2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高一（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.tan225°−cs(−480°)的值为( )
A. 32B. 12C. −12D. −32
2.设扇形的弧长为18，圆心角为32，则该扇形的面积为( )
A. 108B. 18πC. 180D. 108π
3.若复数(a2−3a+2)+(a2−4a+3)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A. 1或3B. 1或2C. 1D. 2
4.在△ABC中，|BA−BC|−|BA+BC|=0，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
5.已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△ABC的面积为( )
A. 6B. 8 6C. 16 6D. 4 3
6.已知复数z1=1+2i，z2=a+4i(a∈R,i为虚数单位)，则“a=2”是“|z1+z2|=|z1|+|z2|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：(sinB+sinC)=6：7：9，则csC=( )
A. 3740B. 1320C. −516D. −38
8.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠OAE+∠OBE+∠OCE+∠ODE=( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−4,3)，b=(7,1)，下列说法正确的是( )
A. |a−b|= 5|a+b|B. (a+b)⊥a
C. a，b的夹角为3π4D. 向量a在向量b上的投影向量为12b
10.数学上，高斯符号(Gauss mark)是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数.比如：
[1]=1，[0]=0，[−1]=−1，[−1.2]=−2，[1.3]=1…，已知函数f(x)=[x]x(x>0)，则下列说法不正确的是( )
A. f(x)的值域为[0,1)B. f(x)在(1,+∞)为减函数
C. 方程f(x)=12无实根D. 方程f(x)=712仅有一个实根
11.如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上任意一点，则AD⋅AE的值可能为( )
A. 12
B. 1
C. 52
D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角θ的终边经过点P(m,−10)，且tanθ=512，则m= ______．
13.函数y=sinx+csx−|sinx−csx|的值域是______．
14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2csθ+(λ+3sinθ)i(λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|=2．
(1)若〈a,b〉=60°，求|a+b|；
(2)若a−b与a垂直，求当k为何值时，(ka−b)⊥(a+2b)？
16.(本小题15分)
已知复数−3+ 3i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个复数根．
(1)求a，b的值；
(2)若a+bi1−i+13m2−3mi(m∈R)为纯虚数，求m的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为△ABC的面积.且absinB−a2sinA=2S(1−sinCsinB)．
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC内切圆半径的最大值．
18.(本小题17分)
对任意复数z=x+yi(x,y∈R)，定义φ(z)=2x(csy+isiny)．
(1)若φ(z)=8，求相应的复数z；
(2)证明：φ(z1)ϕ(z2)=φ(z1−z2)；
(3)若z=a+bi(a,b∈R)中的a为常数，令φ(z)=f(b)，对任意b，是否一定有常数t(t≠0)使得f(b+t)=f(b)？若有，这样的t是否唯一？说明理由．
19.(本小题17分)
设平面内两个非零向量m，n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ.试求解下列问题：
(1)已知向量a，b满足|a|= 10，|b|=3，(a−b)⊥b，求a⊗b的值；
(2)若向量a，b满足a=(x1,y1)(x12+y12≠0)，b=(x2,y2)(x22+y22≠0)，求证：a⊗b=|x1y2−x2y1|；
(3)已知向量a=(13csα,1sinα)，b=(3sinα,−1csα)，α∈(0,π2)，求a⊗b的最小值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：tan225°−cs(−480°)=tan45°−cs120°=1+12=32．
故选：A．
结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：扇形的弧长为18，圆心角为32，
可得l=18，α=32，由l=αr解得r=12，
故扇形的面积S=12lr=12×18×12=108．
故选：A．
利用弧长公式计算可得扇形半径为r=12，再由扇形面积公式计算可得结果．
本题主要考查扇形的面积，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵(a2−3a+2)+(a2−4a+3)i是纯虚数，
∴a2−3a+2=(a−1)(a−2)=0a2−4a+3=(a−1)(a−3)≠0，解得a=2．
故选：D．
根据纯虚数的概念有a2−3a+2=0a2−4a+3≠0，求解即可得．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：△ABC中，|BA−BC|−|BA+BC|=0，
所以以BA，BC为邻边的平行四边形对角线相等，即为矩形，
所以∠B=90°．
故选：C．
结合向量加法及减法的四边形法则即可求解．
本题主要考查了向量加法及减法的四边形法则在三角形形状判断中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了斜二测画法中原图形与直观图面积之间的关系，属于中档题．
根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出△ABC的面积．
【解答】
解：若x′轴，y′轴在直观图中的位置如图所示，
过A′作A′F′/​/y′轴交x′轴于F′，
∵△A′B′C′的边长为4，
∴△A′B′C′的高为A′E=2 3．
∵∠A′F′E=45°，
∴A′F′=2 6，
∴对应△ABC的高AF=2A′F′=4 6，底BC=B′C′=4，
∴△ABC的面积S=12×4×4 6=8 6．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：因为复数z1=1+2i，z2=a+4i(a∈R,i为虚数单位)，
则z1+z2=a+1+6i，
故|z1+z2|=|z1|+|z2|，可得 (a+1)2+62 = 12+22+ a2+42，
两边平方整理得：a+8= 5a2+80，解得a=2．
故“a=2”是“|z1+z2|=|z1|+|z2|”的充要条件．
故选：C．
根据|z1+z2|=|z1|+|z2|，求得a的值，进而求解结论．
本题主要考查复数的模长，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：(sinB+sinC)=6：7：9，
所以由正弦定理可得：(a+b)：(a+c)：(b+c)=6：7：9，
不妨设a+b=6k，a+c=7k，b+c=9k(k>0)，解得a=2k，b=4k，c=5k，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=4k2+16k2−25k22×2k×4k=−516．
故选：C．
由条件及正弦定理可得a=2k，b=4k，c=5k，再由余弦定理即可求得．
本题考查利用正、余弦定理解解三角形，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由图知，可得tan∠OAE=18，tan∠OBE=17，
tan∠OCE=15，tan∠ODE=13，
可得tan(∠OAE+∠OBE)=tan∠OAE+tan∠OBE1−tan∠OAE⋅tan∠OBE=18+171−18⋅17=311