2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中等三校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省大庆市林甸一中等三校联考高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是( )
A. 9B. 10.5C. 10D. 9.5
2.复数z满足：z(1+i)=3−2i，则|z−+i|=( )
A. 3 2B. 6C. 5 22D. 5 2
3.若数据x1、x2、…、xn的平均数是4，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、…、3xn+1的平均数是m，标准差是s，则下列结论正确的是( )
A. m=12，s=36B. m=12，s=6
C. m=13，s=36D. m=13，s=6
4.如图，某景区欲在两山顶A、C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB=1 km，CD=3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC=150°，则两山顶A，C之间的距离为( )
A. 2 7kmB. 3 3kmC. 4 2kmD. 3 5km
5.已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若a//b，b⊂α，则a//α
B. 若a⊥α，b⊂β，α//β，则a⊥b
C. 若a//α，a//β，则α//β
D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
6.在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cs2B=sinCsinA+1，且满足|AB|AB|+AC|AC||= 3，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
7.在△ABC中，点D在边BC上，且满足|BD|=14|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则2x+1y的最小值为( )
A. 2 2B. 4 3C. 6+4 2D. 9+4 2
8.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的六个面都是菱形，那么点A1在面AB1D1上的射影一定是△AB1D1的________心，点A1在面BC1D上的射影一定是△BC1D的________心.( )
A. 外心、重心
B. 内心、垂心
C. 外心、垂心
D. 内心、重心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，则下列说法中正确的是( )
A. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5
B. 如果B⊆A，那么P(AB)=0.3
C. 如果A，B互斥，那么P(A∪B)=0.8
D. 如果A，B互斥，那么P(AB)=0.15
10.下列有关复数的结论正确的是( )
A. 若|z|=1，则z=±1
B. 若z2>0，则z∈R
C. 1+2i是关于x的方程x2−2x+5=0的一个根
D. 若复数z满足1≤|z|≤ 3，则复数z对应的点所构成的图形面积为2π
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 32
B. AD1⊥PC
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥B1−ACP的体积不变
D. 以点B为球心， 22为半径的球面与面AB1C的交线长为 63π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从编号1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为______．
13.已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为7π，则该圆台外接球的体积为______．
14.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2 3，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PM⋅PN的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为13，乙的命中率为14，且各次投篮互不影响．
(1)求第一轮比赛未分出胜负的概率；
(2)求甲在第3轮比赛时获胜的概率．
16.(本小题15分)
已知直三棱柱A1B1C1−ABC，AB⊥面B1C1CB，M为AB的中点．
(1)证明：AC1//平面MB1C；
(2)若直三棱柱A1B1C1−ABC的体积为1，且AB=BC=1，求直线AC1与平面B1C1CB所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这次竞赛的平均成绩；
(2)按照成绩从高到低选出样本中前15%的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？
(3)在(2)的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在[80,90)的概率．
18.(本小题17分)
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB=4，EF=1，ED=EA，H为CD的中点，M为BH的中点，EM⊥BH，EM=2 3．
(Ⅰ)求证：AB//EF；
(Ⅱ)求证：平面AME⊥平面ABCD；
(Ⅲ)求五面体ABCDEF的体积．
19.(本小题17分)
定义向量OM=(a,b)的“相关函数”为f(x)=asinx+bcsx；函数f(x)=asinx+bcsx的“相关向量”为OM=(a,b)．
(1)求函数f(x)=2sin2(x2+π3)−1的“相关向量”OM的模长；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，且已知a=4,ℎ(A)=35．
①求△ABC周长的最大值；
②求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.A
5.B
6.C
7.C
8.C
9.ABC
10.BCD
11.BCD
12.59
13.20 5π3
14.[5,8]
15.(1)根据题意，记事件Ai=“甲第i轮投中”，Bi=“乙第i轮投中”，i=1，2，3，⋯
第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，即事件A1B1+A1−B1−，
则要求概率P1=P(A1B1+A1−B1−)=13×14+23×34=712；
(2)根据题意，甲在第3轮比赛时获胜，
则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中，即事件(A1B1+A1−B1−)(A2B2+A2−B2−)A3B3−，
则要求概率P2=P[(A1B1+A1−B1−)(A2B2+A2−B2−)A3B3−]=712×712×(13×34)=49576．
16.解：(1)证明：连接C1B与B1C交于点N，则N为C1B中点，MN为△BAC1中位线，

∴MN//AC1，又MN⊂面MB1C，AC1⊄面MB1C，
∴AC1//平面MB1C.
(2)∵AB⊥平面B1C1CB，∴C1B是C1A在平面B1C1CB上射影，
∴∠AC1B是直线AC1与平面B1C1CB所成的角，
又∵VA1B1C1−ABC=1，
∴12⋅BC⋅AB⋅B1B=1，
∴B1B=2，
在Rt△AC1B中，AC1= AB2+BC12= 12+12+22= 6．
∴直线AC1与平面B1C1CB所成角的正弦值为ABAC1=1 6= 66．
17.解：(1)因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1，
可得(0.005+0.010+0.020+0.030+m+0.010)×10=1，解得m=0.025，
竞赛的平均成绩：(0.005×45+0.010×55+0.020×65+0.030×75+0.025×85+0.010×95)×10=74．
(2)由频率分别直方图的数据，可得：
成绩在[40,80]内的频率为：(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
成绩在[40,90]内的频率为：(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.90，
所以成绩从高到低选出样本中前15%的学生，即为85%分位数，设为x，
可得x=80+×10=88分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要88分．
(3)由题意得，样本中宣传队学生的人生为100×0.15=15，
其中成绩在[80,90)的学生人数为100×(90−88)×0.025=5，
成绩在[90,100]的学生人数为100×(100−90)×0.010=10，
从样本中按分层抽样的的方法抽取6人，则成绩在[80,90)的学生有2人，记为a，b，
在[90,100]的学生有4人，记为A，B，C，D，
从中选2人担任正副队长的样本空间为：
Ω={(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(A,B)，(A,C)(A,D)，(B,C)，(B,D)，(C,D)}，
记事件A=“正副队长中至少有1名学生成绩在80，90)”，则：
A={(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)}，
由古典概型的概率计算公式，可得P(A)=915=0.6．
18.解：(Ⅰ)证明：因为AB//CD，CD⊂平面EFCD，AB⊄平面EFCD，
所以AB//平面EFCD，
又EF，AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，
所以AB//EF．
(Ⅱ)证明：ED=EA，
取AD的中点O，连接MO，OE，
因为O是AD中点，M是HB中点，所以MO//AB，
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥OM，
因为ED=EA，所以AD⊥OE，
又OM∩OE=O，OM，OE⊂平面OME，
所以AD⊥平面OME，
又因为ME⊂平面OME，
所以AD⊥ME，
又EM⊥BH，且BH与AD是相交线，
AD、BH⊂平面ABCD，
所以ME⊥平面ABCD，
又ME⊂平面AME，
所以平面AME⊥平面ABCD；
(Ⅲ)过M点作PQ//BC，
因为AB=4，H为DC中点，M为BH中点，
所以BQ=HP=PC=1=EF，DP=AQ=3，
又AD=4，
由(Ⅱ)可知，ME⊥平面ABCD，
四棱锥E−ADPQ体积VE−ADPQ=13Sℎ=13×4×3×2 3=8 3，
因为EF//QB，EF//PC，且EF=QB=PC，
所以四边形EFCP为平行四边形，
四边形EFBQ也是平行四边形，
所以EP//FC，
EP⊄平面BCF，FC⊂平面BCF，
所以EP//平面BCF，
同理EQ//平面BCF，EP，EQ⊂平面EPQ，
EP∩EQ=E，
所以平面EPQ//平面BCF，
所以五面体QBCPEF为三棱柱，
在三棱柱BCF−QPE中，BQ⊥PQ，
ME⊥平面ABCD，QB⊂平面ABCD，
BQ⊥ME，ME∩PQ=M，ME，PQ⊂平面EPQ，BQ⊥平面EPQ，
V棱柱EPQ−FCB=12×4×2 3×1=4 3，
所以五面体ABCDEF的体积为12 3．
19.(1)f(x)=2sin2(x2+π3)−1=−cs(x+2π3)= 32sinx+12csx，
因此由“相关向量”定义可知：
函数f(x)的“相关向量”为OM=( 32,12)，
则“相关向量”OM的模长为1；
(2)①由函数ℎ(x)的“相关向量”为OM=(0,1)，得ℎ(x)=csx，
由ℎ(A)=35，得csA=35，
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
则16=b2+c2−65bc=(b+c)2−165bc≥(b+c)2−165(b+c2)2=(b+c)25，
解得b+c≤4 5，当且仅当b=c=2 5时取等号，
所以a+b+c≤4 5+4，
即△ABC周长的最大值为4 5+4；
②由①知：b2+c2=16+65bc，
则|AB+AC|−AB⋅AC= b2+c2+65bc−35bc=2 4+35bc−35bc，
而16=b2+c2−65bc≥45bc，则bc≤20，
当且仅当b=c=2 5时取等号，于是0