甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（二）数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省平凉市第一中学2025届高三下学期高考冲刺压轴（二）数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若z1=1+i，z2=2+i，则z=z1⋅z2在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={1,2,3,4}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，y−x∈A}，则集合B中的元素的个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
3.已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且P(M)=13，P(N)=12，PMN =14，则PNM =( )
A. 13B. 16C. 34D. 38
4.若0lgbc
5.中华美食源远流长，厨师活计有“站道，站板，雕花，炉火”等分工术语，现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加厨师活计，每人只安排一个活计，若“炉火”活计不安排，其余三项活计至少有1人参加，则不同安排方案的种数为( )
A. 150B. 180C. 240D. 300
6.一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积(球冠面积)S=2πRH，其中R是球的半径，H是球缺的高.若球缺的底面面积为3π，高H=3，球半径R0,b>0)，则1a+1b的最小值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2024年手机迎来发展新机遇，国内两家传媒公司共同发起了中国手机消费行为调查，下表为根据调查得到的2024年1000名中国手机用户购买手机价格频数表，同一组中的数据用该区间的中点值代表，则( )
A. 估计1000名用户购买手机价格的众数为7.5
B. 估计1000名用户购买手机价格的平均数为8.45
C. 估计1000名用户购买手机价格的中位数不超过8
D. 估计1000名用户购买手机价格的84%分位数不超过12
10.已知函数f(x)=csx+12cs2x，则( )
A. f(x)的最大值为32B. 2π为f(x)的一个周期
C. x=π2为曲线y=f(x)的一条对称轴D. f(x)在0,π上单调递减
11.已知双曲线x2−y2=nn∈N∗，直线l与双曲线右支交于点B，C(B在x轴上方，C在x轴下方)，与双曲线渐近线交于点A，D(A在x轴上方)，O为坐标原点，则( )
A. 直线l的倾斜角范围为π4,3π4
B. |AC|=|BD|
C. ▵AOD面积的最小值为1
D. 若|AB|=|BC|=|CD|，则▵AOD的面积为9n8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x−2y−4=0上的抛物线的标准方程为 ．
13.已知函数f(x)=ex+kx2在(0,+∞)上只有一个零点，则实数k的值为 ．
14.已知α，β∈0,π2，sin(2α+β)=3sinβ，则tanβ的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an的各项都不为0，其前n项和为Sn，q为不等于0的常数，且Sn=qSn−1+a1(n≥2)．
(1)证明：an是等比数列；
(2)若S5，S11，S8成等差数列，求q的值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=4.点E在侧棱PC上(端点除外)，平面ABE交PD于点F．
(1)求证：四边形ABEF为直角梯形；
(2)若PF=3FD，求直线PC与平面ABEF所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，AB=AC=5，∠BAC=90°，点E，F在边BC上(E，F不与B，C重合，且E在B，F之间)，且∠EAF=π4，∠EAB=θ．
(1)若BE= 2，求EF的值；
(2)试确定θ的值，使得▵AEF的面积取得最小值，并求出▵AEF面积的最小值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点恰好是一个直角三角形的三个顶点，直线l:y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线m/\!/OT，m与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P．
①求▵ABT面积的最大值；
②证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|⋅|PB|，并求出λ的值．
19.(本小题17分)
若函数f(x)，g(x)的图象与直线x=m分别交于A，B两点，与直线x=n分别交于C，D两点(m0，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，且|AB|=|CD|，求实数a的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.ABC
10.AB
11.ABD
12.y2=16x或x2=−8y
13.−e24或−14e2
14. 24或14 2
15.解：(1)证明：因为Sn=qSn−1+a1(n≥2)，①
所以Sn+1=qSn+a1(n≥1)，②
②−①得an+1=qan(n≥2)，即an+1an=q(n≥2)．
当n=2时，S2=qS1+a1，即a2+a1=qa1+a1，即a2a1=q，
所以an是首项为a1，公比为q的等比数列．
(2)由(1)及S5，S11，S8成等差数列得q≠1，且2S11=S5+S8，
即2×a11−q111−q=a11−q51−q+a11−q81−q，化简得2q6=q3+1．
所以q3−12q3+1=0，q3=−12，所以q=−342．
16.解：(1)证明，因为AB//CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，则AB//平面PCD．
因为AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，则AB//EF．
又EF0．
所以直线AC，BD的斜率均为正数，不可能互为相反数，
即不存在实数m，n，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”；
(2)因为f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，所以有f(n)+g(n)=f(m)+g(m)．
因为|AB|=|CD|，所以有f(n)−g(n)=f(m)−g(m)或f(n)−g(n)=−f(m)+g(m)．
①联立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)−g(n)=f(m)−g(m)可得f(m)=f(n)g(m)=g(n)，所以a=0(舍)．
②联立f(n)+g(n)=f(m)+g(m)f(n)−g(n)=−f(m)+g(m)可得f(m)=g(n)g(m)=f(n),
即eam=an2ean=am2，则a>0．
当m，n>0时，因为eax，ax2均为[0,+∞)上的单调递增函数，
由(1)知不存在实数m，n，使得f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，所以m2e，则t′(a)>0，t(a)在4e2,+∞上单调递增，
所以t(a)>t4e2=−ln4e2+ 4e2e+ln4=0，所以ℎ−2a>0，
则ℎx2>ℎ−2a>0．
根据零点存在定理可知，∃n∈x2,0，使得ℎ(n)=0．
取m=−ean2 a