2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省萍乡市芦溪中学高二（下）期中数学试卷（A卷）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=13(i=1,2,3)，则P(X≥2)=( )
A. 16B. 13C. 23D. 1
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a9=12，则S11=( )
A. 66B. 72C. 132D. 144
3.在(−5x−1)5的展开式中，x2的系数为( )
A. 250B. 500C. −250D. −500
4.直线l：3x−4y+m=0(m>0)与圆O：x2+y2=16相交于A，B两点，当OA⋅OB=−8时m的值为( )
A. 10B. 8C. 6D. 4
5.已知直线l：4x+3y+6=0与圆C：x2+y2−2x+m=0(m0)的焦点F到其准线的距离为32，若等边三角形An−1AnBn(n∈N∗)的边An−1An在x轴的非负半轴上，A0与原点O重合，点An的横坐标大于点An−1的横坐标，位于第一象限的点Bn，在抛物线C上，则|An−1An|= ______.(用含n的式子表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若(1+mx)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，其中a3=80．
(1)求m的值；
(2)求(a0+a2+a4)2−(a1+a2+a3)2．
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an+1−n，a2=2a1+1．
(1)求a1，a2，并证明：数列{an+1}为等比数列；
(2)求S1+S2+…+S10的值．
17.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0)，过点F的直线l交C的右支于A，B两点，当l⊥x轴时，|AB|=23a．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线l的倾斜角为π4，且C经过点D( 3,0)，M为双曲线C的左支上一动点，求△ABM面积的最小值．
18.(本小题17分)
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y=f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=13x3−12x2+1312，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
(1)求y=f(x)的对称中心．
(2)求an=f(12n)+f(22n)+f(32n)+…+f(2n−12n)．
(3)记数列{an}的前n项和为Sn，数列{Snanan+1}的前n项和为Tn，若Tn≤λ⋅Sn对n∈N+恒成立，求λ的取值范围．
19.(本小题17分)
若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间Ω上的离散型随机变量，则将(X,Y)称为二维离散型随机变量，将(X,Y)取值为(xi,yj)的概率记作P(X=xi,Y=yj)，其中i，j=1，2，⋯，n．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得−1分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为12，抽中签者点球，进球得1分，不进球得−1分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为12，23，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y．
(1)求P(X=1,Y=0)，P(X=−2,Y=1)；
(2)求P(Y=0|X=1)；
(3)已知随机事件X=−1发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=13(i=1,2,3)，
则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=13+13=23．
故选：C．
根据题意，由P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)，结合分布列计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，等差数列{an}中，a3+a9=12，
则S11=(a1+a11)×112=(a3+a9)×112=66．
故选：A．
根据题意，由等差数列的性质可得S11=(a1+a11)×112=(a3+a9)×112，代入数据计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在(−5x−1)5的展开式中，x2的系数为C53(−5)2(−1)3=−250．
故选：C．
利用二项展开式的通项求得项的系数即可．
本题考查二项展开式的通项与项的系数的应用，为基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为OA⋅OB=4×4cs∠AOB=−8，解得cs∠AOB=−12，
结合∠AOB∈[0,π]，可得∠AOB=2π3，
可得点O到直线l的距离d=|OA|csπ3=2，
即|m| 32+(−4)2=2，结合m>0，解得m=10．
故选：A．
根据平面向量数量积的定义求出∠AOB，由此算出圆心O到直线l的距离，结合点到直线距离公式算出m的值．
本题主要考查平面向量数量积的定义、圆的性质、点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：由C：x2+y2−2x+m=0(m