2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中等三校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中等三校联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是( )
A. 9B. 10.5C. 10D. 9.5
2.复数z满足：z(1+i)=3−2i，则|z−+i|=( )
A. 3 2B. 6C. 5 22D. 5 2
3.若数据x1、x2、…、xn的平均数是4，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、…、3xn+1的平均数是m，标准差是s，则下列结论正确的是( )
A. m=12，s=36B. m=12，s=6
C. m=13，s=36D. m=13，s=6
4.如图，某景区欲在两山顶A、C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB=1 km，CD=3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC=150°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A. 2 7kmB. 3 3kmC. 4 2kmD. 3 5km
5.已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若a//b，b⊂α，则a//α
B. 若a⊥α，b⊂β，α//β，则a⊥b
C. 若a//α，a//β，则α//β
D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
6.在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cs2B=sinCsinA+1，且满足|AB|AB|+AC|AC||= 3，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
7.在△ABC中，点D在边BC上，且满足|BD|=14|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则2x+1y的最小值为( )
A. 2 2B. 4 3C. 6+4 2D. 9+4 2
8.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面都是菱形，那么点A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心.( )
A. 外心、重心
B. 内心、垂心
C. 外心、垂心
D. 内心、重心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，则下列说法中正确的是( )
A. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5
B. 如果B⊆A，那么P(AB)=0.3
C. 如果A，B互斥，那么P(A∪B)=0.8
D. 如果A，B互斥，那么P(AB)=0.15
10.下列有关复数的结论正确的是( )
A. 若|z|=1，则z=±1
B. 若z2>0，则z∈R
C. 1+2i是关于x的方程x2−2x+5=0的一个根
D. 若复数z满足1≤|z|≤ 3，则复数z对应的点所构成的图形面积为2π
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 32
B. AD1⊥PC
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1−ACP的体积不变
D. 以点B为球心， 22为半径的球面与面AB1C的交线长为 63π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从编号1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为______．
13.已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为7π，则该圆台外接球的体积为______．
14.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2 3，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM⋅PN的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为13，乙的命中率为14，且各次投篮互不影响．
(1)求第一轮比赛未分出胜负的概率；
(2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率．
16.(本小题15分)
已知直三棱柱A1B1C1−ABC，AB⊥面B1C1CB，M为AB的中点．
(1)证明：AC1//平面MB1C；
(2)若直三棱柱A1B1C1−ABC的体积为1，且AB=BC=1，求直线AC1与平面B1C1CB所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
(2)按照成绩从高到低选出样本中前15%的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？
(3)在(2)的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在[80,90)的概率．
18.(本小题17分)
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB=4，EF=1，ED=EA，H为CD的中点，M为BH的中点，EM⊥BH，EM=2 3．
(Ⅰ)求证：AB//EF；
(Ⅱ)求证：平面AME⊥平面ABCD；
(Ⅲ)求五面体ABCDEF的体积．
19.(本小题17分)
定义向量OM=(a,b)的“相关函数”为f(x)=asinx+bcsx；函数f(x)=asinx+bcsx的“相关向量”为OM=(a,b)．
(1)求函数f(x)=2sin2(x2+π3)−1的“相关向量”OM的模长；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，且已知a=4,ℎ(A)=35．
①求△ABC周长的最大值；
②求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：已知有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次．这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，
将5人投中的次数从小到大排列，因为中位数是10，即第三个数是10，
众数是11，所以第四、第五位数是11．
极差是3，所以第一个数是8，且众数唯一，所以第二个数是9．
所以这五个数依次是8，9，10，11，11，
又40%×5=2，
则该组数据的第40百分位数是9+102=9.5．
故选：D．
由中位数、众数、极差和百分位数的定义求解即可．
本题考查中位数，众数，百分位数相关知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：z=3−2i1+i=(3−2i)(1−i)2=1−5i2，
∴z−+i=1+7i2，|z−+i|= (12)2+(72)2=5 22．
故选：C．
先利用复数的除法运算求出复数z，再写出它的共轭复数进行加法运算找到实部虚部再计数模即可．
本题主要考查复数的四则运算，复数模公式，复数的概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可知，m=3×4+1=13，s= 32×4=6．
故选：D．
结合平均数、方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查平均数、方差的计算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．
【解答】
解：AB=1，CD=3，
∠AEB=30°，∠CED=60°，∠AEC=150°，
∴AE=2AB=2，CE=CDsin60∘=3 32=2 3；
在△ACE中，由余弦定理得：
AC2=AE2+CE2−2×AE×CE×cs∠AEC
=4+12−2×2×2 3×(− 32)
=28，
∴AC=2 7；
即两山顶A，C之间的距离为2 7km．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：若a/​/b，b⊂α，则a/​/α、或a⊂α，故A错误；
若a⊥α，α/​/β，推得a⊥β，又b⊂β，则a⊥b，故B正确；
若a/​/α，a/​/β，则α/​/β或α、β相交，故C错误；
若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，不能判定α和β是否垂直，故D错误．
故选：B．
由线面的位置关系可判断A；由线面垂直的性质定理可判断B；由两平面的位置关系可判断C；由面面垂直的判定可判断D．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意得sin2A+sin2C=sinCsinA+1−cs2B，
即sin2A+sin2C=sinCsinA+sin2B，由正弦定理得a2+c2=ac+b2，
即a2+c2−b2=ac，则csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3，
又|AB|AB|+AC|AC||= 3，
所以|AB|AB|+AC|AC||2=3=(AB|AB|)2+2AB|AB|⋅AC|AC|+(AC|AC|)2=2+2cs〈AB,AC〉，
故cs〈AB,AC〉=12，因为〈AB,AC〉∈(0,π)，所以A=π3．
综上可知三角形为等边三角形．
故选：C．
根据正弦定理和余弦定理得B=π3，再根据向量数量积得cs〈AB,AC〉=12，则得到A=π3，即可判断三角形形状．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，向量数量积的性质在三角形形状判断中的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：由|BD|=14|BC|，可得BE=xBA+yBC=xBA+4yBD，
由A，E，D三点共线，得x+4y=1，且x>0，y>0，
所以2x+1y=(2x+1y)⋅(x+4y)=2+4+8yx+xy≥6+2 8yx⋅xy=6+4 2，
当且仅当8yx=xy，即x=2 2y时等号成立，
联立x=2 2yx+4y=1，解得x=2 2y= 2−1，
所以2x+1y的最小值为6+4 2．
故选：C．
先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由A，E，D三点共线可得x+4y=1，且x>0，y>0，再根据“1”的代换，运用基本不等式求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算，共线向量基本定理，以及利用基本不等式求最值是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面都是菱形，
∴A1A=A1B1=A1D1，
∴B点A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三点的距离相等，
∴点A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；
设A1在平面BDC1中的射影为M，连接A1C1、A1M，
则A1M是A1C1在平面BDC1中的射影，
∵平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面都是菱形，
∴BD/​/B1D1，A1C1⊥B1D1，∴A1C1⊥BD，
∴由三垂线定理得C1M⊥BD，
同理可证明BM⊥DC1，DM⊥BC1，
∴点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．
故选：C．
推导出A1A=A1B1=A1D1，从而B点A1在面AB1D1上的射影O到A、B1、D1三点的距离相等，进而得到点A1在面AB1D1上的射影O一定是△AB1D1的外心；设A1在平面BDC1中的射影为M，连接A1C1、A1M，则A1M是A1C1在平面BDC1中的射影，由三垂线定理得C1M⊥BD，同理可证明BM⊥DC1，DM⊥BC1，从而点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的垂心．
本题考查线三角形五心的判断，考查射影、三垂线定理等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想．
9.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于AB，由B⊆A可得A∪B=A，A∩B=B，
所以P(A∪B)=P(A)=0.5，P(AB)=P(B)=0.3，故AB正确；
对于CD，由A，B互斥可得A∩B=⌀，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，P(AB)=0，故C正确，D错误．
故选：ABC．
对于AB，由B⊆A可得A∪B=A，A∩B=B即可；对于CD，由A，B互斥可得A∩B=⌀即可，综合可得答案．
本题考查互斥事件的性质，注意事件之间的关系，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：若|z|=1，则z对应的点在复平面内的单位圆上，不能确定z=±1，
比如z=i，满足|z|=|i|=1，但z≠±1，故A选项错；
若z2>0，则z2∈R，z是纯虚数或实数，
若z是纯虚数，设z=ki(k∈R且k≠0)，可得z2=−k20，符合题意，
因此，若z2>0，则z∈R，可知B选项正确；
把z=1+2i代入方程x2−2x+5=0，
可得左边=(1+2i)2−2(1+2i)+5=1+4i+4i2−2−4i+5=1+4i−4−2−4i+5=0，等式成立，
所以z=1+2i是方程x2−2x+5=0的一个根，故C选项正确；
若复数z满足1≤|z|≤ 3，
则z在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，内半径为1，外半径为 3的圆环内的点(包含边界)，
根据圆环面积S=π( 3)2−π⋅12=2π，可得D选项正确．
故选：BCD．
根据复数的模的概念判断出A项的正误；根据平方为实数的复数是纯虚数或实数，对B选项进行判断；根据复数的四则运算与复数相等的含义判断出C项的正误；根据复数的几何意义对D选项进行判断，进而可得本题答案．
本题主要考查复数的基本概念与运算、复数的几何意义等知识，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，因为A1B=BD= 2，当P为A1D的中点时，BP⊥A1D时，此时BP最小，
最小值为 ( 2)2−( 22)2= 62，选项A错误；
对于B，因为AD1⊥A1D，DC⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以AD1⊥DC，
又因为A1D∩DC=D，所以AD1⊥平面A1DC，
又因为PC⊂平面A1DC，所以AD1⊥PC，选项B正确；
对于C，因为CD//AB//A1B1，且CD=AB=A1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，
所以A1D/​/B1C，又因为A1D⊄平面ACB1，B1C⊂平面ACB1，所以A1D//平面ACB1，
由此知P到平面ACB1的距离相等，△ACB1的面积是定值，
所以三棱锥B1−ACP的体积是定值，选项C正确；
对于D，因为BD1⊥平面AB1C，设BD1与平面AB1C交于点Q，则所以BQ=13BD1= 33，
设以B为球心， 22为半径的球与平面AB1C交于点G，则BG= 22，所以QG= ( 22)2−( 33)2= 66，
所以G在以Q为圆心， 66为半径的圆上，因为△AB1C是边长为 2的正三角形，其内切圆半径为 2× 32×13= 66，
所以此圆恰好为△AB1C的内切圆，完全落在平面AB1C内，所以交线长为2π× 66= 63π，选项D正确．
故选：BCD．
由P为A1D的中点时，BP最小，求出最小值，判断选项A；
由AD1⊥平面A1DC，得出AD1⊥PC，判断选项B；
由A1D//平面ACB1，得出P到平面ACB1的距离相等，三棱锥B1−ACP的体积是定值，判断选项C；
由以B为球心， 22为半径的球与平面AB1C的交线是△AB1C的内切圆，求出交线长即可判断选项D．
本题考查了空间中的位置关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】59
【解析】解：从编号1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，
共有3×3=9种情况，
满足第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(3,3)，共有5种，
所以所求概率为P=59．
故答案为：59．
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
13.【答案】20 5π3
【解析】解：设圆台的高为ℎ，圆台外接球的半径为R，
因为上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为7π，
所以13×(π×12+ π×12×π×22+π×22)ℎ=7π，
解得ℎ=3.易知圆台的外接球球心在圆台的上、下底面圆心所在的直线上，
若球心位于圆台内部，则 R2−12+ R2−22=3，得R= 5；
若球心位于圆台外部，则 R2−12− R2−22=3，无解．
所以R= 5，所以该圆台外接球的体积为4π( 5)33=20 5π3．
故答案为：20 5π3．
先由圆台的体积公式求出圆台的高，再利用球的截面圆性质求出圆台外接球的半径，最后利用球的体积公式即可得解．
本题考查圆台的外接球问题的求解，属中档题．
14.【答案】[5,8]
【解析】解：根据题意，连接PO，如下图所示：
易知内切圆半径为r=OAsin60°=2 3× 32=3，
正六边形外接圆的半径为R=2 3，
因为PM=PO+OM,PN=PO+ON，
所以PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)=(PO+OM)⋅(PO−OM)=PO2−4，
由于r≤|PO|≤R，所以3≤|PO|≤2 3，
两边加平方可得9≤PO2≤12，
所以5≤PO2−4≤8．
故答案为：[5,8]．
连接PO，根据向量的线性运算(或极化恒等式)可得PM⋅PN=|PO|2−4，故可求PM⋅PN的取值范围．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
15.【答案】712；
49576．
【解析】(1)根据题意，记事件Ai=“甲第i轮投中”，Bi=“乙第i轮投中”，i=1，2，3，⋯
第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，即事件A1B1+A1−B1−，
则要求概率P1=P(A1B1+A1−B1−)=13×14+23×34=712；
(2)根据题意，甲在第3轮比赛时获胜，
则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，即事件(A1B1+A1−B1−)(A2B2+A2−B2−)A3B3−，
则要求概率P2=P[(A1B1+A1−B1−)(A2B2+A2−B2−)A3B3−]=712×712×(13×34)=49576．
(1)分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解．
(2)明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解．
本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．
16.【答案】解：(1)证明：连接C1B与B1C交于点N，则N为C1B中点，MN为△BAC1中位线，

∴MN//AC1，又MN⊂面MB1C，AC1⊄面MB1C，
∴AC1/​/平面MB1C.
(2)∵AB⊥平面B1C1CB，∴C1B是C1A在平面B1C1CB上射影，
∴∠AC1B是直线AC1与平面B1C1CB所成的角，
又∵VA1B1C1−ABC=1，
∴12⋅BC⋅AB⋅B1B=1，
∴B1B=2，
在Rt△AC1B中，AC1= AB2+BC12= 12+12+22= 6．
∴直线AC1与平面B1C1CB所成角的正弦值为ABAC1=1 6= 66．
【解析】(1)根据三角形中位线得线线平行，即可由线面平行的判定定理求解，
(2)根据线面垂直可由线面角的几何法求解其平面角，即可由三角形的边角关系求解．
本题考查了线面平行中的证明以及直线与平面所成的角的计算问题，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1，
可得(0.005+0.010+0.020+0.030+m+0.010)×10=1，解得m=0.025，
竞赛的平均成绩：(0.005×45+0.010×55+0.020×65+0.030×75+0.025×85+0.010×95)×10=74．
(2)由频率分别直方图的数据，可得：
成绩在[40,80]内的频率为：(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
成绩在[40,90]内的频率为：(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.90，
所以成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，设为x，
可得x=80+×10=88分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要88分．
(3)由题意得，样本中宣传队学生的人生为100×0.15=15，
其中成绩在[80,90)的学生人数为100×(90−88)×0.025=5，
成绩在[90,100]的学生人数为100×(100−90)×0.010=10，
从样本中按分层抽样的的方法抽取6人，则成绩在[80,90)的学生有2人，记为a，b，
在[90,100]的学生有4人，记为A，B，C，D，
从中选2人担任正副队长的样本空间为：
Ω={(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(A,B)，(A,C)(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)}，
记事件A=“正副队长中至少有1名学生成绩在80，90)”，则：
A={(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)}，
由古典概型的概率计算公式，可得P(A)=915=0.6．
【解析】(1)根据频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得m=0.025，再由平均数的计算公式，即可求解；
(2)根据题意，成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解；
(3)根据题意，得到成绩在[80,90)的学生有2人，在[90,100]的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：因为AB/​/CD，CD⊂平面EFCD，AB⊄平面EFCD，
所以AB/​/平面EFCD，
又EF，AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，
所以AB/​/EF．
(Ⅱ)证明：ED=EA，
取AD的中点O，连接MO，OE，
因为O是AD中点，M是HB中点，所以MO/​/AB，
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥OM，
因为ED=EA，所以AD⊥OE，
又OM∩OE=O，OM，OE⊂平面OME，
所以AD⊥平面OME，
又因为ME⊂平面OME，
所以AD⊥ME，
又EM⊥BH，且BH与AD是相交线，
AD、BH⊂平面ABCD，
所以ME⊥平面ABCD，
又ME⊂平面AME，
所以平面AME⊥平面ABCD；
(Ⅲ)过M点作PQ/​/BC，
因为AB=4，H为DC中点，M为BH中点，
所以BQ=HP=PC=1=EF，DP=AQ=3，
又AD=4，
由(Ⅱ)可知，ME⊥平面ABCD，
四棱锥E−ADPQ体积VE−ADPQ=13Sℎ=13×4×3×2 3=8 3，
因为EF//QB，EF/​/PC，且EF=QB=PC，
所以四边形EFCP为平行四边形，
四边形EFBQ也是平行四边形，
所以EP//FC，
EP⊄平面BCF，FC⊂平面BCF，
所以EP//平面BCF，
同理EQ/​/平面BCF，EP，EQ⊂平面EPQ，
EP∩EQ=E，
所以平面EPQ//平面BCF，
所以五面体QBCPEF为三棱柱，
在三棱柱BCF−QPE中，BQ⊥PQ，
ME⊥平面ABCD，QB⊂平面ABCD，
BQ⊥ME，ME∩PQ=M，ME，PQ⊂平面EPQ，BQ⊥平面EPQ，
V棱柱EPQ−FCB=12×4×2 3×1=4 3，
所以五面体ABCDEF的体积为12 3．
【解析】本题考查空间线面位置关系的判定以及几何体体积的计算，属于中档题．
(Ⅰ)先证AB/​/平面EFCD，再利用线面平行的性质定理即可得证；
(Ⅱ)通过条件证出ME⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
(Ⅲ)先证明平面EPQ//平面BCF，得出五面体QBCPEF为三棱柱，再利用体积公式即可求解．
19.【答案】1；
①4+4 5；②[−4,4)．
【解析】(1)f(x)=2sin2(x2+π3)−1=−cs(x+2π3)= 32sinx+12csx，
因此由“相关向量”定义可知：
函数f(x)的“相关向量”为OM=( 32,12)，
则“相关向量”OM的模长为1；
(2)①由函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，得ℎ(x)=csx，
由ℎ(A)=35，得csA=35，
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
则16=b2+c2−65bc=(b+c)2−165bc≥(b+c)2−165(b+c2)2=(b+c)25，
解得b+c≤4 5，当且仅当b=c=2 5时取等号，
所以a+b+c≤4 5+4，
即△ABC周长的最大值为4 5+4；
②由①知：b2+c2=16+65bc，
则|AB+AC|−AB⋅AC= b2+c2+65bc−35bc=2 4+35bc−35bc，
而16=b2+c2−65bc≥45bc，则bc≤20，
当且仅当b=c=2 5时取等号，于是0