第二章 相交线与平行线 回顾与思考 课件 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

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第二章 相交线与平行线回顾与思考1.在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动。如图，已知射线AM//BN，连接AB，点P 是射线AM上的一个动点（与点A 不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，且分别交射线AM于点C，D .（1）当∠A=60 时，试说明：∠CBD=∠A .【问题情境】解： 因为AM∥BN，根据两直线平行，同旁内角互补，可得 ∠A+∠ABN=180°。已知∠A=60°，则∠ABN=180°−∠A=180°−60°=120°。因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，所以∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。又因为∠ABP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。把∠ABN=120°代入，可得∠CBD=1/2×120°=60°。 因为∠A=60°，∠CBD=60°，所以∠CBD=∠A。（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A 的度数，∠CBD与∠A 始终存在某种数量关系，请你进行说明并完成下列填空：①当∠A=40 时，∠CBD=____​ ；②当∠A=x 时，∠CBD=__________​（用含x 的代数式表示）。【探索发现】解：因为AM∥BN，根据两直线平行，同旁内角互补，有∠A+∠ABN=180°，所以∠ABN=180°−∠A。由于BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，则∠CBP=1/2∠ABP，∠DBP=1/2∠PBN。那么∠CBD=∠CBP+∠DBP=1/2(∠ABP+∠PBN)。又因为∠ABP+∠PBN=∠ABN，所以∠CBD=1/2∠ABN。把∠ABN=180°−∠A代入，可得∠CBD=1/2(180°−∠A)=90°−1/2∠A。①当∠A=40°时：将∠A=40°代入∠CBD=90°−1/2∠A，则∠CBD=90°−1/2×40°=90°−20°=70°。②当∠A=x°时：把∠A=x°代入∠CBD=90°−1/2∠A，可得∠CBD=90°−1/2x°。（2）“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A 的度数，∠CBD与∠A 始终存在某种数量关系，请你进行说明并完成下列填空：①当∠A=40 时，∠CBD=____​ ；②当∠A=x 时，∠CBD=__________​（用含x 的代数式表示）。【探索发现】70°90°−0.5x°（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB 和∠ADB 的度数后，探究二者之间的数量关系。他们惊奇地发现，当点P在射线AM 上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB 之间的数量关系都保持不变。请写出它们的关系，并说明理由。【操作探究】解：因为AM∥BN，所以∠ADB=∠DBN（两直线平行，内错角相等）。又因为BD平分∠PBN，所以∠PBN=2∠DBN，则∠PBN=2∠ADB 。同样由于AM∥BN，可得∠APB+∠PBN=180°（两直线平行，同旁内角互补）。把∠PBN=2∠ADB代入∠APB+∠PBN=180°，得到∠APB+2∠ADB=180° 。所以∠APB与∠ADB的数量关系是∠APB+2∠ADB=180°。2.射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等。如图1，AB 是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2 。（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射到平面镜b 上，又被平面镜b反射出去。若被平面镜b反射出的光线n与光线m 平行，且∠1=50 ，求∠2 的度数。【初步应用】解：由入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等，可得在平面镜a处，∠1=∠3=50°。根据平角定义，在平面镜a处，入射光线与反射光线的夹角为180°−2×50°=80° 。因为光线m与光线n平行，根据两直线平行，同旁内角互补，所以光线m与光线n的夹角和在平面镜a处入射光线与反射光线的夹角之和为180° ，则在平面镜b处入射光线与反射光线的夹角也为80° 。再根据入射光线和反射光线与平面镜所夹的角相等，在平面镜b处，∠2=2180°−80°​=100° 。所以∠2的度数为100°。【猜想验证】（2）如图2，任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a，b的夹角∠3 的度数。解：设光线m在平面镜a上的入射角为α，反射角也为α（入射角等于反射角），光线m在平面镜b上的入射角为β，反射角也为β。则在平面镜a处，与∠1相等的角为α，在平面镜b处，与出射光线相关的角为β。因为m∥n，根据两直线平行，同旁内角互补，所以2α+2β=180°，化简可得α+β=90°。在由平面镜a、b组成的三角形中（以两平面镜交点及光线在两平面镜上的入射点构成的三角形），根据三角形内角和为180°，∠3=180°−(α+β)。把α+β=90°代入上式，可得∠3=90°。【拓展探究】（3）如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a 的夹角∠1=30 ，镜面a，b组成的∠α 为120 ，镜面b和c 连接（连接点可以在b上任意一点，组成的∠β 也可以改变）。已知入射光线从镜面a 开始反射，经过k(k为正整数，k≤3)次反射，第k次反射的反射光线n 由镜面c反射，当m//n时，请直接写出镜面b和c组成的∠β(0 到180 之间）的度数。当k=1时光线m经平面镜a反射后直接经平面镜c反射得到n，此时不存在平面镜b的反射作用，这种情况不成立，因为题目要求经过k(k≤3)次反射且与平面镜b有关 。当k=2时光线m经平面镜a反射后，再经平面镜b反射，最后经平面镜c反射得到n。根据光线反射规律及平行线性质，结合三角形内角和等知识。已知∠1=30°，则在平面镜a处入射角为60°。因为m∥n，通过角度关系推导（利用入射角等于反射角以及平行线同旁内角互补等性质）可得∠β=90°。当k=3时光线m依次经过平面镜a、b、c反射得到n 。同样根据光线反射规律（入射角等于反射角）、平行线性质（两直线平行，同旁内角互补等）以及三角形内角和等知识进行角度推导。可得∠β=150°或30° 。【拓展探究】（3）如图3，有三块平面镜a，b，c，入射光线m与镜面a 的夹角∠1=30 ，镜面a，b组成的∠α 为120 ，镜面b和c 连接（连接点可以在b上任意一点，组成的∠β 也可以改变）。已知入射光线从镜面a 开始反射，经过k(k为正整数，k≤3)次反射，第k次反射的反射光线n 由镜面c反射，当m//n时，请直接写出镜面b和c组成的∠β(0 到180 之间）的度数。综上，镜面b和c组成的∠β的度数为30°或90°或150° 。下课