BC，AC的中点，所以HG/​/AB，
则∠FHG或其补角是异面直线HF与AB所成的角．
设AC=2，则HG=1，
正方形ACFE中，
FG= 22+12= 5，
正三角形CFB中，
HF= 3，
在△GHF中，由余弦定理可得，
cs∠FHG=HG2+FH2−FG22HG⋅FH=− 36，
则异面直线HF与AB所成角的余弦值是 36．
故答案为： 36．
14.3 34 或34 3
【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB=BC=2，
则有A0,0,B2,0,C2,2,E2,23,AC=2 2，
AD=ACtan30∘=2 63，过D作DF⊥x轴于F，∠DAF=45∘，
DF=2 63sin45∘=2 63× 22=2 33，所以D−2 33,2 33，
AC=2,2，AD=−2 33,2 33，AE=2,23，
因为AC=λAD+μAE，
所以，2,2=λ−2 33,2 33+μ2,23
所以，−2 33λ+2μ=22 33λ+23μ=2，解得：λ= 32μ=32,
则λμ的值为3 34．
故答案为：3 34．
15.解：(1)用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，
样本点依次为Y,NY,NNY,NNN，故样本空间Ω=Y,NY,NNY,NNN
(2)由题意，李明未通过的概率为P(NNN)=0.4×0.4×0.4=0.064，
所以李明通过面试的概率为P=1−P(NNN)=1−0.064=0.936．
【解析】(1)先阅读题意，然后一一列出样本空间即可；
(2)先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解．
16.解：(1)根据题意，a−c=−1,1,b+c=3,3，
则−1×3+1×3=0，所以a−c⊥b+c；
(2)c与λa+b的夹角为钝角，λa+b=3λ−1,2λ+2，
则c⋅λa+b=4,1⋅3λ−1,2λ+2=43λ−1+2λ+2