经典奥数专题：圆综合 训练-数学六年级上册人教版（含解析）

这是一份经典奥数专题：圆综合 训练-数学六年级上册人教版（含解析），共20页。试卷主要包含了下图中，涂色部分甲比乙的面积大，正方形的周长是80米，如图等内容，欢迎下载使用。
（2）求这个半圆的面积
2．下图中，涂色部分甲比乙的面积大。求的长。
3．如图，正方形的边长是4，求阴影部分的面积。（取3.14）
4．草原上有一等边三角形建筑物边长是6米，一只羊被拴在建筑物的一个角上。已知绳子长8米，这只羊能吃到草的总面积是多少平方米？（π取3.14，结果精确到小数点后一位）
5．正方形的周长是80米。
（1）涂色部分的面积是多少平方米？
（2）请你在下面的空白正方形中用圆规再画出几个与涂色部分面积相等且形状不同的图案，用阴影表示。
6．如图：两个同心圆的周长相差18.84厘米，两个正方形的周长相差多少厘米？
7．美术课上，淘气要在一张长、宽的长方形纸板上剪下一个最大的半圆形纸板，这个半圆形纸板的面积是多少？
8．已知扇形的周长是26.84厘米，O是扇形的圆心，阴影部分的面积是多少平方厘米？
9．如图所示，两个圆周只有一个公共点，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米，甲、乙两虫同时从点出发，甲虫以每秒0.5厘米的速度顺时针沿大圆圆周爬行，乙虫以同样速度顺时针沿小圆圆周爬行（本题取3）
（1）问乙虫第一次爬回到点时，需要多少秒？
（2）两虫沿各自圆周不间断地反复爬行，能否出现这样的情况：乙虫爬回到点时甲虫恰好爬到点？如果可能，求此时乙虫至少爬了几圈；如果不可能，请说明理由。
10．如图为某学校花坛，它由一个圆心角∠AOB＝30°，半径AO＝6米的扇形以及分别以AO、BO的为直径的6个相等的半圆组成，求此花坛的面积。
11．如图所示，三角形ABC的面积是36cm2，圆的直径AC＝6cm，BD∶DC＝2∶1.求阴影部分的面积。
12．下图中正方形部分是一个水池，其余部分是草坪。已知正方形的面积是225m2，草坪的面积是多少平方米？
13．如图，由以O1为圆心半圆和以O2为圆心的直角扇形重叠而成． 线段AB=12厘米，三角形AO2B的面积是36平方厘米，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）
14．有一根628厘米长的铁丝．如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？
15．同学们玩投包的游戏，在操场上放一个篮筐，参加游戏的同学在篮筐外手拉手围成一个圆，同学们站在圆上投包，看谁投得准。测得一个同学两臂伸平后大约是1.6米。每个同学距篮筐的距离大约是多少米？（得数保留整米数）
16．下图中，直角三角形的周长是24厘米，三条边的长度比是3∶4∶5，求阴影部分的面积。
17．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD为弧的扇形的面积是它所在圆面积的，求阴影部分的面积？
18．如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。
19．把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
（1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 厘米的绳子。请说明理由。
（2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 厘米的绳子。
20．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）
21．一张可折叠的圆桌，直径是1.2m，折叠后便成了一个正方形（如图）。
①折叠后的桌面的面积是多少平方米？
②折叠部分是多少平方米？（得数保留两位小数）
参考答案：
1．（1）见详解；
（2）14.13cm2
【分析】（1）半径＝半圆的周长÷（π＋2），据此求出半径，数对中，第一个数字表示列，第二个数字表示行，找出圆心的位置，画圆即可；
（2）半圆的面积＝πr2÷2，据此解答。
【详解】（1）15.42÷（3.14＋2）
＝15.42÷5.14
＝3（厘米）
画图如下：
（2）3.14×32÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方厘米）
答：这个半圆的面积是14.13平方厘米。
【点睛】此题考查了有关圆的周长和面积的相关知识，先根据半圆的周长，求出半径是解题关键。
2．5.6厘米
【分析】因为涂色部分甲比乙的面积大，也就是（甲＋空白扇形）－（乙＋空白扇形）＝11.25cm2，即半圆面积－三角形面积＝11.25cm2，所以三角形面积＝半圆面积－11.25，通过圆形面积公式和三角形面积公式进而可计算出的长。
【详解】根据分析，列式如下：
[3.14×（10÷2）2÷2－11.25]×2÷10
＝[39.25－11.25]×2÷10
＝28×2÷10
＝5.6（厘米）
答：的长是5.6厘米。
【点睛】本题考查与圆形和三角形相关的计算，找到半圆面积－三角形面积＝11.25cm2是解答本题的关键。
3．9.12 cm2
【分析】将正方形中阴影部分的弧线看作圆的弧长，即可看作是2个相对的圆心角为90°，半径为4的扇形。而两个扇形的面积之和＝正方形的面积＋阴影部分面积，阴影部分面积＝两个扇形的面积之和−正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。
【详解】正方形中两个扇形的面积相等，则面积之和为：
（cm2）
正方形面积为：（cm2）；
故阴影部分面积为：（cm2）
答：阴影部分面积是9.12 cm2。
【点睛】本题主要考查的是正方形的面积及扇形面积，解题的关键是需要将正方形内部看作两个角度为90°的扇形，再根据个扇形的面积之和＝正方形的面积＋阴影部分面积的等量关系列式得出答案。
4．175.8平方米
【分析】根据题意可知：羊可以吃到草的面积是以8米为半径、圆心角为：360°－60°＝300°的扇形的面积，加上2个半径是：8－6＝2（米）、圆心角是180°－60°＝120°的扇形面积的和。利用扇形面积公式计算即可。
【详解】如图：
360°－60°＝300°
180°－60°＝120°
×3.14×82＋×3.14×（8－6）2×2
＝×3.14＋×3.14
＝56×3.14
≈175.8（平方米）
答：这只羊能吃到草的总面积是175.8平方米。
【点睛】本题主要考查组合图形的面积，会利用扇形面积公式计算，这是解决此题的关键。
5．见详解
【分析】（1）已知正方形的周长是80米，把空白部分组合起来是一个圆。求涂色部分面积，就是正方形的面积－圆的面积。因为圆的半径相当于正方形边长的一半。可列式为：（80÷4）2－3.14×（80÷4÷2）2。
（2）在正方形内画一个圆，作为空白部分面积，圆的半径与正方形的边长的一半相等即可；此外，还可以画以正方形边长为半径的圆，即一个圆心角为90°的扇形，它的面积与半径为正方形边长的一半的圆的面积相等。
【详解】（1）（80÷4）2－3.14×（80÷4÷2）2
＝400－3.14×102
＝400－314
＝86（平方米）
答：涂色部分的面积是86平方米。
（2）3.14×（80÷4÷2）2
＝3.14×100
＝314（平方米）
×3.14×（80÷4）2
＝×3.14×400
＝314（平方米）
据此作图如下：
【点睛】（1）因为数据不是现成的，计算时需要转化，故要小心计算，正方形周长÷4÷2＝圆的半径；
（2）在画圆时，答案不唯一，尽可能多开发几种画法，让思维得到充分的训练。
6．24厘米
【分析】假设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则大圆的周长为πa，小圆的周长为πb，根据题意：则πa－πb＝π（a－b）＝18.84厘米，进而求出两个正方形的边长差，由于正方形有4条边，所以再乘4即可求出两个正方形的周长相差多少厘米。
【详解】由分析可得：
18.84÷3.14×4
＝6×4
＝24（厘米）
答：两个正方形的周长相差24厘米。
【点睛】解答本题的关键是明确两个正方形的边长正好是两个圆形的直径，进而求出一条边的长度差，再乘4即可求出4条边的长度差。
7．157cm2
【分析】半圆的半径尽可能大，但又不能大于10厘米，可以取10厘米作为半径，然后计算面积。
【详解】如图所示，半圆的半径是10厘米；
cm2
答：这个半圆形纸板的面积是157cm2。
【点睛】本题的关键是确定半圆的半径，如果长的一半比宽小，半径取长的一半，如果长的一半比宽大，半径取宽。
8．10.32平方厘米
【分析】根据扇形的周长先求出半径，然后计算阴影部分的面积。
【详解】解：设半径是r；
阴影部分的面积是下图的；
（厘米）
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是10.32平方厘米。
【点睛】对于不规则图形，设法转化成规则图形进行求解，整体减空白是常用的方法之一。
9．（1）180秒
（2）能；乙虫至少爬了4圈
【分析】（1）当乙虫第一次爬到A点时，正好爬了一个小圆的周长，再根据路程÷速度＝时间解答即可；
（2）根据题意，计算出小圆周长与大圆周长的一半的最小公倍数，然后再用最小公倍数除以小圆的圆周长就是乙虫爬行的圈数，列式解答即可得到答案。
【详解】（1）
（秒）
答：乙虫第一次爬回到点时，需要180秒。
（2）能
90与72的最小公倍数是360
（圈）
答：此时乙虫至少爬了4圈。
【点睛】解答此题的关键是确定小圆的周长和弧AB的长，然后再进行计算即可。
10．18.84平方米
【分析】先分别求出扇形和圆的面积，再求出和即可。
【详解】6²
＝6²
＝9.42（平方米）；
3.14×1²＝3.14（平方米）；
9.42＋3.14×3
＝9.42＋9.42
＝18.84（平方米）；
答：花坛的面积是18.84平方米。
【点睛】熟练掌握扇形和圆的面积公式是解答本题的关键。
11．2.13cm2
【分析】阴影部分的面积可以用半圆的面积减去三角形ACD的面积。
【详解】，
答：阴影部分的面积是2.13cm2。
【点睛】在求解与圆相关的不规则图形面积时，可以考虑割补法、整体减空白、平移、旋转等方法。
12．529.875平方米
【分析】求与圆有关的面积，关键是知道半径的长度；依据题意，正方形的面积是225平方米，结合图示可知正方形的边长相当于圆的半径，也就是说半径的平方是225；这样圆的面积可求，草坪部分占圆面积的，再将圆的面积乘，就是草坪的面积。
【详解】
（m2）
答：草坪的面积是529.875平方米。
【点睛】本题解答思路十分巧妙，将正方形的面积转化为半径的平方，从而具备了计算圆面积的条件。
13．36平方厘米．
【详解】试题分析：先求出以O1为圆心半圆的面积，再减去弓形的面积，而弓形的面积等于以O2为圆心的直角扇形减去三角形的面积，据此解答．
解：12÷2=6（厘米）
3.14×62÷2=56.52（平方厘米）
因为3.14×36×2×=56.52（平方厘米）
56.52﹣36=20.52（平方厘米）
56.52﹣20.52=36（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是36平方厘米．
点评：解答此题的关键是弄清楚阴影部分的面积是由哪部分图形的面积差或者是和；问题即可得解．
14．长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大．
【详解】试题分析：周长一定，分别依据长方形、正方形和圆的周长公式求出长方形的长和宽，正方形的边长，圆的半径，进而分别求出其面积．
解：长方形：628÷2=314（厘米），
假设长为200厘米，则宽为114厘米，其面积是200×114=22800（平方厘米），
正方形：628÷4=157（厘米），其面积为157×157=24649平方厘米），
圆：628÷2π=100（厘米），其面积为3.14×1002=31400（平方厘米），
答：长方形的面积是22800平方厘米，正方形的面积是24649平方厘米，圆的面积是31400平方厘米；由以上可知圆的面积最大．
点评：此题主要考查长方形、正方形及圆的面积公式，将数据代入公式即可．
15．2米
【分析】根据题意，8个同学手拉手围成一个圆玩游戏，一个同学两臂伸平后大约是1.6米，那么圆的周长是（1.6×8）米；
从图中可知，篮筐相当于圆心，求每个同学距篮筐的距离，就是求圆的半径；根据圆的周长公式可得，圆的半径r＝C÷π÷2，代入数据计算即可。
【详解】1.6×8＝12.8（米）
12.8÷3.14÷2
≈4÷2
＝2（米）
答：每个同学距篮筐的距离大约是2米。
【点睛】本题考查圆的周长公式的灵活运用，明确求每个同学距篮筐的距离就是求这个圆的半径。
16．5.9136平方厘米
【分析】根据比的应用求出直角三角形三条边的长度，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出这个三角形的面积，空白部分面积占整个圆面积的，空白部分的半径等于直角三角形斜边上的高，利用“高＝三角形的面积×2÷底”求出空白部分的半径，并根据“”求出空白部分的面积，阴影部分的面积＝直角三角形的面积－空白部分的面积，据此解答。
【详解】24×
＝24×
＝6（厘米）
24×
＝24×
＝8（厘米）
24×
＝24×
＝10（厘米）
6×8÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
24×2÷10
＝48÷10
＝4.8（厘米）
24－3.14×4.82×
＝24－3.14×（4.82×）
＝24－3.14×5.76
＝24－18.0864
＝5.9136（平方厘米）
答：阴影部分的面积是5.9136平方厘米。
【点睛】根据比的应用求出直角三角形三条边的长度，并掌握三角形和圆的面积计算公式是解答题目的关键。
17．4.56平方厘米
【分析】根据图意可知，三角形ABC的两条直角边长都是4厘米，以AD为弧的扇形的面积对应的是一个以4厘米为半径的圆的面积的，用圆的面积乘即可表示；阴影部分的面积用以AC为直径的半圆的面积加上以4厘米为半径、圆心角是45°的扇形的面积，再减去三角形ABC的面积即可。
【详解】3.14×（4÷2）2÷2＋×3.14×42－4×4÷2
＝3.14×22÷2＋×3.14×16－8
＝3.14×4÷2＋6.28－8
＝6.28＋6.28－8
＝4.56（平方厘米）
答：阴影部分的面积是4.56平方厘米。
【点睛】本题主要考查了圆与组合图形的面积，将要求的面积合理分割，转化为规则图形的面积差是本题解题的关键。
18．94.2平方厘米
【分析】观察图形可知，涂色部分是由4个大小不相同的扇形组成，这4个扇形的圆心角都 90°，所以都是圆的；分别是以A点为圆心、AD为半径画的圆，以B点为圆心、BE为半径画的圆，以C点为圆心、CF为半径画的圆，以D点为圆心、DG为半径画的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，再乘，求出这4个扇形的面积，再相加，就是涂色部分的面积。
【详解】AD＝2厘米
BE＝2＋2＝4（厘米）
CF＝4＋2＝6（厘米）
DG＝6＋2＝8（厘米）
3.14×22×＋3.14×42×＋3.14×62×＋3.14×82×
＝3.14×1＋3.14×4＋3.14×9＋3.14×16
＝3.14×（1＋4＋9＋16）
＝3.14×30
＝94.2（平方厘米）
答：涂色部分的面积是94.2平方厘米。
【点睛】关键是找出4个扇形的半径，然后根据圆的面积公式列式计算。
19．（1）57.42，理由见详解
（2）（9.42＋12n）
【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度；
第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度
第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度；
由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径，第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。
【详解】（1）理由：
第①组：3×3.14＋12×1
＝9.42＋12
＝21.42（厘米）
第②组
3×3.14＋12×2
＝9.42＋24
＝33.42（厘米）
第③组
3×3.14＋12×3
＝9.42＋36
＝45.42（厘米）
第④组
3×3.14＋12×4
＝9.42＋48
＝57.42（厘米）
（2）3×3.14＋3×4×n
＝（9.42＋12n）厘米
【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。
20．32.125平方厘米
【分析】先作辅助线，如图所示。即可得出：阴影部分的面积＝（直径为10厘米的半圆的面积＋边长为10厘米的正方形的面积－等腰三角形AED的面积）÷2。圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2。代入数值计算。
【详解】10÷2＝5（厘米）
3.14×5×5÷2＝39.25（平方厘米）
10×10＝100（平方厘米）
10＋5＝15（厘米）
10×15÷2＝75（平方厘米）
39.25＋100－75＝64.25（平方厘米）
64.25÷2＝32.125（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32.125平方厘米。
【点睛】此题关键是作辅助线，将图形进行有效的割补。
21．①0.72平方米；②0.41平方米
【分析】①折叠后的桌面是一个正方形，把正方形看作两个一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是正方形的面积。
②先根据圆的面积公式，求出圆的面积，再用圆的面积减去正方形的面积，就是折叠部分的面积。
【详解】①1.2×（1.2÷2）÷2×2
＝1.2×0.6÷2×2
＝0.72÷2×2
＝0.72（平方米）
答：折叠后的桌面的面积是0.72平方米。
②3.14×（1.2÷2）2
＝3.14×0.36
＝1.1304（平方米）
1.1304－0.72≈0.41（平方米）
答：折叠部分是0.41平方米。
【点睛】①无法运用正方形的面积公式求面积时，把正方形分解成两个相等的三角形，找到三角形的底、高与圆的关系，那么正方形的面积就转移到2个三角形的面积上。
②观察组合图形，找到要求的面积与哪些图形的面积有关，然后根据面积公式求解。