2025学年七年级数学上册同步学与练(沪教版)第10章 整式的加减（高效培优讲义）（教师版+学生版）

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第10章 整式的加减 知识点1 整式 1.单项式 像6a²、a³、2.5x、48%m、vt、、、-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式． 2.单项式的系数 一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 3.单项式的次数 ①一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³、2.5x、48%m、vt的次数分别为2、3、1、1、2. ②特别地，非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 4.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式． 注意：整式也叫整式；单项式也是整式。 5.整式的项、项数与次数 ①整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项. ②整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. ③整式的项数：合并同类项后，整式有几项，就称为几项式. 【即学即练】 1．在代数式中，有（   ）个整式． A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 3．是 次 项式，三次项是 ． 知识点2 合并同类项 1.同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。 2.合并同类项 像这样，把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 3.合并同类项的法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 4.为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. ①按某个字母的降幂排列：例如，将x²+5x+4x⁴-3x³+2按x的指数从大到小的顺序排列，写成4x⁴-3x³+x²+5x+2,称为按x降幂排列； ②按某个字母的升幂排列：或者按x的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+x²-3x³+4x⁴,称为按x升幂排列. 【即学即练】 1．下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．单项式与 的和是单项式，则 ， ． 4．将整式按字母进行降幂排列： 知识点3 整式的加法和减法 1.去括号法则 ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； ②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 2.添括号法则 ①添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； ②添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 3.从数与一次式的相乘到数与整式的相乘 ①一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. ②一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为项的系数，字母及其指数不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号. 4.整式的加减运算 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【即学即练】 1．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 2．计算： ． 3．小宇在计算时，误将看成，得到的结果为，已知，则的正确结果为 ． 题型01 判断单项式、整式 【典例1】．在代数式 、、、、a中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 整式的有关概念Ⅰ 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【变式1】．单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式2】．写出一个系数为，且含字母x和y的3次单项式 ． 【变式3】．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．整式的项是 D．是整式 题型03 整式的有关概念Ⅱ 【典例1】．整式的一次项系数是（   ） A．7 B． C． D． 【变式1】．下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数为，次数为3次 B．是单项式 C．关于x的整式是三次二项式 D．0是单项式 【变式2】．如果一个整式是五次整式，那么它任何一项的次数（   ） A．都小于5 B．都等于5 C．都不小于5 D．都不大于5 题型04 根据整式的有关概念求参数 【典例1】．若关于x的整式是三次二项式，则 ． 【变式1】．整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ． 【变式2】．已知整式是五次整式，单项式与该整式的次数相同，求 ． 题型05 按某个字母升幂或降幂排列 【典例1】．整式按字母的降幂排列是 ． 【变式1】．把整式按的降幂排列为 ． 【变式2】．将整式按字母的升幂排列为 ． 题型06 判断同类项 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【变式1】．下列单项式中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 题型07 根据同类项求参数 【典例1】．若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【变式1】．若单项式与的差仍是单项式，则的值为 ． 题型08 去括号或添括号 【典例1】．下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列去括号或添括号，其中正确的有（　　）个 ①；             ②； ③；          ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．下列变形中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型09 整式的加减运算 【典例1】．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型10 整式的加减运算的代数应用——加减思想 【典例1】．若一个整式加上，结果是，则这个整式为 ． 【变式1】．如图 (1)求整式； (2)若，求当时整式的值． 【变式2】．已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 题型11 整式的加减运算的代数应用—失误、遮住等问题 【典例1】．有一道题目是一个整式减，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应该是 ． 【变式1】．小明在计算整式加上时，因误认为加上，得到答案，则原来的正确答案应是 ． 【变式2】．是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），那么被墨水遮住的一项应是 ． 题型12 整式的加减运算的几何应用 【典例1】．如图是两个正方形组成的图形（不重叠无缝隙），用含字母的整式表示出阴影部分的面积为 【变式1】．将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【变式2】．把七个长和宽分别为的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形为长方形，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 题型13 不含某项、与某字母取值无关 【典例1】．若关于x的整式的值与x的取值无关，则m的值为 ． 【变式1】．若整式中不含项，则 ，化简结果为 ． 【变式2】．若整式与的和的值与所取的值无关，则的值是 ． 【变式3】．若关于的整式的值与的取值无关，则 ． 【变式4】．已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 题型14 新定义题；单项式规律题 【典例1】．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【变式1】．按一定规律排列的单项式：据此规律，第12个单项式为 ． 【变式2】．如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 一、单选题 1．下列各式中：，0，，，，，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列各组单项式中，不是同类项的为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列去括号错误的个数共有（    ）． ①；     ②； ③；     ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．小毅写作业时发现，代数式中三次项系数和一次项系数被顽皮的弟弟涂成了◆和★．但他记得：当时，该代数式的值是5，则当时，该代数式的值是（    ） A．1 B． C． D． 6．若关于的整式化简后不含二次项，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，0，整式的个数是 个． 8．关于a，b的整式为 次 项式．其次数最高项的系数是 ． 9．已知单项式和是同类项，则 ， ． 10．一个整式M减去整式，小马虎却误解为先加上这个整式，结果，得，则正确的结果是 ． 11．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 三、解答题 12．合并下列各式的同类项： (1) (2) 13．计算： （1）；        （2）； （3）；     （4）． 14．先化简，再求值： （1），其中； （2），其中． 15．已知整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与整式的次数相同，求m，n的值． 16．有这样一道题：当，时，求整式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 17．两个边长分别为和的正方形如图放置（图），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图），两个边长为的小正方形叠合部分（阴影）面积为，图中阴影部分的面积． (1)用含，的代数式分别表示，． (2)试说明． 18．定义：已知M，N都是关于x的整式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的整式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 教学目标整式及其有关概念； 合并同类项； 整式的加法与减法。教学重难点1.重点 （1）了解整式的有关概念及其应用； （2）知道同类项的概念，会合并同类项； （3）掌握整式的加法与减法运算。 2.难点 （1）整式的加减有关化简、变形、求值等；整体思想，适当拆分思想等； （2）整式的加减的综合应用。