2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=12x的焦点到准线的距离等于( )
A. 9B. 6C. 3D. 12
2.直线 3x−3y+4 3=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.已知n1=( 3,x,2)，n2=(−3, 3,−2 3)分别是平面α，β的法向量，若α//β，则x=( )
A. −7B. −1C. 1D. 7
4.圆(x+1)2+y2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=6，S8=18，则S12=( )
A. 30B. 36C. 42D. 54
6.已知双曲线C：x24−y2m=1的一条渐近线方程为y=34x，则m=( )
A. 3B. 6C. 32D. 94
7.已知向量a,b,c不共面，则使向量m=2a−b,n=b+c,p=xa+5b+3c共面的实数x的值是( )
A. −4B. −3C. −2D. 4
8.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差.已知各项均为正数的数列{an}是等方差数列，且公方差为3，a1=1，则数列{1an+an+1}的前33项的和为( )
A. 3B. 6C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{an}为等差数列，a2=11，a5=5，则下列说法正确的是( )
A. an=15−2nB. −11是数列{an}中的项
C. 数列{an}的前n项和Sn=−n2+12nD. 数列{an}的前7项和最大
10.设F1，F2分别为椭圆x24+y29=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|−|PF2|=2，则下列说法中正确的是( )
A. |PF1|=3B. △PF1F2的周长为6+2 5
C. △PF1F2的面积为4D. 点P在圆x2+y2=5上
11.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，动点M是△A1BC1内部一点(含边界)，则下列选项正确的是( )
A. 动点M在运动的过程中，三棱锥M−ACD1的体积是定值
B. 对于任意M，A1M⊥平面DB1C
C. 动点M到直线CD的距离最小值为 2
D. 满足AM=2 53的M的轨迹长度为2 2π9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}满足：a1=2，an+1=1+an1−an，则a2025= ______．
13.在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx+y−m=0被圆M：x2+y2−4x−2y+1=0截得的最短弦的长度为______．
14.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，其中0b>0)上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为2( 3+ 2)和2( 3− 2)，斜率为−13的直线l与椭圆C相交于异于点P(3,1)的M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若|MN|= 10，求直线l的方程；
(3)当直线PM，PN均不与x轴垂直时，设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，求证：k1k2为定值．
参考答案
1.B
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.ABD
10.BCD
11.ACD
12.2
13.2 2
14. 2
15.解：(Ⅰ)由两条直线垂直的性质，
又直线m：3x+4y+12=0的斜率为−34，可得与直线m垂直的直线的斜率为43，
设与直线m：3x+4y+12=0垂直的直线n为4x−3y+a=0，
圆C可化为(x+1)2+(y−2)2=9，圆心为C(−1,2)，
又因为直线n经过圆心，所以4×(−1)−3×2+a=0，即a=10，
故所求直线方程为4x−3y+10=0．
(Ⅱ)由两条直线平行的性质，
设与直线m：3x+4y+12=0平行的直线为3x+4y+c=0(c≠12)．
又因为直线3x+4y+c=0与圆C相切，
所以圆心C(−1,2)到直线3x+4y+c=0的距离等于半径，
即|−3+8+c| 32+42=3，所以|c+5|=15，解方程可得c=−20或10，
故所求直线方程为3x+4y−20=0或3x+4y+10=0．
16.解：(1)依题意，抛物线C的焦点F(p2,0)在直线x−y−2=0上，
则p2−2=0，解得p=4，
所以C的方程为y2=8x．
(2)由(1)知，抛物线C的准线方程为x=−2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点为M(x0,y0)，
由x−y−2=0y2=8x，消去y得x2−12x+4=0，
则x1+x2=12，有x0=x1+x22=6，y0=x0−2=4，即M(6,4)，
因此线段AB的中垂线方程为y−4=−(x−6)，即y=−x+10，
令y=0，得x=10，设所求圆的圆心为E，则E(10,0)，
又AB过C的焦点F，
则有|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=16，
设所求圆的半径为r，则r2=(|AB|2)2+|ME|2=82+42+42=96，
故所求圆的方程为(x−10)2+y2=96．
17.解：(1)证明：因为EA=ED，M为AD的中点，所以EM⊥AD，
在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，所以MN⊥AD，
又EM∩MN=M，EM，MN⊂平面EFNM，所以AD⊥平面EFNM，
又AD⊂平面ABCD，
所以平面EFNM⊥平面ABCD．
(2)在平面EFNM中，过F作FH⊥MN，H为垂足，
因为平面EFNM⊥平面ABCD，平面EFNM∩平面ABCD=MN，
FH⊂平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD，
过H作BC的平行线，交AB于点S，则HS=3，HN=2，HF=2 3，
以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(3,2,0)，C(−3,2,0)，D(−3,−6,0)，F(0,0,2 3)，
所以BF=(−3,−2,2 3)，BC=(−6,0,0)，CF=(3,−2,2 3)，CD=(0,−8,0)．
设平面EFCD的一个法向量为m=(x,y,z)，
则CF⊥mCD⊥m，则CF⋅m=0CD⋅m=0，所以3x−2y+2 3z=0−8y=0，
取z= 3，解得x=−2y=0，所以m=(−2,0, 3)，
设平面BFC的一个法向量为n=(a,b,c)，
则CF⋅n=3a−2b+2 3c=0BC⋅n=−6a=0，
取c=1，则b= 3,a=0，
所以平面BFC的一个法向量为n=(0, 3,1)．
设平面BFC与平面EFCD夹角为θ．
则csθ=|cs|=|m⋅n||m|⋅|n|= 2114，
所以平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值为 2114．
18.解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则q>0．
则由b3−2b2=9可得，3q2−6q=9，解得q=3或q=−1(舍去)，
所以bn=b1qn−1=3×3n−1=3n，则b2=9，b3=27．
由b3=3a4可得a4=9，由S9=11b2可得，S9=99，
又S9=9(a1+a9)2=9a5，所以a5=11．
所以d=a5−a4=2，a4=a1+3d=a1+6=9，所以a1=3，
所以an=a1+(n−1)d=3+2(n−1)=2n+1．
(2)由(1)知，an=2n+1，bn=3n，
所以an⋅bn=3n⋅(2n+1)．
所以，Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=3×3+5×32+…+(2n+1)⋅3n，3Tn=3×32+5×33+…+(2n+1)⋅3n+1，
两式作差得，−2Tn=3×3+2×32+2×33+⋯+2×3n−(2n+1)⋅3n+1=9+2×32×(1−3n−1)1−3−(2n+1)⋅3n+1=9+3n+1−9−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，
所以，Tn=n⋅3n+1．
19.解：(1)因为椭圆C上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2( 3+ 2)和2( 3− 2)，
所以a+c=2( 3+ 2)a−c=2( 3− 2)，
解得a=2 3c=2 2，
所以b= a2−c2=2，
则椭圆C的方程为x212+y24=1；
(2)因为直线l的斜率为−13，
设直线l的方程为y=−13x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=−13x+mx212+y24=1，消去y并整理得4x2−6mx+9m2−36=0，
此时Δ=(−6m)2−144(m2−4)>0，
解得−4 33